高中北师大版 (2019)第一章 预备知识3 不等式3.2 基本不等式第一课时教学设计及反思
展开教学目标
1.理解基本不等式 (a>0,b>0),会利用不等式性质证明,发展逻辑推理素养;
2.了解基本不等式的几何解释,发展直观想象素养;
3.结合具体实例,形成用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题的基本模型,发展数学运算核心素养.
教学重难点
教学重点:基本不等式的定义及运用基本不等式解决简单的最值问题.
教学难点:基本不等式的证明和运用基本不等式求最值.
课前准备
PPT课件,及GEOGEBRA制作的动画课件.
教学过程
一、创设情境
问题1:请同学们阅读课本第44页,说一说今天我们将要学习的内容是什么?在不等式中起着怎样的作用?
师生活动:学生自主阅读课本,思考并回答,教师给予简单总结.
预设的答案:基本不等式是一种重要而基本的不等式类型,与乘法公式在代数运算的地位一样,在解决不等式问题中有重要的作用,它之所以被称为“基本不等式”,主要是因为它可以作为不等式论的基本定理,成为支撑其他许多非常重要结果的基石。
设计意图:让学生从整体上把握本节内容,了解基本不等式在解决不等式问题有重要的作用.
二、新知探究
1.基本不等式的定义
问题2:阅读课本,思考:什么是基本不等式?它是怎样得到的?
师生活动:学生阅读课本回答,教师总结:基本不等式是将上节课所学的重要不等式a2+b2≥2ab中用,代替a,b并变形得到的,并板书:.
追问:不等式中a,b的范围是什么?它和原不等式中的范围一样吗?
师生活动:学生自主反思后回答,a,b均为非负数,如果a,b中有负数,该不等式不成立.教师指出基本不等式的定义要求a,b均为正数.同时总结:我们称其为基本不等式,其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做a,b的几何平均数,基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于几何平均数.
设计意图:通过上一节的重要不等式得到基本不等式,同时明确两个不等式之间的联系,通过分析其特征,得到基本不等式的代数解释,进一步加深对其的理解.
2.基本不等式的证明
问题3:你能否利用不等式的性质推导出基本不等式呢?请你试一试。
师生活动:学生根据两个实数大小关系的基本事实,用作差比较证明 ,教师给与肯定.
追问1:在前面我们学习过充分条件和必要条件,你能否从所证明的式子出发,寻找使不等式成立的充分条件,从而形成证明思路?
师生活动:师生共同分析,要证明,只需证明,从而只需证,只要证,而显然成立.教师指出只要把过程倒过来,就可证明出基本不等式了,并要求学生自己写出证明过程.
追问2:上述证明中,每一步推理的依据是什么?
师生活动:学生对照自己所写的证明分别回答每一步的依据.
追问3:上述证明叫做“分析法”.你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗?
师生活动:学生讨论后回答.教师指出分析法是一种“执果索因”的证明方法,即从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
追问4:根据教科书上的证明过程,你能说说分析法的证明格式是怎样的吗?
师生活动:学生思考后回答.教师总结:由于分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明:一般每一步的推理都用“要证……只要证……”的格式,当推导到一个明显成立的条件之后,指出“显然×××成立”.
设计意图:利用不等式的性质,用分析法证明基本不等式,同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式,提高学生逻辑推理的数学素养.
3.基本不等式的几何解释
O
问题4:如图,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗?
师生活动:如图1,连接OD,教师引导学生先寻找图中的不等关系,利用动画,观察从弦DE长和圆的直径AB这两个几何元素在变化中的不等关系,及半弦CD≤OD,并将此不等关系用符号表示.学生独立思考,并说出思路:半径OD为,利用射影定理可得弦DE长的一半CD为,由 ,得到.教师评价并总结,基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”得到解释.当且仅当弦DE过圆心时,二者相等.
设计意图:让学生观察图形,先将图形中的不等关系找出来,再用代数语言表示,从而获得基本不等式的几何解释,提高学生数学直观的核心素养.
