北师大版（2019）高中数学必修第一册1-3-1不等式的性质教案

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3.1 不等式的性质学习目标:1.初步学会作差法比较两实数的大小. 2.掌握不等式的性质. [来&源:@中教#*~网]3.能利用不等式的性质进行数或式的大小比较及证明不等式. 4.体会数学抽象的过程,加强直观想象与数学运算能力素养的培养. 教学重点、难点重点：探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用.[来@源:z%zstep.&^co*m]难点：能根据不等式的基本性质进行化简.[中国&教育@出~版网^*]教学方法 案例教学法[中%&国教*^育出版~网]教学过程[中国教育*出&@^#版网]【问题思考】 [来源:%中@国教~育#出&版网]一、实数大小的比较 [来源:中国^*&教@#育出版网]【问题思考】 1.(1)对于两个实数a,b,其大小关系有哪几种可能? 提示:两个实数a,b,其大小关系有三种可能,即a>b,a=b,ab,反之也成立,用数学语言可描述为a-b>0⇔a>b. (3)如果a-b是负数,那么这两个实数的大小关系如何?反之成立吗? [来源@%:中~^*教网]提示:如果a-b是负数,则a0⇔ a>b ;a-b=0⇔ a=b ;a-b<0⇔ ab　a=b 二、不等式的性质 【问题思考】 1.(1)在解不等式x-3>2时,通过移项得x>5,其理论依据是什么? 提示:不等式两边同时加上一个数不等号方向不变. (2)已知3>2,若两边同时乘2,不等式成立吗?若两边同时乘c(c为常数),不等式成立吗? 提示:同时乘2,不等式成立. 两边同时乘c,不等式不一定成立,当c=0时,3c=2c; 当c>0时,3c>2c; 当c<0时,3c<2c.(3)已知3>2,32>22,那么3n>2n(n∈N+)成立吗? 提示:成立.（4）已知3＞2，，那么(n∈N+)成立吗？提示:成立.2.不等式的性质 性质1　如果a>b,且b>c,那么a>c. 性质2　如果a>b,那么a+c>b+c. 性质3　(1)如果a>b,c>0,那么ac>bc;(2)如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d . 性质5　(1)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;(2)如果a>b>0,cb>0时,an>bn,其中n∈N+,n≥2.性质6 当a>b>0时，，其中n∈N+, n≥2.3.想一想:若a>b,c>d,则下列不等关系不一定成立的是(　　) A.a-b>d-c B.a+d>b+c C.a-c>b-c D.a-cb,c>d,得a+c>b+d,移项得,a-b>d-c,A正确;由a>b得a-c>b-c,C正确;由c>d得-c<-d,所以a-cb>c,a+2b+3c=0,则ac>bc.( × ) [w@ww.*zz#s~te^p.com]合作探究·释疑解惑[来源:#zzst*ep%.co@^m]探究一 作差比较大小 例1. 已知a,b均为正实数.试利用作差法比较a3+b3与a2b+ab2的大小. 解:a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2) [www^.%zzste&p.~co#m]=a2(a-b)+b2(b-a) =(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). 当a=b时,a-b=0,所以a3+b3=a2b+ab2; 当a≠b时,(a-b)2>0,又a>0,b>0,所以a+b>0,所以a3+b3>a2b+ab2. 综上所述,a3+b3≥a2b+ab2.点睛：比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.作差法比较实数大小的一般步骤是:作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步,变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式..[来^源:z#zstep%.&~com]变式1. 已知x≤1,试比较3x3与3x2-x+1的大小. 解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1). 由x≤1得x-1≤0,而3x2+1>0, 所以(3x2+1)(x-1)≤0,所以3x3≤3x2-x+1.探究二 利用不等式的性质证明简单不等式例2：（1）已知 a＞b>0,c-d>0.又∵∴即∴，又∵∴.（2），[来源@~^#:中教网%]∵∴，即，∴，故.变式2. 已知 bc-ad≥0,bd＞0,求证： .证明：因为，所以，所以，所以，即，即.探究三 不等式性质的应用例3 . 已知a<0,-1ab>ab2 B.ab2>ab>a C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a 分析：根据已知条件两两作差比较→或根据a,b的范围取特值验证→注意要在给定范围.解：(方法一)因为a<0,-10,ab-ab2=ab(1-b)>0. 所以ab>ab2>a,故选D. [来源~@:^*中&国教育出版网]（方法二）利用特殊值法，取，则，从而，故选D.答案：D[来源:~中教^*网&%]拓展：1.本例中若把已知条件改为00,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是(　　) A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b [来源@:%^中*教网#]C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b 解析:由a+b>0知a>-b,-a0, 所以a>-b>b>-a. 答案:C 2.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是(　　) A.M>N B.M=N [来源:中*~国教%@育出版网^]C.MN.答案:A 3.若0a>0时,b3>a3. 答案:b3>a3 4.若1≤x≤3,2≤y≤4,求x-y的取值范围. 解:因为2≤y≤4,所以-4≤-y≤-2,又1≤x≤3,所以-3≤x-y≤1. [w@ww.zzstep*.#%com&]故x-y的取值范围是[-3,1]. 课堂总结[来^源:~中教&%*网]1.实数大小的比较2.不等式的性质课后作业课本第26页练习第1-6题板书设计[中国~@^*教&育出版网] 不等式的性质[中*国教^育出%@版#网]1.比较实数的大小[www.z#zste&*p~.co@m]2.不等式的性质[中国教^#育出~&版%网]