数学选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程练习

【精选】2.7.1 抛物线的标准方程-1课时练习

一．填空题

1．

在平面直角坐标系中，已知抛物线与双曲线有公共焦点，抛物线Ｍ与双曲线交于，两点，，，三点共线，则双曲线的离心率为______．

2．

已知抛物线上的点到焦点的距离为5，则点到轴的距离为___________.

3．

已知．分别为抛物线与圆上的动点，抛物线的焦点为，．为平面内两点，且当取得最小值时，点与点重合；当取得最大值时，点与点重合，则的面积为______.

4．

曲线的顶点到其准线的距离为__________．

5．设，已知抛物线的准线与圆相切，则______.

6．

如图，已知抛物线：的焦点为，抛物线的准线与轴相交于点，点（在第一象限）在抛物线上，射线与准线相交于点，，直线与抛物线交于另一点，则________．

7．已知抛物线的焦点是椭圆的左焦点，则抛物线的准线方程是__________．

8．

已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点满足，则以点为圆心，为半径的圆被轴所截得的弦长为______．

9．

人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴，探照灯．手电筒就是利用这个原理设计的.已知抛物线的焦点为，从点出发的光线经抛物线上第一象限内的一点反射后的光线所在直线方程为，若入射光线的斜率为，则抛物线方程为______.

10．

已知为抛物线的焦点，，点在抛物线上且满足.若这样的点有且只有一个，则实数的值为___________.

11．

若抛物线上的点到焦点的距离为3，则________.

12．

已知点是抛物线上一点，为其焦点，以为圆心．为半径的圆交准线于，两点，若为等腰直角三角形，且的面积是，则抛物线的方程是________．

13．已知双曲线，当双曲线的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛物线（p>0）的焦点，若，是抛物线上的两点，且，则中点的横坐标为______．

14．抛物线的焦点到准线的距离是______.

15．抛物线（）上的一点到其焦点F的距离______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】

解：由抛物线和双曲线的对称性可知，两点关于轴对称，且，

因为，所以，代入双曲线方程有，

所以，

即，解得．

故答案为：.

2．【答案】

【解析】

抛物线的方程可化为.设.

因为点到焦点的距离为5，所以点到准线的距离为5，

从而，将代入可得，

所以点到轴的距离为.

故答案为：.

3．【答案】

【解析】

抛物线的焦点为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：

抛物线的准线为，过点作抛物线的垂线，垂足为点，

由抛物线的定义可得，则，

当时，取最小值，此时取最小值，

直线的方程为，联立，解得，即点，

点到圆上任意一点的距离，当且仅当为射线与圆的交点，且为线段上的点，

所以，，

当且仅当为射线与抛物线的交点，且为射线与圆的交点（为线段上的点），取得最大值.

直线的斜率为，直线的方程为，

联立，解得，即点，

直线的斜率为，直线的方程为，

即，，

点到直线的距离为，因此，.

故答案为：.

4．【答案】

【解析】

因为曲线，所以其顶点为，准线方程为：，

所以曲线的顶点到其准线的距离为1，

故答案为：1.

5．【答案】

【解析】抛物线的准线的方程为，圆的标准方程为，圆心为，半径长为，

由于直线与圆相切，则，解得.故答案为：.

6．【答案】3

【解析】

抛物线：的焦点为，

由，可得，解得，可得，

由，解得，

直线的方程为：，与抛物线联立，可得，

由，得，则，所以，

由抛物线定义得，

且，所以，

所以

故答案为：3.

7．【答案】

【解析】分析：先求得椭圆的左焦点，然后利用抛物线交点与准线的关系求解即可.

详解：椭圆中，．

于是抛物线的焦点是，故其准线方程是．

故答案为：.

8．【答案】

【解析】

由抛物线方程可得，由抛物线定义可得，

，

则以点为圆心，为半径的圆被轴所截得的弦长为.

故答案为：.

9．【答案】

【解析】

从点F出发的光线第一象限内抛物线上一点P反射后的光线所在直线方程为y＝，

可得P（，），入射光线FP的斜率为，

所以，解得p＝1或p＝﹣2（舍去），

所以抛物线方程为：y2＝2x．

故答案为：y2＝2x

10．【答案】

【解析】

解：由题意，，设，

由可得，即，

因为这样的点有且只有一个，所以或，

即或，

由，解得，

综上，.

故答案为：.

11．【答案】

【解析】

解：抛物线，即，准线方程为，点到焦点的距离为3，所以，解得

故答案为：

12．【答案】

【解析】

由题意可知，且，得，

所以，根据抛物线的定义，可知点到准线的距离，

，，解得：，

所以抛物线方程

故答案为：

13．【答案】2

【解析】分析：结合题意得到双曲线的焦点在x轴上，所以得到，再结合，分析得到双曲线的焦距取得最小值时双曲线的右焦点为（2，0），进而获得抛物线的焦点坐标，最后根据焦半径公式求解即可.

详解：解析由题意可得，即，

因为，

所以当时，焦距取得最小值，

所以双曲线的方程为，

所以双曲线的右焦点为（2，0），

即抛物线的焦点为（2，0），

所以，，

则抛物线，

其准线方程为，

设，

则，

解得，

∴线段中点的横坐标为2.

故答案为：2.

14．【答案】5

【解析】分析：根据的几何意义即可求出．

详解：因为，所以，即焦点到准线的距离是5.

故答案为：5.

15．【答案】5.

【解析】分析：将点坐标代入方程中可求得抛物线的方程，从而可得到焦点坐标，进而可求出

详解：解：为抛物线上 一点，

即有，，

抛物线的方程为，

焦点为，

即有.

故答案为：5.