2020-2021学年3.2 基本不等式第2课时导学案

1.3.2 第2课时 基本不等式的应用

【教学目标】

重点、难点

1、会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题；

2、应用基本不等式求函数的最值；（重点）

3、通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设应用基本不等式的情境.（难点）

学科素养

通过具体题目进一步掌握分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想、换元思想、整体思想等重要的数学思想

【知识清单】

1、基本不等式≤

（1）．基本不等式成立的条件：         

（2）．等号成立的条件：当且仅当         时取等号．

2、几个重要的不等式

（1）a2＋b2   2ab(a，b∈R)；        （2） ＋   2(a，b同号)．

（3）ab   2(a，b∈R)；         （4）2   (a，b∈R)．

3、算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：                                 

4、利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则：

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当     时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当     时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)

【基础过关】

1．已知函数

（1）当时，求函数的最小值；

（2）当时，求函数的最大值；

2、当x>2时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)．

A．(－∞，2]    B．(－∞，4]  C．[0，＋∞)    D．[2,4]

【经典例题】

考点一  利用基本不等式求最值

【例1】  (1)设0<x<2，求函数y＝的最大值；

(2)求＋a的取值范围；

考点二  多元均值不等式问题

【例2】设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是________．

【课堂达标】

1．已知都是正数,且，则的最小值等于

A． B．

C． D．

2．用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（　　）

A．30 B．36 C．40 D．50

3．已知正实数x，y满足.则的最小值为（    ）

A．4 B． C． D．

4．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运

A．3年 B．4年

C．5年 D．6年

5．（多选题）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有图形如图所示,为线段上的点,且,,为的中点,以为直径作半圆.过点作的垂线交半圆于,连结,,,过点作的垂线,垂足为.则该图形可以完成的所有的无字证明为（    ）

A．(,) B．(,)

C．(,) D．(,)

6．（多选题）下列结论正确的是（    ）.

A．当时，  B．当时，的最小值是2.

C．当时，的最小值为5  D．当，时，

E.若，则的最小值为

7．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若，试判断哪辆车先到达B地．

8．在某两个正数，之间，若插入一个正数，使，，成等比数列；若插入两个数，，使，，，成等差数列，试比较与的大小.

【能力提升】

1．设，则的最小值为（     ）

A． B． C． D．

2．若正实数、满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

3．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为（    ）.

A．200吨 B．300吨 C．400吨 D．600吨

4．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的最小值是　　

A．2 B．4 C．6 D．8

5．甲、乙两班在我校举行的“不忘初心，牢记使命”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数满足：成等比数列，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

6．函数（    ）

A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值

C．最大值为，最小值为 D．无最值

7．（多选题）小王从甲地到乙地往返的速度分別为和，其全程的平均速度为，则（    ）

A． B．

C． D．

8．（多选题）已知，则下列函数的最小值为2的有(   )

A． B． C．  D．

9．函数的最大值为      .

10．函数的最大值是__________.

11．求下列函数的最值

（1）求函数的最小值.（2）求函数的最小值.

（3）设，，若，求的最小值.

（4）若正数，满足，求的最小值.

12．美国华尔街的次贷危机引起的金融风暴席卷全球，低迷的市场造成产品销售越来越难，为此某厂家举行大型的促销活动，经测算该产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用万元满足，已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每件产品的销售价格定为元.

（Ⅰ）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数(利润=总售价-成本-促销费)；

（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.

13．已知a>0，b>0，a+b=2.

（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）证明：

14．围建一个面积为40平方米的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙足够长），利用的旧墙需维修，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2米的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为5元/米，新墙的造价为20元/米，设利用的旧墙的长度为（单位：米），修建此矩形场地围墙的总费用为（单位：元）

（1）将表示为的函数；

（2）试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

【参考答案】

【知识清单】

1、（1）a>0，（2）b>0.；

2、（1）≥；（2）≥；（3）≤；（4）≤

3、两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4、（1）x＝y（2）x＝y

【基础过关】

1、

2、解析：∵x＋≥a恒成立，

∴a必须小于或等于x＋的最小值．

∵x＞2，∴x－2＞0.

∴x＋＝(x－2)＋＋2≥4，

当且仅当x＝3时取最小值4.

【经典例题】

例1、解：(1)∵0＜x＜2，∴2－x＞0.

