数学选择性必修 第二册5.2 导数的运算课时训练

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1．(多选题)下列运算中正确的是( )
A．(ax2＋bx＋c)′＝2ax＋b
B．(sin x－2x2)′＝cs x－4x
C．(eq \f(sin x,x2))′＝eq \f(x2cs x＋2xsin x,x22)＝eq \f(xcs x＋2sin x,x3)
D．(cs x·sin x)′＝－sin 2x＋cs2x
2．已知函数f(x)＝x－sin x，且f(x)的导数为f′(x)，若a＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))，b＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，c＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))，则a，b，c的大小关系为( )
A．cb>c
C．a3．曲线f(x)＝－x3＋2x在横坐标为－1的点处的切线为l，则点(3,2)到l的距离是( )
A.eq \f(7\r(2),2) B.eq \f(9\r(2),2)
C.eq \f(11\r(2),2) D.eq \f(9\r(10),10)
4．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝________.
5．函数f(x)＝eq \f(ln x＋2,x)在x＝1处的切线方程为________．
6．(1)曲线C：y＝ax3＋bx2＋cx＋d在点(0,1)处的切线为l1：y＝x＋1，在点(3,4)处的切线为l2：y＝－2x＋10，求曲线C的方程．
(2)求曲线S：y＝2x－x3过点A(1,1)的切线方程．
[提能力]
7．已知f(x)＝eq \f(1,4)x2＋cs x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是( )
8．已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－aln x．若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线不过第四象限且不过原点，则实数a的取值范围为________．
9．已知函数f(x)＝x－eq \f(2,x)，g(x)＝a(2－ln x)
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线的斜率相同，求a的值．
(2)若存在一点，使得曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在该点处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围．
[战疑难]
10．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，现给出定义：设f′(x)是函数f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)＝2x3－3x2＋1，则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)))＋geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,100)))＋…＋geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(99,100)))＝__________.
课时作业(十五) 导数的四则运算法则
1．答案：ABD
2．解析：因为f′(x)＝1－cs x，所以f′(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))上单调递增，所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))答案：C
3．解析：由题得f′(x)＝－3x2＋2，当x＝－1时，y＝－1，所以切点为(－1，－1)，
k＝f′(－1)＝－3＋2＝－1，所以切线l的方程为y＋1＝－(x＋1)，所以x＋y＋2＝0，所以点(3,2)到直线l的距离为eq \f(|3＋2＋2|,\r(12＋12))＝eq \f(7\r(2),2).故选A.
答案：A
4．解析：y′＝4x3＋2ax，因为曲线在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，所以y′|x＝－1＝－4－2a＝8，解得a＝－6.
答案：－6
5．解析：由f(x)＝eq \f(ln x＋2,x)可得f′(x)
＝eq \f(\f(1,x)·x－ln x＋2,x2)＝eq \f(－ln x－1,x2)，所以f′(1)＝－1，又f(1)＝2.
所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
6．解析：(1)已知两点均在曲线C上，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d＝1,27a＋9b＋3c＋d＝4，))
因为y′＝3ax2＋2bx＋c，f′(0)＝c，f′(3)＝27a＋6b＋c，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝1,27a＋6b＋c＝－2，))
可求出d＝1，c＝1，a＝－eq \f(1,3)，b＝1
所以曲线C：y＝－eq \f(1,3)x3＋x2＋x＋1.
(2)设切点为P(x0,2x0－xeq \\al(3,0))，则斜率k＝f′(x0)＝2－3xeq \\al(2,0)，
过切点的切线方程为y－2x0＋xeq \\al(3,0)＝(2－3xeq \\al(2,0))(x－x0)，
因为过点A(1,1)，所以1－2x0＋xeq \\al(3,0)＝(2－3xeq \\al(2,0))(1－x0)，
解得x0＝1或x0＝－eq \f(1,2)，当x0＝1时，切点为(1,1)，切线方程为x＋y－2＝0，
当x0＝－eq \f(1,2)时，切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(7,8)))，
切线方程为5x－4y－1＝0.
7．解析：∵f(x)＝eq \f(1,4)x2＋cs x
∴f′(x)＝eq \f(x,2)－sin x
∴f′(－x)＝eq \f(－x,2)－sin (－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－sin x))＝－f′(x)
故f′(x)为奇函数，故函数图象关于原点对称，排除B、D.
f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝eq \f(1,2)×eq \f(π,6)－sineq \f(π,6)＝eq \f(π,12)－eq \f(1,2)<0
故C不对，A正确．
答案：A
8．解析：由f′(x)＝x－eq \f(a,x)，得f′(1)＝1－a.因为f(1)＝eq \f(1,2)，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－eq \f(1,2)＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x＋a－eq \f(1,2).由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a≥0,a－\f(1,2)>0，))解得eq \f(1,2)答案：(eq \f(1,2)，1]
9．解析：(1)f′(x)＝1＋eq \f(2,x2)，g′(x)＝－eq \f(a,x)，
所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线的斜率为g′(1)＝－a，由已知，得f′(1)＝g′(1)，得a＝－3.
(2)由题意，得1＋eq \f(2,x2)＝－eq \f(a,x)(x>0)，
则a＝－x－eq \f(2,x)≤－2eq \r(2)，当且仅当x＝eq \r(2)时，等号成立，
故实数a的取值范围为(－∞，－2eq \r(2)]．
10．解析：依题意得，g′(x)＝6x2－6x，g″(x)＝12x－6，令g″(x)＝0，解得x＝eq \f(1,2)，
∵geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(1,2)∴函数g(x)的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，则g(1－x)＋g(x)＝1，
∵eq \f(1,100)＋eq \f(99,100)＝eq \f(2,100)＋eq \f(98,100)＝…＝eq \f(49,100)＋eq \f(51,100)＝1，
∴geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)))＋geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(99,100)))＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,100)))＋geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(98,100)))＝…＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(49,100)))＋geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(51,100)))＝1.
∴geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)))＋geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,100)))＋…＋geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(99,100)))＝[geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)))＋geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(99,100)))]＋[geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,100)))＋geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(98,100)))]＋…＋[geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(49,100)))＋geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(51,100)))]＋geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝49＋eq \f(1,2)＝49eq \f(1,2).
答案：49eq \f(1,2)