人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.5 数学归纳法课后作业题

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【精编】5.5 数学归纳法-1作业练习一．填空题1．若等比数列的前3项和且，则等于______.2．已知数列的前项和为，且，_______．3．已知集合，将中的正整数从小到大排列为：，，，．若，则正整数________．4．若组成等比数列，则该数列的第4项的值是________．5．用数学归纳法证明的过程中，由到时，右边应增加的因式是____________.6．用数学归纳法证明“”（）时，从“到”时，左边应增添的式子是__________.7．在数列中，若，求_______.8．等差数列的前n项和为Sn,且，.记，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，都成立.则M的最小值是     9．若，则对于，___________.10．正数k是实数的等差中项，是的等比中项，那么k的取值范围是______.11．已知，则的值分别为______，由此猜想________.12．已知数列的通项公式，，则______.13．若数列满足，，则________．14．等比数列为非常数数列，其前n项和是，当时，则公比q的值为_____．15．用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共__项
参考答案与试题解析1．【答案】或【解析】利用等比数列公比和通项公式表示出，从而构造方程求得；利用可求得结果.详解：设等比数列的公比为，则，即，解得：；当时，；当时，.故答案为：或.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，属于基础题.2．【答案】【解析】由可求得结果.详解：由题意可得.故答案为：.【点睛】本题考查利用求通项，一般利用公式来计算，考查计算能力，属于基础题.3．【答案】1511【解析】利用平方差公式分解后，对，分别研究，即可得到集合中的所有正整数，然后从小到大排列，观察规律，进而计数即可.详解：，当时，（表示奇数），当时，（表示4个倍数），∴将中的正整数从小到大排列，可得1，3，4，5，7，8，…，（每4个正整数，保留3个），又，∴．【点睛】本题考查分类讨论思想，观察归纳思想，属探索性试题，难度较大.4．【答案】【解析】由等比中项的性质列出方程求出的值，再代入验证，由等比数列的通项公式可得答案.详解：解：由组成等比数列，可得，解得或者，当时，等比数列前三项是，舍去；当时，等比数列前三项是，可得该数列的第4项的值为，故答案为：.【点睛】本题考查等比中项的性质及等比数列通项公式的应用，属于基础题.5．【答案】【解析】根据右边式子的含义，以及n的变化给式子带来的变化，进行求解.详解：当时,右式为，当时,右式为，则右边应增加的因式是，故答案为：【点睛】本题考查数学归纳法中由到时增加项的求解,解题的关键是理解左边式子的意义，属于容易.6．【答案】【解析】根据左边式子的含义，以及的变化给式子带来的变化，进行求解.【详解】当时，左边当时，左边 =故左边应增添的式子为：故答案为：.【点睛】本题考查数学归纳法中增加项的求解，属基础题；解题的关键是理解左边式子的意义.7．【答案】【解析】设,根据极限运算法则计算，再通过化简利用数列极限计算，列方程即得结果.详解：设,则因为因此故答案为：【点睛】本题考查极限运算法则．数列极限，考查基本分析求解能力，属基础题.8．【答案】2【解析】分析; 先根据 求得数列的首项和公差，进而数列的前项和可得．进而代入根据的范围确定的范围．详解：设等差数列的公差为，由，可得 ，解得．可解得 ，若对一切正整数恒成立，则只需的最大值 即可．又∴只需 .即的最小值是2.．点睛：本题考查了数列递推关系．等差数列的通项公式与求和公式．数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．【答案】【解析】根据的含义，以及的变化给式子带来的变化，进行求解.【详解】由题可知则故.故答案为：.【点睛】本题考查数学归纳法中增加项的求解，属基础题；解题的关键是理解的意义.10．【答案】【解析】由等差中项和等比中项的定义,可得，利用基本不等式求得的最小值，即可得出结果.详解：正数k是实数的等差中项，是的等比中项，, 即.同为正实数.,当且仅当时，取等号..故答案为：.【点睛】本题考查了等比中项和等差中项的定义，考查利用基本不等式求最值问题，属于中档题.11．【答案】      【解析】在中分别令即可求出的值；观察的值，将分子均化为3即可发现规律.详解：根据题意，，令，则，令，则，令，则.因为，所以观察可发现前四项分子均为3，分母比项数多5，所以由此猜想.故答题空1为：答题空2为：【点睛】本题主要考查利用观察法找数列的通项公式，属于基础题.12．【答案】50【解析】由数列的通项公式得到数列的首项和公差，再由通项大于等于0解出数列的前5项为正数，从第6项起为负数，则可求.详解：解：由，得，∴数列的前5项为正数，从第6项起为负数，又由，得，，∴数列是首项为9，公差为－2的等差数列.则.故答案为：50.【点睛】本题考查了等差数列求和公式，重点考查了数列的函数特性，属中档题.13．【答案】【解析】先根据递推公式求出前几项，然后得出猜想，再用数学归纳法证明即可．详解：解：∵，，∴，∴，解得，或（舍去），∴，解得，或（舍去），依次代入有，，，…，∴猜想，下面用数学归纳法证明当时，显然成立；假设当时，令，则当时，由得，，∴，即，∴，或（舍去），即假设成立.∴，，即.故答案为：．【点睛】本题主要考查递推公式的应用，考查数学归纳法的应用，考查计算能力，属于中档题．14．【答案】【解析】根据等比数列公式计算得到答案.详解：，则，，则，解得或（舍去）.故答案为：.【点睛】本题考查了求等比数列的公比，意在考查学生的计算能力和对数列公式的掌握.15．【答案】【解析】由题意有：由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共项，得解.详解：解：当时，不等式左边为，当时，不等式左边为，则由不等式成立，推证时，则不等式左边增加的项数共项，故答案为： .【点睛】本题考查了数学归纳法，重点考查了运算能力，属基础题.