高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 利用函数性质判定方程解的存在性学案设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 利用函数性质判定方程解的存在性学案设计，共8页。

路边有一条河，小明从A点走到了B点．观察下列两幅图．
[问题] 推断哪一幅能说明小明一定曾渡过河？



知识点一 函数的零点
1．函数的零点
使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点．f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
eq \a\vs4\al()
1．函数的零点是实数，而不是点．如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1，0)．
2．并不是所有的函数都有零点，如函数f(x)＝eq \f(1,x)，y＝x2＋1均没有零点．
3．若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．
1．函数f(x)＝lg2x的零点是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：A
2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有______个．
答案：3
知识点二 函数零点存在定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)eq \a\vs4\al(0，所以函数f(x)＝x3－x＋1的零点所在的区间是(－2，－1)，故选A.
2．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，则实数a＝________．
解析：当a＝0时，令y＝－x－1＝0，解得x＝－1，符合题意；当a≠0时，函数y＝ax2－x－1为二次函数，因为函数y＝ax2－x－1只有一个零点，所以Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－eq \f(1,4)，符合题意．故实数a＝0或－eq \f(1,4).
答案：0或－eq \f(1,4)
[例1] (1)求函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
[解] (1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点为－3和e2.
(2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，则b＝3a，
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝－eq \f(1,3).
所以函数g(x)＝bx2＋ax的零点为0和－eq \f(1,3).
eq \a\vs4\al()
函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )
A．－eq \f(1,2)，－1 B.eq \f(1,2)，1
C.eq \f(1,2)，－1 D．－eq \f(1,2)，1
解析：选B 方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝eq \f(1,2)，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是eq \f(1,2)，1.
2．若f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－x－1，x≥2或x≤－1，,1，－1