江苏省南通市海安市紫石中学2022-2023学年七年级下学期数学期中试卷+

这是一份江苏省南通市海安市紫石中学2022-2023学年七年级下学期数学期中试卷+，共22页。试卷主要包含了第二象限内的点P，下列结论正确的是，已知是二元一次方程组的解，已知点P等内容，欢迎下载使用。

A．B．
C．D．
2．第二象限内的点P（x，y）满足|x|＝9，y2＝4，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣9，2）B．（9，2）或（9，﹣2）
C．（﹣9，2）或（﹣9，﹣2）D．（9，﹣2）
3．下列结论正确的是（ ）
A．216的立方根是±6
B．立方根等于其本身的数为0
C．没有立方根
D．64的立方根是4
4．已知是二元一次方程组的解（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知点P（1﹣2m，m﹣1），则不论m取什么值，该P点必不在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．如图，a∥b，∠3＝82°，则∠1的度数是（ ）
A．48°B．50°C．52°D．54°
7．《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之；屈绳量之，不足一尺，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳长y尺，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
8．若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．7＜a＜8B．7＜a≤8C．7≤a＜8D．7≤a≤8
9．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OP⊥CD，∠ABO＝40°
①OF⊥OE；
②∠BOE＝70°；
③∠POE＝∠BOF；
④∠POB＝2∠DOF．
其中正确结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
10．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，W＝2a﹣3b，则W的最大值为（ ）
A．3B．﹣7C．2D．﹣5
二、填空题（本大题共8小题，11～12每小题3分，13～18每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．1的相反数是 ．
12．如图，AB∥CD，若∠1＝80° ．
13．（4分）若m＜2＜m+1，且m为整数 ．
14．（4分）商店为了对某种商品促销，将定价为5元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过五件；若一次性购买五件以上超过部分打八折，现有48元 件．
15．（4分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ．
16．（4分）如图，射线OA是第三象限角平分线，若点B（k﹣3，1﹣2k），则实数k的取值范围是 ．
17．（4分）若x＝5是关于x的不等式2x+5＞a的一个解，但x＝4不是它的解，则a的取值范围是 ．
18．（4分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（y﹣1，﹣x﹣1）1的友爱点为 A2，A2的友爱点为A3，A3的友爱点为A4，…以此类推，当A1的坐标为（5，2）时，点A2023的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（20分）计算、解方程组、不等式组：
（1）﹣22+﹣（）2+|﹣|；
（2）；
（3）并在数轴上表示不等式组的解集．
20．（10分）已知x＝4，y＝﹣2，与x＝﹣2，求b﹣k的值．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣3），再向上平移4个单位长度得到线段CD（其中点A与点D、点B与点C是对应点）
（1）画出平移后的线段CD，写出点C的坐标为（ ， ）．
（2）连接AD、BC，四边形ABCD的面积为 ．
（3）点E在线段AD上，CE＝6，点F是线段CE上一动点 ．
22．（10分）因为＜＜，即1＜＜2的整数部分为1，小数部分为，解决下列问题：
（1）求的小数部分；
（2）若m是6﹣的整数部分，且（x+1）2＝m，求x的值．
23．（10分）如图，已知AB∥CD，∠1+∠2＝180°．
（1）请你判断AD与CE的位置关系，并说明理由；
（2）若CE⊥AE于点E，∠2＝150°，试求∠FAB的度数．
24．（10分）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．
（1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；
（2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润＝售价﹣进价）
25．（10分）先阅读，再完成练习．
一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
|x|＜3．
x表示到原点距离小于3的数，从图1所示的数轴上看：大于﹣3而小于3的数，它们到原点距离小于3；
|x|＞3．
x表示到原点距离大于3的数，从图2所示的数轴上看：小于﹣3的数和大于3的数，它们到原点距离大于3
解答下面的问题：
（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为 ，不等式|x|＞a（a＞0）的解集为 ．
（2）解不等式|x﹣4|＜2．
（3）解不等式2|x+3|﹣7＞5．
（4）直接写出不等式|x﹣2|+|x+3|＜8的解集： ．
26．（10分）线段AB与线段CD互相平行，点P是平面内的一点，且点P不在直线AB、CD上．
（1）连接PA，PC，如图1，∠PCD＝120°，求∠APC的度数
如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线性质可求∠APC的度数，写出∠APC度数的求解过程；
（2）若点P在线段AD上，如图3，射线AM
