人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程学案设计

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程学案设计，共13页。学案主要包含了抛物线的定义，求抛物线的标准方程，抛物线定义的应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题．
导语
同学们，数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生活之谜，日月之繁，无处不用数学”，比如足球射门时那条美丽的弧线，天空中那一道道美丽的彩虹，广场上那五彩斑斓的喷泉，运动场上那些跳跃运动，哪怕是一个小朋友轻轻投掷一块石子，都会产生一道与众不同的弧线，所以我们说生活中充满了数学，数学就在我们周围．
一、抛物线的定义
问题1 同学们对抛物线有了哪些认识？
提示 在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图像．
问题2 在二次函数中研究抛物线有什么特征？
提示 它的对称轴垂直于x轴，开口向上或向下．但如果其对称轴不垂直于x轴，那就不能作为二次函数图像来研究了，如今，我们要突破这个限制，从更一般的意义上来研究抛物线．
如图所示，在画板上画一条直线l，使l与画板左侧的边线平行；再在直线l外画一个定点F.取一个丁字尺靠紧画板左侧外沿，丁字尺和直线l垂直且相交于点P，在丁字尺的另一端取一点Q，将一条长度等于|PQ|的细绳，一端固定在点Q，另一端固定在点F，用笔尖靠着丁字尺边缘并扣紧细绳，然后上下平移丁字尺，笔尖作出的曲线是抛物线的一部分．
知识梳理
一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．
注意点：
(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)．
(2)若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
例1 在平面内，到直线x＝－2与到定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．直线
答案 A
解析 动点到定点P(2,0)的距离与到定直线l：x＝－2的距离相等，所以点的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线．
反思感悟 理解抛物线的定义是解决问题的关键，要抓住平面内的点到定点与到定直线的距离相等这一重要特征，但要注意的是定点不在定直线上．
跟踪训练1 在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若点P的轨迹为抛物线，则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，但若点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，且该定点在该定直线上，则点P的轨迹就不是抛物线，故应为必要不充分条件．
二、求抛物线的标准方程
问题3 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
提示 我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设|KF|＝p(p>0)，那么焦点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，准线l的方程为x＝－eq \f(p,2).
设M(x，y)是抛物线上任意一点，
则M到F的距离为|MF|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＋y2)，M到直线l的距离为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)))，
所以eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＋y2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(p,2)))，
将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0)．
知识梳理
注意点：
(1)p的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上．
(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的系数及其符号．
例2 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．
(1)经过点(－3，－1)；
(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．
解 (1)因为点(－3，－1)在第三象限，
所以设所求抛物线的标准方程为
y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，
则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝eq \f(1,6)；
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，
则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝eq \f(9,2).
故所求抛物线的标准方程为y2＝－eq \f(1,3)x或x2＝－9y.
(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，eq \f(p,2)＝3，所以p＝6，
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4,0)时，eq \f(p,2)＝4，所以p＝8，
此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
反思感悟 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．
跟踪训练2 (1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
答案 2 x＝－1
解析 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以eq \f(p,2)＝1，p＝2，准线方程为x＝－eq \f(p,2)＝－1.
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________．
答案 x2＝10y和x2＝－10y
解析 设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
三、抛物线定义的应用
例3 (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq \f(5,4)x0，则x0等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 A
解析 ∵eq \f(1,4)＋x0＝eq \f(5,4)x0，∴x0＝1.
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P，点(0,2)和抛物线的焦点F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))三点共线时距离之和最小，
所以最小距离d＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,2)))2＋2－02)＝eq \f(\r(17),2).
延伸探究
1．若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值．
解 将x＝3代入y2＝2x，
得y＝±eq \r(6).
所以点A在抛物线内部．
设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－eq \f(1,2)的距离为d，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是eq \f(7,2).
即|PA|＋|PF|的最小值是eq \f(7,2).
