南通市海安市紫石中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

南通市海安市紫石中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题

（考试时间：120分钟，满分150分）

一．选择题.

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是（　　）

A.  B.  C. ＝9 D. 3＝3

3. 下列各组数中，能构成直角三角形的一组是（　　）

A. 2，3，4 B. 5，8，11 C. 1，1， D. 5，12，13

4. 满足不等式的最小整数是（    ）

A 2 B. 3 C. 4 D. 5

5. 如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO=1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（　　）

A. ﹣0.4 B. ﹣ C. 1﹣ D. ﹣1

6. 如图，在中，，，则的度数是（   ）

A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°

7. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(   )

A. 2.2米 B. 2.3米 C. 2.4米 D. 2.5米

8. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，再找一点，使它与点，，构成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，以AC和BC为底边分别向外作等腰直角△AFC和等腰直角△BEC，若△AFC的面积为，△BCE的面积为，则的值为（　　）

A. 8 B. 16 C. 24 D. 32

10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于点E．AB=，AO=1，BD=4，则AE的长为（）

A.  B.  C.  D.

二．填空题.

11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__．

12. 比较大小：_____．

13. 若的整数部分是a，小数部分是b，则______.

14. 已知两条线段的长为和，当第三条线段的长为_________时，这三条线段能组成一个直角三角形.

15. 如图，在平行四边形中，DB＝DC，∠C＝80°，AE⊥BD于E，则∠DAE＝__度．

16. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则BE2+CE2的值为 _____．

17. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，D为BC边上一点．将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则DE的长为_____．

18. 如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中：①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有_____．

三．解答题.

19. 计算：

（1）；

（2）．

20. 实数a、b、c在数轴上位置如图所示，化简．

21. 已知，且x为偶数，求值．

22. 如图，在四边形ABCD中，E、F分别为对角线BD上两点，且BE＝DF．

（1）若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若四边形AECF是菱形，则四边形ABCD是菱形吗？请说明理由？

23. 如图，在ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE．

（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；

（2）求证：BG2﹣GE2＝EA2；

（3）若BC＝2，求BDH的面积．

24. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为秒．

（1）求BC的长；

（2）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

25. 如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A，F，E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．

（1）求证：AF＝CE；

（2）猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；

（3）若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE长．

26. （1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是12-x和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是 _________

（2）类比迁移：已知a，b均为正数，且a + b = 4．求的最小值_________

（3）方法应用：已知a，b均为正数，且是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）

答案与解析

一．选择题.

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式，进而解答即可．

【详解】解：A、，故不是

最简二次根式，不符合题意；

B、是最简二次根式，符合题意；

C、，故不是最简二次根式，

不符合题意；

D、，故不是最简二次根式，

不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解答的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式．

2. 下列计算正确的是（　　）

A.  B.  C. ＝9 D. 3＝3

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次根式的加减法法则、乘法法则、二次根式的除法法则进行判断．

【详解】解：A．与不能合并，故选项错误，不符合题意；

B．，故选项正确，符合题意；

C．，故选项错误，不符合题意；

D．，故选项错误，不符合题意．

故选：B

【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加减法法则、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．

3. 下列各组数中，能构成直角三角形的一组是（　　）

A. 2，3，4 B. 5，8，11 C. 1，1， D. 5，12，13

【答案】D

【解析】

【分析】根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可．

【详解】A、∵22 +32 ≠4 2 ，∴不能构成直角三角形；
B、∵52 +82 ≠112 ，∴不能构成直角三角形；
C、∵ ，∴不能构成直角三角形；
D、∵5 2 +12 2 =13 2 ，∴能构成直角三角形．
故选D．

【点睛】本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即只要三角形的三边满足a 2 +b 2 =c 2 ，则此三角形是直角三角形．

4. 满足不等式的最小整数是（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】先求出不等式的解集为，然后估算出的取值范围即可得到答案．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴满足不等式的最小整数是3，

故选B．

【点睛】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，无理数的估算，二次根式的混合运算，正确求出不等式的解集是解题的关键．

5. 如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO=1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（　　）

A. ﹣0.4 B. ﹣ C. 1﹣ D. ﹣1

【答案】C

【解析】

【分析】利用勾股定理求出AB的长，可得AB=AC=，推出OC=﹣1即可解决问题.