4.基本不等式的简单应用
例1 已知,求的最小值.
追问:求解的依据什么?怎样应用?
师生活动:教师通过追问引导学生分析,明确求解的依据是基本不等式,再引导学生将问题与公式对比,找到和基本不等式的联系,让学生独立思考后,进行书写,教师基于学生书写的不规范进行纠正.
预设的答案:因为,所以,
当且仅当时,即,x=1时,等号成立.因此最小值为2.
变式:(1)已知,求的最小值;
(2)求的最小值.
师生活动:学生独立完成。教师依据学生的解答或困难,对比例1分析其求解中存在的问题,并用软件展示函数y=的让学生观察。
追问1:比较三个问题,你能总结什么条件的代数式可以用基本不等式求最值?需要注意什么?
师生活动:学生自主反思后,发表自己的意见,相互补充,形成共识.教师将讨论结果进行汇总,并进行总结,明确若代数式能转化为两个正数积为定值,可以利用基本不等式求和的最小值;若代数式能转化为两个正数和为定值,可以利用基本不等式求积的最大值.
在利用基本不等式求最值时,应注意“一正,二定,三相等”的条件.
设计意图:通过典例分析,让学生掌握利用基本不等式解决哪些代数式的最值问题,及在利用不等式时应注意的三个条件,在具体情境中理解基本不等式,为学生求解代数式的最值问题提供示范.同时,为下一道例题应用基本不等式求最值的代数式提供范例.
例2 已知x,y都是正数,求证:
(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2;
(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值.
师生活动:学生思考并书写证明过程后展示,师生共同补充完善.教师总结用基本不等式解决最值问题有两个基本模型:“两个正数的积为定值,当这两个数取什么值时,求它们的和的最小值”,或者“两个正数的和为定值,当这两个数取什么值时,求它们的积的最大值”.
设计意图:本题是例1的总结和提升,看似简单,但是给出了用基本不等式能够解决的两个数学模型,为用基本不等式解决实际问题创造了条件.提升学生数学模型的思想.
三、归纳总结
问题5:本节课我们主要学习了基本不等式,请同学们回顾今天所学内容,思考以下问题:(1)什么是基本不等式?如何推导基本不等式?
(2)基本不等式的代数特征是什么?如何从几何图形上进行解释?
(3)基本不等式可以解决哪两类数学问题?使用的条件是什么?应注意什么?
师生活动:先由学生反思回答,教师纠正并提升.
设计意图:引导学生回顾所学内容,对所学的基本不等式有初步的掌握,为下一节基本不等式的实际应用做好铺垫.
四、目标检测设计
1.已知a,b∈R,求证.
设计意图:考查证明不等式的思路,并注意不能用基本不等式去求证,进一步掌握基本不等式使用的条件.
2.(1)已知,求的最小值及相应的x值.
(2)已知,求的最大值及相应的x值.
设计意图:考查学生利用基本不等式求最大值和最小值的能力.
3.已知x,y都是正数,且,求证:
(1); (2).
设计意图:考查学生利用基本不等式证明不等式及分析问题解决问题的能力.
4.已知直角三角形的面积等于50 cm2,当两条直角边的长度各为多少时,两条直角边的和最小?最小值是多少?
设计意图:考查学生利用基本不等式解决实际问题能力.
参考答案:
1.证明:要证明,只需证明,
即,即,即需证
而显然成立,只要把式子倒过来,就可以推出原不等式成立.
2.(1)解:∵,∴,
当且仅当,即时,等号成立.
所以的最小值为,这时.
(2)∵,∴,由
当且仅当,即时取等号.
3.证明(1)∵x,y都是正数,
∴,又由于,所以等号取不到.
∴.
(2)∵x,y都是正数,∴,又由于,所以等号取不到.
∴,两边同乘,得.
4.设直角三角形两边为a,b,则由已知得,即ab=100,
∵,当且仅当a=b=10时取等号.
当两条直角边的长度各为10 cm时,两条直角边的和最小,最小值为20.
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