2．若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l1：3x－4y＋eq \f(7,2)＝0，求点P到直线3x－4y＋eq \f(7,2)＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
解 如图，作PQ垂直于准线l于点Q，
|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.
|A1F|的最小值为点F到直线3x－4y＋eq \f(7,2)＝0的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3×\f(1,2)＋\f(7,2))),\r(32＋－42))＝1.
即所求最小值为1.
反思感悟 抛物线定义的应用
根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
跟踪训练3 (1)设点A的坐标为(1，eq \r(15))，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是|PF|＝d＋1，
所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值为|AF|－1＝4－1＝3.
(2)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为________．
答案 4
解析 把点(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A到焦点的距离为4.
1.知识清单：
(1)抛物线的定义．
(2)抛物线的标准方程及图形．
(3)抛物线定义的应用．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：抛物线的标准方程有四种情况，解题要分清焦点位置，必要时要讨论焦点的位置．
1．抛物线y＝－eq \f(1,8)x2的准线方程是( )
A．x＝eq \f(1,32) B．x＝eq \f(1,2) C．y＝2 D．y＝4
答案 C
解析 将y＝－eq \f(1,8)x2化为标准方程x2＝－8y，由此可知准线方程为y＝2.
2．已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则该抛物线的焦点坐标为( )
A．(1,0) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16))) D．(0,1)
答案 C
解析 由抛物线y＝2px2过点(1,4)，可得p＝2，
∴抛物线的标准方程为x2＝eq \f(1,4)y，
则焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))，故选C.
3．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是( )
A．5 B.eq \r(17) C.eq \r(17)－1 D.eq \r(17)＋1
答案 C
解析 点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离．圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为eq \r(17)，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是eq \r(17)－1，这个值即为所求．故选C.
4．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________．
答案 (－9,6)或(－9，－6)
解析 由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))，准线方程为x＝eq \f(p,2).设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即eq \f(p,2)－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
课时对点练
1．关于抛物线x＝4y2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点坐标为(0,1)
B．开口向上，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))
C．开口向右，焦点坐标为(1,0)
D．开口向右，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，0))
答案 D
解析 由x＝4y2得y2＝eq \f(1,4)x，∴开口向右，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，0)).
2．准线与x轴垂直，且经过点(1，－eq \r(2))的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－2x B．y2＝2x
C．x2＝2y D．x2＝－2y
答案 B
解析 由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
则(－eq \r(2))2＝2p，
解得p＝1，因此抛物线的标准方程为y2＝2x.
3．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为( )
A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线
答案 D
解析 由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义，故应选D.
4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3 C.eq \f(11,5) D.eq \f(37,16)
答案 A
解析 易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，
如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，
其中F(1,0)为抛物线y2＝4x的焦点．由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝eq \f(|4＋6|,\r(42＋－32))＝2.
5．(多选)以双曲线16x2－9y2＝144的顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝12x B．x2＝16y
C．y2＝－12x D．x2＝－16y
答案 AC
解析 双曲线方程可化为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，a＝3，b＝4，c＝5，
顶点坐标为(±3,0)，∴抛物线的标准方程为y2＝±12x.
6．(多选)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，则m的值为( )
A．2eq \r(3) B．－2eq \r(3) C．2eq \r(6) D．－2eq \r(6)
答案 CD
解析 设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
则焦点为F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2))).
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＝6p，, \r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3＋\f(p,2)))2)＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝4，,m＝±2\r(6)，))
∴m＝±2eq \r(6).
7．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为________．
答案 eq \f(15,16)
解析 抛物线方程化为x2＝eq \f(1,4)y，准线为y＝－eq \f(1,16)，由于点M到焦点的距离为1，所以M到准线的距离也为1，所以M点的纵坐标等于1－eq \f(1,16)＝eq \f(15,16).
8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－eq \r(3)，那么|PF|＝________.
答案 8
解析 如图，∠AFE＝60°，
因为F(2,0)，所以E(－2,0)，
则eq \f(|AE|,|EF|)＝tan 60°，
即|AE|＝4eq \r(3)，
所以点P的坐标为(6,4eq \r(3))，
故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8.
