高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用精练，共5页。
1．曲线y＝x2－2ln x的单调增区间是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，－1]和(0,1] D．[－1,0)和[1，＋∞)
2．若f(x)＝eq \f(ln x,x)，e0的解集是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，＋∞))
C．(－∞，3) D．(3，＋∞)
4．若f(x)＝－eq \f(1,2)x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
5．设f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是________．
6．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[提能力]
7．(多选题)已知定义在[0，eq \f(π,2))上的函数f(x)的导函数f′(x)，且f(0)＝0，f′(x)cs x＋f(x)sin xeq \r(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3))) D．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))0)的单调递减区间是(0,4)．
(1)实数k的值为____________；
(2)若在(0,4)上为减函数，则实数k的取值范围是________．
9．已知f(x)＝aex－x－1.
(1)求f(x)的单调区间．
(2)是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
[战疑难]
10．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”．
(1)设f(x)＝cs x，则f(x)在(0，π)上的“新驻点”为________．
(2)如果函数g(x)＝x与h(x)＝ln(x＋1)的“新驻点”分别为α、β，那么α和β的大小关系是________．
课时作业(十八) 函数单调性的应用
1．解析：求解函数的导数可得y′＝2x－eq \f(2,x)，令2x－eq \f(2,x)≥0，结合x>0，解得x≥1.所以单调增区间是[1，＋∞)．
答案：B
2．解析：因为f′(x)＝eq \f(\f(1,x)·x－ln x,x2)＝eq \f(1－ln x,x2).当x∈(e，＋∞)时，1－ln x0等价为f(x＋1)>－f(2－2x)＝f(2x－2)，即x＋1>2x－2，解得x－1，
∴b≤－1.
答案：(－∞，－1]
5．解析：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝3ax2＋1.
若a>0，则f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，此时，f(x)只有一个单调区间，与已知矛盾；
若a＝0，则f(x)＝x，此时，f(x)也只有一个单调区间，亦与已知矛盾；
若aeq \r(3)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，故C正确，D错．
答案：BC
8．解析：(1)f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，由题意知f′(4)＝0，解得k＝eq \f(1,3).
(2)由f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x≤0并结合导函数的图象可知，必有－eq \f(2k－1,k)≥4，解得k≤eq \f(1,3).又k>0，故00时，f(x)的单调递增区间是[－ln a，＋∞)，递减区间是(－∞，－ln a)．
(2)f′(x)＝aex－1.若f(x)在(－∞，0]上单调递减，
则aex－1≤0在(－∞，0]上恒成立，即a≤eq \f(1,ex)，
而当x∈(－∞，0]时，eq \f(1,ex)≥1，所以a≤1；
若f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以aex－1≥0在[0，＋∞)上恒成立．
即a≥eq \f(1,ex)，而当x∈[0，＋∞)时，eq \f(1,ex)≤1.所以a≥1.
综上可得a＝1，故存在a＝1满足条件．
10．解析：∵f(x)＝cs x，∴f′(x)＝－sin x，
根据“新驻点”的定义得f(x)＝f′(x)，即cs x＝－sin x，可得tan x＝－1，
∵x∈(0，π)，解得x＝eq \f(3π,4)，所以，函数f(x)＝cs x在(0，π)上的“新驻点”为eq \f(3π,4)；
(2)∵g(x)＝x，，则g′(x)＝1，根据“新驻点”的定义得g(α)＝g′(α)，即α＝1.
∵h(x)＝ln(x＋1)，则h′(x)＝eq \f(1,x＋1)，由“新驻点”的定义得h(x)＝h′(x)，即ln(x＋1)＝eq \f(1,x＋1)
构造函数F(x)＝ln (x＋1)－eq \f(1,x＋1)，则函数y＝F(x)在定义域上为增函数．
∵F(0)＝－10
∴F(β)＝0
由零点存在定理可知β∈(0,1)
∴α>β.
答案：(1)eq \f(3π,4) (2)α>β