①依题意补全图3；
②判断AM与DN的位置关系，并证明；
（3）连接PA，PD，射线AM，是否存在点P，使AM⊥DN？若存在；若不存在，说明理由．
江苏省南通市海安市紫石中学2022-2023学年七年级下学期数学期中试卷参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下面的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角的定义作出判断即可．
【解答】解：根据对顶角的定义可知：只有C图中的∠1与∠2是对顶角，其它都不是．
故选：C．
【点评】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
2．第二象限内的点P（x，y）满足|x|＝9，y2＝4，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣9，2）B．（9，2）或（9，﹣2）
C．（﹣9，2）或（﹣9，﹣2）D．（9，﹣2）
【分析】点在第二象限内，那么其横坐标小于0，纵坐标大于0，进而根据所给的条件判断具体坐标．
【解答】解：∵点P（x，y）在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
又∵|x|＝8，y2＝4，
∴x＝﹣5，y＝2，
∴点P的坐标是（﹣9，3）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点．记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．下列结论正确的是（ ）
A．216的立方根是±6
B．立方根等于其本身的数为0
C．没有立方根
D．64的立方根是4
【分析】根据立方根的概念和求一个数的立方根的方法求解并判断即可．
【解答】解：A、63＝216，（﹣3）3＝﹣216，所以216的立方根是6，不符合题意；
B、立方根等于其本身的数为﹣8，0，1，不符合题意；
C、，所以，故选项C错误；
D、73＝64，所以64的立方根是4，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了立方根的概念和求一个数的立方根的方法，熟练掌握求一个数的立方根的方法是解答本题的关键．
4．已知是二元一次方程组的解（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】把代入二元一次方程组，即可求出m、n的值，再把m、n的值代入m﹣n，即可求出答案．
【解答】解：∵是二元一次方程组，
∴代入得：，
解得：m＝3，n＝3，
∴m﹣n＝7﹣8＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解和求代数式的值，能求出m、n的值是解此题的关键．
5．已知点P（1﹣2m，m﹣1），则不论m取什么值，该P点必不在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】分横坐标是正数和负数两种情况求出m的值，再求出纵坐标的正负情况，然后根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：①1﹣2m＞8时，m＜，
m﹣5＜0，
所以，点P在第四象限；
②1﹣7m＜0时，m＞，
m﹣1既可以是正数，也可以是负数，
点P可以在第二、三象限，
综上所述，P点必不在第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，分情况讨论判断出纵坐标的正负情况是解题的关键．
6．如图，a∥b，∠3＝82°，则∠1的度数是（ ）
A．48°B．50°C．52°D．54°
【分析】由平行线的性质推出∠4＝∠1，由三角形外角的性质得到∠2+∠1＝82°，而∠1﹣∠2＝22°，即可求出∠1＝52°．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠4＝∠1，
∵∠7＝82°，
∴∠2+∠4＝∠8＝82°，
∴∠2+∠1＝82°，
∵∠3﹣∠2＝22°，
∴∠1＝52°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠4＝∠1，由三角形外角的性质得到∠2+∠1＝82°．
7．《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之；屈绳量之，不足一尺，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳长y尺，可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，
由将绳子对折再量长木，长木还剩余2尺y＝x﹣4，
故，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程组．
8．若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．7＜a＜8B．7＜a≤8C．7≤a＜8D．7≤a≤8
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的3个整数解是5，6，7，再求出a的取值范围即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞4.5，
解不等式②，得x≤a，
所以不等式组的解集是3.5＜x≤a，
∵关于x的不等式组恰有3个整数解（整数解是7，6，
∴7≤a＜6，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和不等式组的整数解得出a的范围是解此题的关键．
9．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OP⊥CD，∠ABO＝40°
①OF⊥OE；
②∠BOE＝70°；
③∠POE＝∠BOF；
④∠POB＝2∠DOF．
