高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算巩固练习，共4页。

1．(多选题)下列结论正确的是( )
A．(sin x)′＝cs x
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,3)))′＝cseq \f(π,3)
C．(2ex)′＝2ex
D．若f(x)＝eq \f(1,x2)，则f′(3)＝eq \f(2,27).
2．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( )
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,8)))
3．直线y＝eq \f(1,2)x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为( )
A．2 B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2
4．曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．e B．1
C．－1 D．－e
5．若曲线y＝xα(α∈Q*)在点(1,2)处的切线经过原点，则α＝________.
6．已知曲线y＝eq \r(x)，求：
(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；
(2)求过点P(0,1)且与曲线相切的切线方程．
[提能力]
7．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) B．[0，π)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))
8．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则a1＋a2＋…＋a99＝________.
9．已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cs x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由．
[战疑难]
10．(多选题)已知函数f(x)的导数为f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中是“巧值点”的函数是( )
A．f(x)＝ex B．f(x)＝ln x
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝eq \r(x)
课时作业(十四) 基本初等函数的导数
1．解析：因为(sin x)′＝cs x，A正确；sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))′＝0，B错误；(2ex)′＝2ex，C正确；∵f′(x)＝(x－2)′＝－2x－3，则f′(3)＝－eq \f(2,27)，D错误，故选AC.
答案：AC
2．解析：y′＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．
答案：B
3．解析：因为y＝ln x的导数y′＝eq \f(1,x)，
所以令eq \f(1,x)＝eq \f(1,2)，得x＝2，所以切点为(2，ln 2)．
代入直线y＝eq \f(1,2)x＋b，得b＝ln 2－1.
答案：C
4．解析：因为y′＝ex，所以y′|x＝0＝e0＝1，所以切线方程为y－1＝x即y＝x＋1，令x＝0，则y＝1.
答案：B
5．解析：y′＝αxα－1，所以y′|x＝1＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1)，即y＝αx－α＋2，该直线过(0,0)，所以α＝2.
答案：2
6．解析：(1)设切点为(x0，y0)，由y＝eq \r(x)得y′|x＝x0＝eq \f(1,2\r(x0)) .
因为切线与y＝2x－4平行，所以eq \f(1,2\r(x0))＝2，
所以x0＝eq \f(1,16)，所以y0＝eq \f(1,4)，所以切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，\f(1,4))).
则所求切线方程为y－eq \f(1,4)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,16)))，即16x－8y＋1＝0.
(2)设切点P1(x1，eq \r(x1))，
则切线斜率为y′|x＝x1＝eq \f(1,2\r(x1))，
所以切线方程为y－eq \r(x1)＝eq \f(1,2\r(x1))(x－x1)，
又切线过点P(0,1)，
所以1－eq \r(x1)＝eq \f(1,2\r(x1))(－x1)，即eq \r(x1)＝2，x1＝4.
所以切线方程为y－2＝eq \f(1,4)(x－4)，即x－4y＋4＝0.
7．解析：因为y′＝cs x，而cs x∈[－1,1]．
所以直线l的斜率的范围是[－1,1]，
所以直线l倾斜角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
答案：A
8．解析：导函数y′＝(n＋1)xn，切线斜率k＝y′|x＝1＝n＋1，所以切线方程为y＝(n＋1)x－n，可求得切线与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,n＋1)，0))，则an＝lgeq \f(n,n＋1)＝lg n－lg(n＋1)，所以有a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.
答案：－2
9．解析：不存在，理由如下：
由于y1＝sin x，y2＝cs x，所以y′1＝cs x，y′2＝－sin x.
设两条曲线的一个公共点为点P(x0，y0)，
∴两条曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率分别为
k1＝cs x0，k2＝－sin x0.
若两条切线互相垂直，则cs x0·(－sin x0)＝－1，
即sin x0·cs x0＝1，∴sin 2x0＝2，显然不成立，
∴这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直．
10．解析：A中，f′(x)＝ex，有无数个解，所以f(x)有无数个“巧值点”，A符合；B中，f′(x)＝eq \f(1,x)，则ln x＝eq \f(1,x)，令g(x)＝ln x－eq \f(1,x)(x>0)，易知g(x)的图象为(0，＋∞)上一条连续不断的曲线，且g(1)＝－1<0，g(e)＝1－eq \f(1,e)>0，由函数零点存在性定理可知g(x)在(1，e)上必有零点，所以f(x)有“巧值点”，B符合；C中，f′(x)＝cs x，由sin x＝cs x得x＝eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z，所以f(x)有“巧值点”，C符合；D中，f′(x)＝－eq \f(1,2\r(x))，eq \r(x)＝－eq \f(1,2\r(x))无实数解，所以f(x)无“巧值点”，D不符合，故选ABC.
答案：ABC