【详解】在Rt△AOB中，AB=，

∴AB=AC=，

∴OC=AC﹣OA=﹣1，

∴点C表示的数为1﹣．

故选C．

【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

6. 如图，在中，，，则的度数是（   ）

A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°

【答案】D

【解析】

【分析】因为，，所以可得到，根据平行四边形的性质对角相等，从而得出的度数．

详解】解：∵，

∴，

∵，

∴，

∵四边形是平行四边形，

∴．

故选：D．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，清楚掌握其性质并能灵活运用是解题关键．

7. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(   )

A. 2.2米 B. 2.3米 C. 2.4米 D. 2.5米

【答案】A

【解析】

【分析】将梯子斜靠在墙上时，形成的图形看做直角三角形，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，可以求出梯子的长度，再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墙的距离，从而得出答案.

【详解】

如图，在Rt△ACB中，

∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，

∴

在Rt△A‘BD中，

∵∠A’BD=90°，A’D=2米，

∴

∴

∵BD>0，

∴BD=1.5米，

∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米

即小巷宽度为2.2米，故答案选A

【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知并熟练运用勾股定理求斜边和直角边是解题的关键

8. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，再找一点，使它与点，，构成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】画出图形，以AC、BC为邻边构成平行四边形，可得此时D1点的坐标，以AB、AC为邻边构成平行四边形，可得此时D2点的坐标，以AB、BC为邻边构成平行四边形，可得此时D3点的坐标，从而可作出判断．

【详解】如图所示，若以AC、BC为邻边平构成平行四边形，可得此时D1点的坐标为(2,4)；若以AB、AC为邻边构成平行四边形，可得此时D2点的坐标为(-4,2)，以AB、BC为邻边构成平行四边形，可得此时D3点的坐标(0,-4)，故点D的坐标不可能是．

故选：D．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，坐标与图形的性质等知识，涉及分类讨论，关键是画出图形，利用图形来解决．

9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，以AC和BC为底边分别向外作等腰直角△AFC和等腰直角△BEC，若△AFC的面积为，△BCE的面积为，则的值为（　　）

A. 8 B. 16 C. 24 D. 32

【答案】B

【解析】

【分析】由勾股定理求出，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出BE＝CE=BC，AF＝FC=AC，得出，即可得出结果．

【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝8，

∴，

∵△BEC和△AFC是等腰直角三角形，

∴BE＝CE=BC，AF＝FC=AC，

∴

=×64

＝16；

故选：B．

【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．

10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于点E．AB=，AO=1，BD=4，则AE的长为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据边之间的关系和勾股定理的逆定理得是直角三角形，，在中，根据勾股定理得，利用三角形的面积即可得．

【详解】解：∵BD=4，

∴，

∵，

，

∴是直角三角形，，

∵AO=1，

∴AC=2，

在中，根据勾股定理得，

，

∵，

∴

，

故选D．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握这些知识点．

二．填空题.

11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__．

【答案】x＞2

【解析】

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可．

【详解】解：由题意得：，

解得：x＞2，

故答案为：x＞2．

【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．

12. 比较大小：_____．

【答案】＜

【解析】

【分析】首先将根号外的因式移到根号内部，进而利用实数比较大小方法得出即可．

【详解】解：∵-3=-，-2=-，
∴-＜-，
∴-3＜-2．
故答案为：＜．

【点睛】此题主要考查了实数比较大小，正确将根号内的数字移到根号内部是解题关键．

13. 若的整数部分是a，小数部分是b，则______.

【答案】1

【解析】

【详解】解：∵的整数部分为a，小数部分为b，

∴a=1，b=，

∴a-b==1．

故答案为：1

14. 已知两条线段的长为和，当第三条线段的长为_________时，这三条线段能组成一个直角三角形.