∴y＝＝·≤·＝，

当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，

∴当x＝1时，函数y＝的最大值是.

(2)显然a≠2，当a＞2时，a－2＞0，

∴＋a＝＋(a－2)＋2≥2＋2＝6，

当且仅当＝a－2，即a＝4时取等号；

当a＜2时，a－2＜0，

∴＋a＝＋(a－2)＋2＝－＋2≤－2＋2＝－2，

当且仅当＝2－a，即a＝0时取等号，

∴＋a的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．

解析：由已知条件可得y＝，

所以＝＝≥＝3，

当且仅当x＝y＝3z时，取得最小值3.

【课堂达标】

1．C

【解析】

【分析】

【详解】

,故选C.

2．C

【解析】

【分析】

设矩形的长为，则宽为，设所用篱笆的长为，所以有，利用基本不等式可以求出的最小值.

【详解】

设矩形的长为，则宽为，设所用篱笆的长为，所以有，根据基本不等式可知：，（当且仅当时，等号成立，即时，取等号）故本题选C.

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，由已知条件构造函数，利用基本不等式求出最小值是解题的关键.

3．D

【解析】

【分析】

先把变形为，则展开后，再利用基本不等可求出其最小值.

【详解】

解：由，得，

因为x，y为正实数，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

故选：D

【点睛】

此题考查了利用基本不等式最值，注意利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”，属于基础题.

4．C

【解析】

可设y=a(x－6)2+11，又曲线过(4，7)，∴7=a(4－6)2+11 ∴a=－1．

即y=－x2+12x－25，∴=12－(x+)≤12－2=2，当且仅当x=5时取等号. 故选C．

5．AC

【解析】

【分析】

由线段长度关系，可以求解。

【详解】

由，由射影定理可知：

又

(,)，A正确；

由射影定理可知：,即

又，即(,)，C正确；

故选：AC

【点睛】

此题考查通过几何图形对重要不等式的证明，关键点找到图中的线段长度关系，属于一般性题目。

6．AD

【解析】

【分析】

由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，可得选项A,D正确， B,C错误，又选项E中不是常数，即选项E错误.

【详解】

解：对于选项A，当时，，，当且仅当时取等号，结论成立；

对于选项B，当时，，当且仅当时取等号，但，等号取不到，因此的最小值不是2，结论错误，

对于选项C，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，结论错误；

对于选项D，因为，，则，，则结论显然正确；

对于选项E，因为不是定值，即结论错误.

故选：AD.

【点睛】

本题考查了均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，重点考查了运算能力，属中档题.

7．甲先到达B地．

【解析】

【分析】

设两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为，则，．

然后利用作差法或作商法比较大小，作商法中要注意结合基本不等式的使用得到结论.

【详解】

设两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为，则，．

方法一  因为，即，所以甲先到达B地．

方法二  ，因为，所以，从而，即，所以甲先到达B地．

【点睛】

本题考查利用做差法或作商法比较大小在实际问题中的应用，涉及基本不等式，属基础题.

8．（当时取等号）

【解析】

【分析】

由等比数列的性质得，由等差数列的性质得，，从而将原不等式转化为关于，的关系式，再利用基本不等式即可.

【详解】

∵x，a，y成等比数列且，∴

∵，，，成等差数列，∴，

即，，

∴，

∵，，

∴，

当且仅当时，等号成立，

即为.

【点睛】

本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用，基本不等式的应用，属于中档题.

【能力提升】

1．C

【解析】

【分析】

根据已知式，凑配出定值后用基本不等式求得最小值．

【详解】

∵，∴，

∴，当且仅当，即时等号成立，

故选：C．

【点睛】

本题考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出定值．

2．A

【解析】

【分析】

利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值.

【详解】

利用基本不等式可得，，解得.

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题.

3．C

【解析】

【分析】

列出处理成本函数，然后由基本不等式求最小值，并得出取最小值时处理量．

【详解】

由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，当且仅当，即时，等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，可使每旽的平均处理成本最低.故选;C

【点睛】

本题考查基本不等式在函数中的应用，解题关键是列出函数关系式．

4．B

【解析】

【分析】

根据题意，利用基本不等式得出关于a的不等式，求解即可．

【详解】

解：不等式对任意的正实数x，y恒成立，

则对任意的正实数x，y恒成立，

又，

，

解得或不合题意，舍去，

，

即正实数m的最小值是4．

故选：B．

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．

5．D

【解析】

【分析】

由中位数、平均数可得x，y的值，再由成等比数列得到，最后利用基本不等式可得的最小值.

