北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式学案及答案

第2课时　基本不等式

课前篇·自主梳理知识

【主题】　基本不等式

1．重要不等式与基本不等式

思考　(1)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？

(2)基本不等式成立的条件“a，b≥0”能省略吗？请举例说明．

(3)若a≠b，基本不等式会怎样？

解：(1)a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．

(2)不能，如≥是不成立的．

(3)若a≠b，≥(a，b≥0)中的等号不成立．

2．基本不等式与最值

当x，y均为正数时，则

(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当________时，xy取得最大值________；

(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当________时，x＋y取得最小值________．

思考　通过以上结论可以得出，利用基本不等式求最值要注意哪几方面？

答案：(1)x＝y　　(2)x＝y　2

解：求最值时，要注意三个条件，即“一正”“二定”“三相等”．　　　

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　)

(2)当a≥0，b≥0时，a＋b≥2.(　　)

(3)当a≥0，b≥0时，ab≤2.(　　)

(4)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)

答案：

(1)　解析：不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.

(2)√　解析：基本不等式的变形公式．

(3)√　解析：基本不等式的变形公式．

(4)　解析：当x<0时，x＋是负数．

2．下列不等式正确的是(　　)

A．a＋≥2

B．(－a)＋≤－2

C．a2＋≥2

D．(－a)2＋2≤－2

答案：C

3．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________．

答案：a＝1

课堂篇·重难要点突破

研习1　对基本不等式的理解

[典例1]　(1)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)

A．a2＋b2>2ab

B．a＋b≥2

C．＋>

D．＋≥2

(2)不等式a＋1≥2(a>0)中等号成立的条件是(　　)

A．a＝0        B．a＝

C．a＝1        D．a＝2

答案：

(1)D　(2)C

在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”．

一正，a，b均为正数；

二定，不等式一边为定值；

三相等，不等式中的等号能取到，即a＝b有解．

[练习1](1)设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　)

A．a<b<<

B．a<<<b

C．a<<b<

D．<a<<b

(2)使用基本不等式的前提条件是什么？

(3)基本不等式中，等号成立的条件是什么？

答案：

(1)B　(2)a≥0，b≥0.　(3)a＝b.

研习2　直接利用基本不等式求最值

[典例2]　(1)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)

A．80　　　　B．77　　　　C．81　　　　D．82

(2)当x>1时，的最小值为________．

答案：

(1)C　(2)8

当a≥0，b≥0时，

1．若a＋b＝p(和为定值)，则当a＝b时，积ab有最大值，可以用基本不等式≥求得．

2．若ab＝s(积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2，可以用基本不等式a＋b≥2求得．

3．不论哪种情况都要注意等号取得的条件．

[练习2](1)能利用基本不等式求最值的题目的原型是什么样的？

(2)已知m，n>0，且m＋n＝16.求mn的最大值．

(1)解：一般条件中有“和为定值”或“积为定值”，要求的结论是“积的最大值”或“和的最小值”．

(2)解：因为m，n>0，且m＋n＝16，所以由基本不等式可得mn≤2＝2＝64，当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.所以mn的最大值为32.

研习3　间接利用基本不等式求最值

角度1　“不正”问题

[典例3]　已知x<0，则3x＋的最大值为________．

答案：－12

[练习3]使用基本不等式的前提条件必须是所给的式子均大于0吗？

解：当所给式子均小于0，也可以利用基本不等式求最值，但是要注意不等号方向的变化．

角度2　“不定”问题

[典例4]　(1)已知x>2，求x＋的最小值．

(2)已知0<x<，求x(1－2x)的最大值．

[解题探究]　本例考查利用基本不等式求最值，突出考查了逻辑推理与数学运算的核心素养．

解：(1)因为x>2，所以x－2>0，

所以x＋＝x－2＋＋2

≥2＋2＝4，

所以当且仅当x－2＝(x>2)，

即x＝3时，x＋的最小值为4.

(2)因为0<x<，所以1－2x>0，

所以x(1－2x)＝×2x(1－2x)

≤2＝，

当且仅当2x＝1－2x，

即x＝时，x(1－2x)的最大值为.

[延伸探究]　若把本例(1)改为：已知x<，试求4x－2＋的最大值．

解：因为x<，

所以4x－5<0,5－4x>0.

所以4x－2＋

＝4x－5＋3＋

＝－＋3≤

－2＋3＝1，

当且仅当5－4x＝时，等号成立，又5－4x>0，

所以5－4x＝1，x＝1.所以当x＝1时，4x－2＋的最大值是1.

通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．

[练习4]已知x>0，求2－x－的最大值．

解：因为x>0，所以x＋≥4，

所以2－x－＝2－≤2－4＝－2，

所以当且仅当x＝(x>0)，

即x＝2时，2－x－的最大值是－2.

课后篇·演练提升方案

1．若x2＋y2＝4，则xy的最大值是(　　)

A．        B．1

C．2        D．4

答案：C

2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)

A．a－b<0        B．0<<1

C．<        D．ab>a＋b

答案：C

3．对于任意正数a，b，A是a，b的算术平均数，G是a，b的几何平均数，则A与G的大小关系是________．

答案：A≥G

4．已知x>0，y>0，且xy＝100，则x＋y的最小值为________．

答案：20

[易错误区]　基本不等式求取值范围

[典例]　(2020·平遥高一检测)已知a>0，b>0，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是(　　)

A．[1,4]　　　 B．[2，＋∞)

C．(2,4)        D．[4，＋∞)

[解析]　因为a>0，b>0，由均值不等式，得2≥ab，可得≥，又a＋b＋＋＝5，

可得(a＋b)＝5≥(a＋b)，

化为(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，解得1≤a＋b≤4，则a＋b的取值范围是[1,4]．

[答案]　A

[错因分析]　本题易出现直接运用均值不等式a＋b≥2，得到5＝a＋b＋＋≥2＋2，导致无法求a＋b的取值范围．

[防范措施]　对于含有两个变量a，b的条件等式，求a＋b或ab的取值范围问题，常常利用基本不等式解决．若求a＋b的取值范围，将ab的条件转化为ab≤2；若求ab的取值范围，将a＋b的条件转化为a＋b≥2.