北师大版 (2019)必修 第一册第五章 函数应用1 方程解的存在性及方程的近似解1.1 利用函数性质判定方程解的存在性课堂检测

利用函数性质判定方程解的存在性

[A级　基础巩固]

1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)

A.，0　　　　　　　　 B．－2，0

C.  D．0

解析：选D　当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0；当x>1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．综上所述，函数f(x)的零点为0.故选D.

2．若x0是方程＝x的根，则x0属于区间(　　)

A.  B．

C.  D.

解析：选C　构造函数f(x)＝－x，易知函数f(x)在R上单调递减，且函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，易知f(0)＝－0＝1>0，f＝－>0，f＝－<0，f＝－<0，f(1)＝－1＝－<0，

结合选项，因为f·f<0，故函数f(x)的零点所在的区间为，即方程＝x的根x0属于区间.

3．由表格中的数据，可以断定方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是(　　)

A．(0，1)  B．(1，2)

C．(2，3)  D．(3，4)

解析：选C　由题意，令f(x)＝ex－3x－2，易知函数f(x)的图象是一条连续的曲线．

因为f(2)＝e2－3×2－2＝7.39－8＝－0.61<0，

f(3)＝e3－3×3－2＝20.09－11＝9.09>0，

所以f(2)·f(3)<0，所以函数的零点所在区间为(2，3)．

4．(多选)若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于(　　)

A．－2  B．－1

C．0  D．1

解析：选AD　由题意知，x≠0，则原方程可化为lg(x＋2)＝，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1，2)上，所以k＝－2或k＝1.故选A、D.

5．已知x1，x2分别是关于x的方程xln x＝2 020，xex＝2 020 的根，则下面为定值的是(　　)

A．x1＋x2  B．x1－x2

C．x1x2  D．

解析：选C　由已知条件有ln x＝，ex＝.

令y1＝ln x，y2＝ex，y3＝.

画出函数y1＝ln x，y2＝ex，y3＝的大致图象如图所示，

曲线y1和y2关于直线y＝x对称，曲线y3关于直线y＝x对称．

设曲线y3分别与曲线y2，y1交于点A，

B，则点A，B关于直线y＝x对称．

而点A关于直线y＝x的对称点为，即为点B，则x2＝，所以x1x2＝2 020，故选C.

6．函数f(x)＝|x－2|－ln x的零点的个数为________．

解析：由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，函数f(x)在(0，＋∞)内的零点就是方程|x－2|－ln x＝0的根．令y1＝|x－2|，y2＝ln x(x>0)，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，由图知，两个函数图象有两个交点，故方程|x－2|－ln x＝0有2个根，即对应函数有2个零点．

答案：2

7．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝2有两个解，则实数a的取值范围是________．

解析：函数f(x)＝

当x≥1时，由方程f(x)＝2，可得ln x＋1＝2，

解得x＝e，函数有一个零点，当x<1时，函数只有一个零点，即x2－4x＋a＝2，在x<1时只有一个解．

因为y＝x2－4x＋a－2开口向上，对称轴为x＝2，x<1时，函数单调递减，所以f(1)<2，可得－3＋a<2，解得a<5.

答案：(－∞，5)

8．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．

解析：∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，

∴即∴g(x)＝6x2－5x－1，

∴g(x)的零点为1和－.

答案：1和－

9．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？

解：有解．因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－＜0，f(0)＝20－02＝1＞0，且函数f(x)＝2x－x2的图象是连续的曲线，所以f(x)在区间[－1，0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有解．

10．已知关于x的方程x2－2ax＋4＝0，在下列条件下，求实数a的取值范围．

(1)一个根大于1，一个根小于1；

(2)一个根在(0，1)内，另一个根在(6，8)内．

解：(1)方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，设f(x)＝x2－2ax＋4，结合二次函数的图象与性质及零点存在定理得f(1)＝5－2a＜0，解得a＞.

故实数a的取值范围为.

(2)方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(6，8)内，结合二次函数的图象与性质及零点存在定理得解得＜a＜.

故实数a的取值范围为.

[B级　综合运用]

11．(2021·温州十校联考)已知函数f(x)＝则方程f2(x)－f(x)＝0的不相等实根共有(　　)

A．5个  B．6个

C．7个  D．8个

解析：选C　法一：函数f(x)＝的图象如图所示，由f2(x)－f(x)＝0可知f(x)＝1或f(x)＝0，根据图象可知，方程f(x)＝0有3个不相等的实根，方程f(x)＝1有4个不相等的实根，所以方程f2(x)－f(x)＝0的不相等实根共有7个．

法二：由f2(x)－f(x)＝0可知f(x)＝1或f(x)＝0.

当f(x)＝1时，|ln |x||＝1，则x＝±e，x＝±，共有4个不相等的实根；当f(x)＝0时，|ln |x||＝0或x＝0，解得x＝±1或x＝0，共有3个不相等的实根．综上可得，方程f2(x)－f(x)＝0的不相等实根共有7个．

12．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．

(1)若函数的两个零点分别是－1和－3，求k的值；

(2)若函数的两个零点分别是α和β，求α2＋β2的取值范围．

解：(1)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点，

∴－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的实数解．则解得k＝－2.

(2)由题意知α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的实数解，∴

则

∴α2＋β2在区间内的取值范围为.故α2＋β2的取值范围为.