【详解】

甲班成绩的中位数是81，故，乙班成绩的平均数是86，则

，解得，又成等比数列，

故，所以，，当且仅当时，等号成立.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用基本不等式求最值的问题，涉及到茎叶图、中位数、平均数等知识，是一道容易题.

6．C

【解析】

【分析】

由题意，分，，三种情况，利用基本不等式求最值，即可得出结果.

【详解】

因为，

当时，；

当时，，且，

当且仅当，即时，等号成立；因此；

当时，，且，

当且仅当，即时，等号成立；因此；

综上，函数的值域为，

即函数有最大值，最小值为.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查由基本不等式求函数最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.

7．AD

【解析】

【分析】

设甲、乙两地的距离为，计算出全程的平均速度，然后利用基本不等式得出与和的大小关系，并利用作差法比较与的大小关系，从而得出正确选项.

【详解】

设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，.

，由基本不等式可得，，

另一方面，，

，则.

故选：AD.

【点睛】

本题考查利用基本不等式比较大小关系，同时也考查了利用作差法比较大小，解题的关键就是求出平均速度的表达式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

8．ACD

【解析】

【分析】

利用基本不等式或函数单调性分别求函数的最小值，确定选项.

【详解】

因为，所以（当且仅当时取等号）；

因为函数在递增，所以；

因为函数在递增，所以；

因为，所以（当且仅当取等号），故选ACD.

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，函数的单调性应用，考查计算能力属于中档题.

9．

【解析】

【详解】

当且仅当时取等号

10．

【解析】

【分析】

首先利用基本不等式得到，求得结果.

【详解】

，当且仅当，即时取等号，

所以的最大值是，

故答案为：.

【点睛】

该题考查的是有关利用基本不等式求最值的问题，涉及到的知识点有和为定值，积有最大值，注意等号成立的条件，属于基础题目.

11．（1）.（2）.（3）.（4）

【解析】

【分析】

（1）先将函数表达式转化为，再由基本不等式求得函数的最小值.

（2）先将函数表达式转化为，再由基本不等式求得函数的最小值.

（3）先将所求表达式转化为，再由基本不等式求得最小值.

（4）利用“”的代换的方法，化简所求表达式，再由基本不等式求得最小值.

【详解】

（1），故函数的最小值为，当且仅当，即时取得；

（2），故函数的最小值为，当且仅当即时取得；

（3）由题得，代入原式，得，故原式的最小值为，当且仅当，即时取得；

（4）由题得，则，当且仅当时取“”，故最小值为5.

【点睛】

本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

12．（1），（）

（2）促销费用投入1万元时，厂家的利润最大

【解析】

【分析】

【详解】

(1)由题意可知该产品售价为元，,然后化简后可得，（）.

(2) 显然可利用基本不等式求其最值即可.

（1）由题意知，该产品售价为元，

代入化简的，（）

（2）, 当且仅当时，上式取等号 所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大

13．（Ⅰ）最小值为；（Ⅱ）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果；

（2）利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明.

【详解】

（Ⅰ）

则

当且仅当，即，时，

所以的最小值为．

（Ⅱ）要证明：，

只需证：，

即证明：，

由，

也即证明：．

因为，

所以当且仅当时，有，

即，当时等号成立．

所以

【点睛】

本题考查均值不等式，分析法证明不等式，审清题意，仔细计算，属中档题.

14．（1）；（2）当米时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是元.

【解析】

【分析】

（1）设矩形的另一边长为米，则根据围建的矩形场的面积为40平方米，易得，此时再根据旧墙的维修费用为5元/米，新墙的造价为20元/米，即可得到修建围墙的总费用表示为的函数的解析式.

（2）根据（1）所得的解析式，利用基本不等式，易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的值.

【详解】

（1）设矩形的另一边长为米，

则，

由已知，得，

所以.

（2） 因为，所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

即当米时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是元.

【点睛】

本题考查基本不等式的实际应用，考查利用基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.