【答案】13或

【解析】

【分析】已知直角三角形的二边求第三边时，一定区分所求边是直角三角形的斜边和直角边二种情况下的结果，然后根据勾股定理解答．

【详解】解：根据勾股定理，当12为直角边时，第三条线段长为=13；

当12为斜边时，第三条线段长为=；

故答案为13或．

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并正确运用勾股定理逆定理是解题的关键，注意要分两种情况讨论．

15. 如图，在平行四边形中，DB＝DC，∠C＝80°，AE⊥BD于E，则∠DAE＝__度．

【答案】10

【解析】

【分析】由等腰三角形的性质和平行四边形的性质可求得∠ADE＝80°，然后根据直角三角形两锐角互余可求得∠DAE的度数．

【详解】解：∵DB＝DC，

∴∠DBC＝∠C＝80°，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴ADBC，

∴∠ADE＝∠DBC＝80°，

∵AE⊥BD，

∴∠AED＝90°，

∴∠DAE＝90°﹣80°＝10°，

故答案为：10．

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，利用条件求得∠ADE的度数是解题的关键．

16. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则BE2+CE2的值为 _____．

【答案】36

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AE＝AB＝DE＝CD＝3，∠BEC＝90°，可得BC＝AD＝3+3＝6，再根据勾股定理解答即可．

【详解】解：∵BE、CE 分别平分∠ABC 和∠BCD

∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB＝CD＝3，BC＝AD，

∴∠ABC+∠BCD＝180°，

∴∠EBC+∠ECB＝90°，

∴∠BEC＝90°，

∴BE2+CE2＝BC2 ，

∵AD∥BC，

∴∠EBC＝∠AEB，

∵BE平分∠ABC，

∴∠EBC＝∠ABE，

∴∠AEB＝∠ABE，

∴AB＝AE＝3，

同理可证 DE＝DC＝3，

∴DE+AE＝AD＝6，

∴BE2+CE2＝BC2＝AD2＝36．

故答案为：36．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理，掌握以上性质定理是解题的关键．

17. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，D为BC边上一点．将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则DE的长为_____．

【答案】

【解析】

【分析】先由折叠的性质得到AE=AB=13，BD=ED，再由勾股定理求出AC=5，从而得到CE=8，设DE=x，则DC=BC－BD=12－x，再利用勾股定理求解即可．

【详解】解：由折叠的性质可知，AE=AB=13，BD=ED，

∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，

∴，∠ECD=90°，

∴CE=AE－AC=8，

设DE=x，则DC=BC－BD=12－x，

在Rt△ECD中，，

∴，

解得，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理．

18. 如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中：①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有_____．

【答案】①②③

【解析】

【分析】连接EC，作CH⊥EF于H．首先证明△BAD≌△CAE，再证明△EFC等边三角形即可解决问题；

【详解】连接EC，作CH⊥EF于H．

∵△ABC，△ADE都是等边三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△BAD≌△CAE，

∴BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，

∵EF∥BC，

∴∠EFC=∠ACB=60°，

∴△EFC是等边三角形，CH=，

∴EF=EC=BD，

∵EF∥BD，

∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确，

∵BD=CF=1，BA=BC，∠ABD=∠BCF，

∴△ABD≌△BCF，故①正确，

∵S平行四边形BDEF=BD•CH=，故③正确，

S△AEF=S△AEC=•S△ABD=故④错误，

故答案为①②③．

【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

三．解答题.

19. 计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则即可求出答案．

（2）根据负整数指数幂的意义，零指数幂的意义以及实数的运算法则即可求出答案．

【小问1详解】

解：原式

．

【小问2详解】

解：原式

．

【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，零指数幂的意义以及负整数指数幂的意义，本题属于基础题型．

20. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简．

【答案】2b+2ab

【解析】

【分析】直接利用数轴判断得出：，进而化简即可．

【详解】解：由题意可得：c<a<0<b，

∴，

原式＝

＝2b+2ab．

【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，正确得出各部分符号是解题关键．

21. 已知，且x为偶数，求的值．

【答案】

【解析】

【分析】首先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件解不等式组，可求得x的范围，然后根据x是偶数即可确定x的值，然后对所求的式子进行化简，然后代入求解即可．

