高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程习题ppt课件

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程习题ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了反思感悟，随堂演练，＝2p2＝16，课时对点练，±200100等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线焦点弦的推导.
2.利用抛物线焦点弦求解弦长问题.
x1x2＝ ，y1y2＝－p2的应用
已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若 ＝－12，则抛物线C的方程为A.x2＝8y B.x2＝4yC.y2＝8x D.y2＝4x
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x.
通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅速的得到结果.
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝______.
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，
消去x得y2－2mpy－p2＝0，由根与系数的关系得y1y2＝－p2.由于点A，B均在抛物线上，
|AB|＝x1＋x2＋p＝ 的应用
抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程.
依题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
故所求的抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.综上，抛物线方程为y2＝±4x.
利用|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)求解焦点弦的长度问题.
经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝_____.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1＋x2＝14，
为定值的应用
过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于
将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题.
如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为
如图，过点A作AD⊥l于点D，
以过焦点的弦AB为直径的圆与准线相切的应用
求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切.
如图，作AA′⊥l于点A′，BB′⊥l于点B′，M为AB的中点，作MM′⊥l于点M′，则由抛物线定义可知|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，在直角梯形BB′A′A中，
即|MM′|等于以AB为直径的圆的半径.故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
把焦点三角形的外接圆转化为以弦AB为直径的圆与准线相切，进行问题的求解.
抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，M为抛物线上一点.若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p等于A.2 B.4 C.6 D.8
∵△OFM的外接圆与抛物线的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.∵外接圆的面积为9π，∴外接圆的半径为3.
1.知识清单：抛物线焦点弦性质的应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆，导致出错.
由题意可得抛物线的标准形式为x2＝8y，所以准线方程为y＝－2，
所以弦长|AB|＝5＋4＝9.
2.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|＝16，则p的值为
由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，p＝4，设A，B两点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
3.过抛物线y2＝8x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝________.
∴x1＋x2＝6，抛物线的焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p＝10.
4.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则PQ中点M到抛物线准线的距离为________.
由抛物线的方程y2＝4x，可得p＝2，故它的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.
方法一　抛物线的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，设A(x，y)，则|AF|＝x＋1＝3，故x＝2，
如图所示，设线段AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，
4.已知F为抛物线C：y2＝6x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则|AB|等于A.6 B.8 C.10 D.12
∵|AF|＝3|BF|，且p＝3，
∴|BF|＝2，|AF|＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝8.
5.(多选)已知抛物线y2＝3x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，其中点A在第一象限，若弦AB的长为4，则直线l的倾斜角为A.30° B.60° C.120° D.150°
6.(多选)已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上，若|AF|＋|BF|＝4，线段AB的中点到直线x＝ 的距离为1，则p的值为A.1 B.2 C.3 D.6
7.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_____.
抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x＝－1，p＝2.
即x1＋x2＋p＝7，故x1＋x2＝5.
8.过抛物线y2＝2x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝ ，|AF|<|BF|，则|AF|＝_____.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1将直线方程与抛物线方程联立，
所以k2＝24，方程①即12x2－13x＋3＝0，
9.已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B.(1)求抛物线C的方程；
∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)若|AB|＝8，求直线l的斜率.
方法一　由(1)知焦点为F(1,0)，若直线l斜率不存在，则|AB|＝4，不合题意，因此设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
方法二　若直线l的斜率不存在，则|AB|＝4，不合题意，设直线l的倾斜角为α，
即α＝45°或135°，则k＝tan α＝±1.
10.已知O为原点，抛物线C：x2＝2py(0∴抛物线方程为x2＝4y.
(2)过C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，若以AH为直径的圆过点B，求|AF|－|BF|的值.
由题意知，抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，H(0，－1)，由题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，代入抛物线方程可得x2－4kx－4＝0，Δ>0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，①
由AB⊥BH可得k·kHB＝－1，
整理得(y1－1)(y2＋1)＋x1x2＝0，
如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线l的垂线，垂足分别为点D，E，
∴|BE|＝2|AD|，由抛物线的定义可得|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，∴|BF|＝2|AF|，|AM|＝|AB|＝3|AF|，∵AD∥FN，
13.(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正确的是A.若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8B.以PQ为直径的圆与准线l相切C.设M(0,1)，则|PM|＋|PP1|≥D.过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
对于选项A，因为p＝2，所以x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故A正确；对于选项B，由抛物线焦点弦的性质可知，B正确；对于选项C，因为F(1,0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝ ，故C正确；对于选项D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线方程为y＝kx＋1(k≠0)，
令Δ＝0，则k＝1，所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误.
14.已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若∠AMB＝90°，则k＝________.
由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点F的坐标为(1,0)，所以直线AB的方程为y＝k(x－1)，
因为∠AMB＝90°，
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋[k(x1－1)－1]·[k(x2－1)－1]＝(1－k－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋2k＋2
解得k＝2.经检验，k＝2符合题意.
15.世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500 m口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面(抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面)，其边缘距离底部的落差约为156.25 m，是由我国天文学家南仁东先生于1994年提出构想，历时22年建成，于2016年9月25日落成启用，2020年1月11日，“中国天眼”通过国家验收，投入正式运行，截至2020年11月，“中国天眼”发现脉冲星数量超过240颗.它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线C的一部分，放入如图所示的平面直角坐标系内.
一束平行于y轴的脉冲信号射到C上的P点，反射信号经过C的焦点F后，再由C上点Q反射出平行脉冲信号，当点P的坐标为___________时，使得从入射点P到反射点Q的路程最短.
设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，根据题意抛物线过点(250,156.25)即2502＝2p×156.25，所以p＝200，故抛物线C的方程为x2＝400y.又由题意可知，求过F点最小的弦长PQ，根据抛物线的性质，抛物线的通径是最短的弦长，即当PQ与y轴垂直时弦长最短，
由x2＝400y，则焦点F为(0,100)，故当y＝100时，x2＝400×100＝40 000，所以x＝±200，所以PQmin＝200×2＝400，故从入射点P到反射点Q的路程最短为400 m，此时点P(±200,100).
16.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8.(1)求抛物线C的方程；
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p.∵|MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8，即3p＋p＝8，解得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求 的最小值.
设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.∵直线l为抛物线C的切线，∴Δ＝0，解得b＝1.∴直线l的方程为y＝x＋1.由(1)可知x1＋x2＝6，x1x2＝1.设P(m，m＋1)，
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)·(y1＋y2)＋(m＋1)2.∵x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.