9．河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高为0.75 m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？
解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝eq \f(8,5)，得x2＝－eq \f(16,5)y.
当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－eq \f(16,5)yA，得yA＝－eq \f(5,4).
又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航．
10．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程．
解 不妨设点A在第一象限且A(m，n)，
则B(－m，n)，可得m2＝2pn，
AB⊥y轴，且OA⊥OB，
即△AOB为等腰直角三角形，
则OA的斜率为1，即m＝n，
由△AOB的面积为16，可得eq \f(1,2)·2m·n＝16，
解得m＝n＝4，p＝2，
所以抛物线C的方程为x2＝4y.
11．已知P为抛物线y＝x2上的动点，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))，B(1,2)，则|PA|＋|PB|的最小值为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(7,4) C.eq \f(9,4) D.eq \f(5,2)
答案 C
解析 由题意知，A为抛物线的焦点．
设点P到准线y＝－eq \f(1,4)的距离为d，
则|PA|＋|PB|＝d＋|PB|，d＋|PB|的最小值为B到准线的距离，
故最小值为2＋eq \f(1,4)＝eq \f(9,4).
当PB垂直于准线时取最小值．
12．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若eq \(FP,\s\up6(→))＝4eq \(FQ,\s\up6(→))，则|QF|等于( )
A.eq \f(7,2) B.eq \f(5,2) C．3 D．2
答案 C
解析 过点Q作QQ′⊥l于点Q′，如图．
∵eq \(FP,\s\up6(→))＝4eq \(FQ,\s\up6(→))，
∴|PQ|∶|PF|＝3∶4，
又焦点F到准线l的距离为4，
∴|QF|＝|QQ′|＝3.
13．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，等轴双曲线C与抛物线y2＝8x的准线交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(3)，则等轴双曲线C的实轴长为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 B
解析 设等轴双曲线C的方程为x2－y2＝λ，①
因为抛物线y2＝8x,2p＝8，p＝4，
所以eq \f(p,2)＝2，
所以抛物线的准线方程为x＝－2，
设等轴双曲线与抛物线的准线x＝－2有两个交点A(－2，y)，B(－2，－y)(y>0)，
则|AB|＝|y－(－y)|＝2y＝2eq \r(3)，
所以y＝eq \r(3)，
将x＝－2，y＝eq \r(3)代入①，得(－2)2－(eq \r(3))2＝λ，
所以λ＝1，所以等轴双曲线C的方程为x2－y2＝1，
所以等轴双曲线C的实轴长为2.
14．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，则抛物线的标准方程为____________．
答案 y2＝±2x或y2＝±18x
解析 设焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
由抛物线的定义，得5＝|AF|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m＋\f(p,2)))，
又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
15．如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|等于( )
A．n＋10 B．n＋20
C．2n＋10 D．2n＋20
答案 A
解析 由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.
16.如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点A，B都在抛物线C上，且eq \(FB,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，求点A的坐标．
解 (1)依题意，可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，其准线l的方程为y＝－eq \f(p,2).
∵准线l与圆x2＋y2＝1相切，
∴圆心(0,0)到准线l的距离d＝0－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)))＝1，
解得p＝2.故抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,1)＝4y1， ①,x\\al(2,2)＝4y2， ②))
由题意得F(0,1)，
∴eq \(FB,\s\up6(→))＝(x2，y2－1)，eq \(OA,\s\up6(→))＝(x1，y1)，
∵eq \(FB,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，∴(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1,2y1)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝2x1，,y2＝2y1＋1，))代入②得4xeq \\al(2,1)＝8y1＋4，即xeq \\al(2,1)＝2y1＋1，
又xeq \\al(2,1)＝4y1，所以4y1＝2y1＋1，
解得y1＝eq \f(1,2)，x1＝±eq \r(2)，
即点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(1,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(2)，\f(1,2))).图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)