详解】解：由题意得，

解得：6＜x≤9，

∵x为偶数，

∴x＝8．

∵原式＝（1+x）

＝（x+1）

=．

∴当x＝8时，原式=．

【点睛】本题主要考查了二次根式，分式，不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解不等式组，二次根式的化简求值，是解决问题的关键．

22. 如图，在四边形ABCD中，E、F分别为对角线BD上的两点，且BE＝DF．

（1）若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若四边形AECF是菱形，则四边形ABCD是菱形吗？请说明理由？

【答案】（1）见解析；（2）是菱形，见解析

【解析】

【分析】（1）连接AC交BD于点O，由平行四边形的性质得出OA＝OC，OE＝OF，再证出OB＝OD，即可得出结论；

（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，由（1）得四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论．

【详解】（1）证明：连接AC交BD于点O，如图所示：

∵四边形AECF是平行四边形，

∴OA＝OC，OE＝OF，

∵BE＝DF，

∴BE+OE=DF+OF，

∴OB＝OD，

∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）解：四边形ABCD是菱形，理由如下：

∵四边形AECF是菱形，

∴AC⊥BD，

由（1）证四边形ABCD是平行四边形；

∴四边形ABCD是菱形．

【点睛】本题考查平行四边形与菱形的证明方法，掌握平行四边形与菱形的判断定理，会解和条件选择恰当的证明方法是关键．

23. 如图，在ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE．

（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；

（2）求证：BG2﹣GE2＝EA2；

（3）若BC＝2，求BDH的面积．

【答案】（1）BH＝AC，见解析；（2）见解析；（3）22

【解析】

【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠BCD＝∠ABC，∠ABE＝∠DCA，推出DB＝CD，根据ASA证出△DBH≌△DCA即可；

（2）根据DB＝DC和F为BC中点，得出DF垂直平分BC，推出BG＝CG，根据BE⊥AC和∠ABE＝∠CBE得出AE＝CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案；

（3）根据等腰直角三角形的性质求出CD＝BD＝2，根据全等三角形的性质得到DH＝AD＝22，再根据三角形面积公式即可求解．

【详解】解：（1）BH＝AC，理由如下：

∵CD⊥AB，BE⊥AC，

∴∠BDH＝∠BEC＝∠CDA＝∠CDB＝90°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠BCD＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠ABC

∴DB＝DC，

∵∠BDH＝∠BEC＝∠CDA＝90°，

∴∠A+∠ACD＝90°，∠A+∠HBD＝90°，

∴∠HBD＝∠ACD，

在△DBH和△DCA中

，

∴△DBH≌△DCA（ASA），

∴BH＝AC．

（2）证明：连接CG，

由（1）知，DB＝CD，

∵F为BC的中点，

∴DF垂直平分BC，

∴BG＝CG，

∵∠ABE＝∠CBE，BE⊥AC，

∴EC＝EA，

∴CB＝AB，

在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2﹣GE2＝CE2，

∵CE＝AE，BG＝CG，

∴BG2﹣GE2＝EA2．

（3）∵∠CDB＝90°，∠ABC＝45°，

∴△BDC是等腰直角三角形，

∵BC＝2，

∴CD＝BD＝2，

∴AD＝AB﹣BD＝22，

∵△DBH≌△DCA，

∴DH＝AD＝22，

∴△BDH的面积为BD•DH2×（22）＝22．

【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线的性质，三角形面积的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等腰三角形具有三线合一的性质．

24. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为秒．

（1）求BC的长；

（2）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）
 

【解析】

【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；

（2）如图所示，过点P作PD⊥AB于D，由题意得，则，证明Rt△ADP≌Rt△ACP从而求出，

在Rt△PBD中由，得到，由此求解即可．

【小问1详解】

解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，

∴；

【小问2详解】

解：如图所示，过点P作PD⊥AB于D，

由题意得，则，

在Rt△ADP和Rt△ACP中，

，

∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL），

∴，

∴，

在Rt△PBD中，，

∴，

解得．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．

25. 如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A，F，E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．

