高中数学第2章 一元二次函数、方程和不等式2.1 相等关系与不等关系导学案

2．1.2　基本不等式

如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车．

[问题]　依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？

知识点　基本不等式

1．算术平均数、几何平均数

对于正数a，b，把称为a，b的算术平均数；称为a，b的几何平均数．

2．定理

对任意a，b∈R，必有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．

推论：对任意a，b≥0，必有，当且仅当a＝b时等号成立．

上述定理和推论中的不等式称为基本不等式．

1．不等式a2＋b2≥2ab与≥的比较

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)；

(2)两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．

2．基本不等式的常见变形

(1)a＋b≥2；

(2)ab≤≤(其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立)．　　　　

1．下列不等式正确的是(　　)

A．a＋≥2　　　　　 B．(－a)＋≤－2

C．a2＋≥2  D．(－a)2＋≤－2

答案：C

2．若x＞0，则y＝＋x的最小值为________．

解析：∵x＞0，＞0，∴y＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，故ymin＝4.

答案：4

[例1]　判断下列两个推导过程是否正确：

(1)∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2 ＝4；

(2)∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2 ＝－2.

[解]　(1)由于a∈R，a≠0，不符合基本不等式的使用条件，故(1)的推导是错误的．

(2)由xy＜0，知，均为负数，在推导过程中，将其转变为正数－，－后，符合基本不等式的使用条件，故(2)的推导正确．

应用基本不等式时，注意下列两个常见变形中等号成立的条件：

(1)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号；＋≤－2(a，b异号)，当且仅当a＝－b时取等号；

(2)a＋≥2(a＞0)，当且仅当a＝1时取等号；a＋≤－2(a＜0)，当且仅当a＝－1时取等号．　　　　

[跟踪训练]

下列结论正确的是(　　)

A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4

B．当x＞0时，＋≥2

C．当x≥2时，x＋的最小值为2

D．当0＜x≤2时，x－无最大值

解析：选B　对于选项A，当x＜0时，＋x≥4显然不成立；对于选项B，符合应用均值不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝，则x＝±1，均不满足x≥2；对于选项D，有最大值2－＝.

[例2]　(链接教科书第38页例5、例6)已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.

[证明]　因为a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，

所以－1＝＝≥，

同理－1≥，－1≥.

上述三个不等式两边均为正，由不等式同向同正可乘性，分别相乘，

得≥··＝8.

当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

[母题探究]

1．(变设问)在本例条件下，求证：＋＋≥9.

证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，

所以＋＋＝＋＋

＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

2．(变条件，变设问)本例条件变为“a＋b＝1，a＞0，b＞0”，求证≥9.

证明：∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴＝＝＝5＋2≥5＋4＝9，当且仅当a＝b＝时，等号成立．∴≥9.

利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项

(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”；

(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；

②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；

③对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，构成基本不等式模型再使用．　　　　

[跟踪训练]

(2019·全国卷Ⅰ节选)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：＋＋≤a2＋b2＋c2.

证明：因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．

所以＋＋≤a2＋b2＋c2.

[例3]　(链接教科书第38页例7)(1)已知x>2，则x＋的最小值为________；

(2)若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则＋的最小值为________．

[解析]　(1)因为x>2，

所以x－2>0，

所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，

当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．

所以x＋的最小值为6.

(2)因为x＞0，y＞0，x＋4y＝1，

所以＋＝＋＝5＋＋≥5＋2 ＝9，

当且仅当＝，

即x＝，y＝时取等号．

[答案]　(1)6　(2)9

在利用基本不等式求最值时注意以下3点

(1)要保证a，b>0；

(2)a＋b或ab是一个定值；

(3)只有a＝b时，基本不等式中的等号才成立，只有等号成立时，才有最值．　　　　

[跟踪训练]

求下列式子的最值：

(1)y＝3x2＋；(2)y＝x(3－x)(0＜x＜3)．

解：(1)y＝3x2＋≥2＝，当且仅当3x2＝，即x＝±时取等号，

所以y＝3x2＋有最小值.

(2)因为0＜x＜3，所以x＞0，3－x＞0，

所以y＝x(3－x)≤＝，当且仅当x＝3－x，即x＝时取等号．

所以y＝x(3－x)(0＜x＜3)有最大值.

1．(多选)下列说法中正确的是(　　)

A．a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0

B．a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R

C．a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0

D．a＋b≥2成立的条件是ab＞0

解析：选BC　根据不等式成立的条件可知只有B、C正确，故选B、C.

2．若a＞0，b＞0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　)

A．25　　　　　　　 B．

C.  D．

解析：选D　a＞0，b＞0，a＋2b＝5，

则ab＝a·2b≤×＝，

当且仅当a＝，b＝时取等号，故选D.

3．已知x<0，则x＋－2有(　　)

A．最大值为0  B．最小值为0

C．最大值为－4  D．最小值为－4

解析：选C　∵x＜0，

∴x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4，

当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．

4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.

证明：＋＋＝＋＋＝2，

∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，

∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，

∴＋＋≥8.