高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第五章 函数应用1 方程解的存在性及方程的近似解1.2 利用二分法求方程的近似解学案设计

1.2　利用二分法求方程的近似解

1．若x0是满足精度ε的近似值，则x0应满足什么条件？

2．二分法的定义是什么？

3．如何用二分法求函数的零点或方程的近似解？

1．二分法的概念

(1)满足精度ε的近似解：设是方程f(x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0－|＜ε，就称x0是满足精度ε的近似解．

(2)二分法的定义：对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．

2．二分法求方程近似解的步骤

利用二分法求方程近似解的过程可以用下图表示出来．

其中：

“初始区间”是一个两端点函数值异号的区间；

新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号．

(1)所有函数的零点都可以用二分法求出吗？

(2)“精确到0.1”与“精确度为0.1”一样吗？

[提示]　(1)不是，例如函数y＝(x＋)2的零点－就无法用二分法求出．

(2)不一样．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精度为0.1”指零点近似值所在区间(a，b)满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间(1.25,1.34)．若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.

1.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　)

A　　　　　　　B

C　　　　　　　D

A　[只有选项A中的函数有变号零点，所以能用二分法求其零点的近似值．]

2.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)

A．[－2，－1] B．[－1,0]

C．[0,1] D．[1,2]

A　[∵f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，f(－2)·f(－1)<0，故可取[－2，－1]作为初始区间，用二分法逐次计算．]

类型1　二分法的概念理解

【例1】　下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是

(　　)

A　　　    　　　　B

C　　  　　　　　　D

A　[按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.]

判断函数能否用二分法求零点的依据

判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．

1．下列函数中能用二分法求零点的为(　　)

　　           　A　　　　B　　　　C　　　　D

B　[函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合．]

类型2　利用二分法求方程的近似解

【例2】　求方程x3－3＝0的一个近似解．(精确度为0.02)

[思路点拨]　利用二分法求解．

[解]　考查函数f(x)＝x3－3，基于零点存在定理，从一个两端点函数值异号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程解所在的区间．

经计算f(1)＝－2<0，f(2)＝5＞0，所以方程x3－3＝0在区间(1,2)内有解．

取区间(1,2)的中点1.5，f(1.5)＝0.375＞0，所以方程x3－3＝0在区间(1,1.5)内有解．

如此下去，得到方程x3－3＝0的解所在区间(如下表)：

至此可以看出区间[1.437 5,1.453 125]的区间长度小于0.02，而方程的近似解就在这个区间内，因此区间内任意一个数都是满足精确度的近似解，例如，1.45就是方程x3－3＝0精确度为0.02的一个近似解．

1．本例变为：根据下表，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度0.1)是________．

1.5　[由表中数据知f(1.5)·f(2)<0，f(1.5)·f(1.562 5)<0，所以函数零点在区间(1.5，1.562 5)上，又因为|1.562 5－1.5|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.]

2．如何求的近似值？(精确度为0.01)

[解]　设x＝，则x3＝2，即x3－2＝0，

令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点．

由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间(1,2)为计算的初始区间．

用二分法逐次计算，列表如下：

由于|1.265 625－1.257 812 5|＝0.007 812 5<0.01，所以1.265 625是函数的零点的近似值，即的近似值是1.265 625.

1．用二分法求方程近似解应遵循的原则

(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．

(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．

2．二分法求方程近似解步骤的记忆口诀

定区间，找中点，中值计算两边看．

同号丢，异号算，零点落在异号间．

重复做，何时止，利用精度把关口．

2．用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)

[解]　令f(x)＝2x3＋3x－3，

经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，

所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，

即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．

取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，

又f(1)>0，

所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．

如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：

由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解.

二分法的实际应用

[典例]　乒乓球是我国的国球，其地位是其他球类无法比拟的．乒乓球是两个半圆的球粘成的，好的乒乓球在黏合时是加热的，所以里面有塑料和胶水的气味，乒乓球虽小，但打时的速度快，变化多，技术要求高，特别是对判断力的锻炼，要求运动员眼疾手快，抓住稍纵即逝的机会，对培养顽强拼搏的精神，很有好处．因此，乒乓球已经成为一项世界性、普遍性的体育运动．

现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同．你能尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？用一架天平，限称b次，并说明此乒乓球是偏轻还是偏重．

[问题探究]

1．当a＝12，b＝3时，该如何称？

[提示]　第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况：(1)若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中．第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个好乒乓球为另一边，放在天平上．

①若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个好乒乓球放上天平一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重；

②若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是轻还是重．任取其中2个乒乓球放在天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”．

(2)若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边较重．从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面好乒乓球中取3个乒乓球补入左边．看天平，有三种可能．

①若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重；

②若左边重，“坏乒乓球”已从一边换到另一边．因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻；

③若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个(左右各一)，“坏乒乓球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．

显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是轻还是重．

2．若“坏乒乓球偏轻”，当a＝26时，求b的最大值．

[提示]　将26枚乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面；从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一枚即是“坏乒乓球”．

综上可知，最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”.

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．(　　)

(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．(　　)

(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间．(　　)

[提示]　(1)错误．如函数f(x)＝x－2用二分法求出的解就是精确解．

(2)错误．对于函数f(x)＝|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)f(b)<0，所以不能用二分法求其零点．

(3)错误. 函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

那么函数f(x)一定存在零点的区间是(　　)

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3，＋∞)

B　[因为f(1)＞0，f(2)＜0，由零点存在定理可知f(x)一定存在零点的区间是(1,2)．]

3．定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当f ＝0时，则函数f(x)的零点是(　　)

A．(a，b)外的点

B．x＝

C．区间或内的任意一个实数

D．x＝a或b

B　[因为f ＝0，所以x＝就是函数f(x)的零点．]

4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．

(0,0.5)　f(0.25)　[因为f(0)<0，f(0.5)>0，

所以f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0，0.5)，利用二分法，则第二次应计算f ＝f(0.25)．]

5．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．

a2＝4b　[∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，

∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴相切．

∴Δ＝a2－4b＝0.

∴a2＝4b.]