（1）求证：AF＝CE；

（2）猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；

（3）若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．

【答案】（1）见解析    （2）CE2＋BF2＝BC2，理由见解析   

（3）AE＝，AC＝＋

【解析】

【分析】(1)连接AD，证明△ADF≌△CDE(SAS)，可得AF=CE；

(2)结论：，利用全等三角形的性质证明BF=AE，再证明∠AEC=90°，可得结论；

(3)设EH=m，证明△ADH∽△CEH，可得，推出DH=2m，推出AD=CD=2m+2，EC=m+1，在Rt△CEH中，根据，构建方程求出m即可解决问题．

【小问1详解】

证明： 如图，连接AD．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边中点，

∴AD⊥CB，AD＝DB＝DC．

∵∠ADC＝∠EDF＝90°，

∴∠ADF＝∠CDE．

又∵DF＝DE，

∴△ADF≌△CDE(SAS)，

∴AF＝CE；

【小问2详解】

解：猜想：．

证明：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，

∴，∠DFE＝∠DEF＝45°．

∵△ADF≌△CDE，

∴∠AFD＝∠DEC＝135°，∠DAF＝∠DCE．

∵∠BAD＝∠ACD＝45°，

∴∠BAD＋∠DAF＝∠ACD＋∠DCE．

∴∠BAF＝∠ACE．

∵AB＝CA，AF＝CE，

∴△BAF≌△ACE(SAS)．

∴BF＝AE．

∵∠AEC＝∠DEC－∠DEF＝135°－45°＝90°，

∴AE2＋CE2＝AC2，

∴；

【小问3详解】

解：设EH＝m．

∵∠ADH＝∠CEH＝90°，∠AHD＝∠CHE，

∴△ADH∽△CEH．

∴．

∴DH＝2m．

∴AD＝CD＝2m＋2．

∴EC＝m＋1．

在Rt△CEH中，CH2＝EH2＋CE2，

∴22＝m2＋(m＋1)2．

∴2m2＋2m－3＝0．

∴或(舍)．

∴AE＝AH＋EH＝．

∴AD＝1＋．

∴．

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明△ADF≌△CDE，△BAF≌△ACE，△ADH∽△CEH．

26. （1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是12-x和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是 _________

（2）类比迁移：已知a，b均为正数，且a + b = 4．求的最小值_________

（3）方法应用：已知a，b均为正数，且是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）

【答案】（1）13；（2）5；（3）

【解析】

【分析】（1）先根据题意利用勾股定理求出，，则，要想的值最小，则的值最小，即当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为AB，由此利用勾股定理求出AB的值即可；

（2）如图所示，，，，，利用勾股定理求出，，然后同（1）求解即可；

（3）如图所示，，，，，∠ABF=∠ACD=∠DEF=90°，则，，，故△ADF的面积即为所求，由此求解即可．

【详解】解：（1）如图所示，，，，，

在直角三角形ACD中，，

在直角三角形BDE中，，

∴，

∴要想的值最小，则的值最小，

∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为AB，

过点B作BF⊥AC交AC延长线于F，

∵EC⊥AF，BF⊥AC，BE⊥AC，

∴由长方形的性质得BF=CE=CD+DE=12，CF=BE=3，

∴AF=AC+CF=5，

∴，

∴的最小值为13，

故答案为：13；

（2）如图所示，，，，，

在直角三角形ACD中，，

在直角三角形BDE中，，

∴，

∴要想的值最小，则的值最小，

∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为AB，

过点B作BF⊥AC交AC延长线于F，

∵EC⊥AF，BF⊥AC，BE⊥AC，

∴由长方形的性质BF=CE=CD+DE=a+b=4，CF=BE=2，

∴AF=AC+CF=3，

∴，

∴的最小值为5，

故答案为：5；

（3）如图所示，，，，，∠ABF=∠ACD=∠DEF=90°，

∴，，，

∴△ADF的面积即为所求，

∴

．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质与判定，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解．