其中正确结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】由角平分线的定义得到∠BOE＝∠BOC，∠BOF＝∠BOD，根据垂直的定义得到OE⊥OF，所以①正确；根据平行线的性质得到∠ABO＝∠BOD＝40°，根据角平分线的定义得到∠BOE＝×140°＝70°；所以②正确；根据垂直的定义得到∠COP＝90°，求得∠EOF＝∠POD＝90°，根据角的和差得到∠POE＝∠DOF，等量代换得到∠POE＝∠BOF；所以③正确；根据平行线的性质得到OP⊥AB，∠BOD＝∠ABO＝40°，求得∠BOP＝50°，根据角平分线的定义得到∠DOF＝∠BOD＝20°，求得∠POB≠2∠DOF，所以④错误．
【解答】解：∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOC∠BOD，
∵∠BOC+∠BOD＝180°，
∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝（∠BOC+∠BOD）＝90°，
∴OE⊥OF，所以①正确；
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠BOD＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝×140°＝70°；
∵OP⊥CD，
∴∠COP＝90°，
∴∠EOF＝∠POD＝90°，
∴∠POE＝90°﹣∠POF，∠DOF＝90°﹣∠POF，
∴∠POE＝∠DOF，
∵∠BOF＝∠DOF，
∴∠POE＝∠BOF，所以③正确；
∵AB∥CD，OP⊥CD，
∴OP⊥AB，∠BOD＝∠ABO＝40°，
∴∠BPO＝90°，
∴∠POB＝90°﹣∠PBO＝50°，
∵OF平分∠BOD，
∴∠DOF＝∠BOD＝20°，
∴2∠DOF＝40°，
∴∠POB≠7∠DOF，所以④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
10．已知关于x，y的方程组的解都为非负数，W＝2a﹣3b，则W的最大值为（ ）
A．3B．﹣7C．2D．﹣5
【分析】先解方程组可得，再根据方程组的解都为非负数，可得1≤a≤3，然后根据已知可得W＝5a﹣12，再利用一次函数的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解得：，
∵方程组的解都为非负数，
∴，
解得：8≤a≤3，
∵a+b＝4，
∴b＝7﹣a，
∴W＝2a﹣3b
＝3a﹣3（4﹣a）
＝6a﹣12+3a
＝5a﹣12，
∴W随a的增大而增大，
∴当a最大＝2时，W最大＝5×3﹣12＝6，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，11～12每小题3分，13～18每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．1的相反数是 ．
【分析】如果两数互为相反数，那么它们和为0，由此即可求出1﹣的相反数．
【解答】解：1﹣的相反数是．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是相反数的概念：两数互为相反数，它们和为0．
12．如图，AB∥CD，若∠1＝80° 100° ．
【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝80°，
∴∠AED＝∠1＝80°，
∴∠AEC＝180°﹣∠AED＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
13．（4分）若m＜2＜m+1，且m为整数 5 ．
【分析】估计2的大小范围，进而确定m的值．
【解答】解：2＝，
∵＜＜，
∴5＜2＜4，
又∵m＜2＜m+3，
∴m＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查无理数的估算，理解2介在哪两个整数之间是正确求解的关键．
14．（4分）商店为了对某种商品促销，将定价为5元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过五件；若一次性购买五件以上超过部分打八折，现有48元 13 件．
【分析】由购买该商品的总费用不能超过48元，列出不等式，即可求解．
【解答】解：∵4×5＜48，
∴最多购买该商品的件数大于5，
设购买x件，
由题意可得：5×5+（x﹣3）×5×0.6≤48，
解得：x≤，
∵x为正整数，
∴最多可以购买该商品的件数为10件，
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系列出不等式是解题的关键．
15．（4分）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 a≥1 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得答案．
【解答】解：解不等式x﹣a＞7，
解不等式4﹣2x≥5，得：x≤2，
∵不等式组无解，
∴2a≥6，
解得a≥1，
故答案为：a≥1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．（4分）如图，射线OA是第三象限角平分线，若点B（k﹣3，1﹣2k），则实数k的取值范围是 ．
【分析】根据点B（k﹣3，1﹣2k）在第三象限内且在射线OA的下方可知k﹣3＜0，1﹣2k＜0，k﹣3＞1﹣2k，求出k的解集即可．
【解答】解：∵点B（k﹣3，1﹣3k）在第三象限内且在射线OA的下方，
∴，
解不等式①得：k＜6，
解不等式②得：k＞，
解不等式③得：k＞．
∴不等式组的解集为：．
故答案为：．
【点评】本题考查解一元一次不等式组和平面直角坐标系，解题关键是熟知求解集公共部分的方法．
17．（4分）若x＝5是关于x的不等式2x+5＞a的一个解，但x＝4不是它的解，则a的取值范围是 13≤a＜15 ．
【分析】表示出不等式的解集，由x＝5是一个解，x＝4不是它的解，确定出a的范围即可．
【解答】解：不等式2x+5＞a，
解得：x＞，
由x＝5是不等式的一个解，但x＝3不是它的解，
得到4≤＜5，
解得：13≤a＜15，
则a的取值范围是13≤a＜15，
故答案为：13≤a＜15
【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的定义是解本题的关键．
18．（4分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（y﹣1，﹣x﹣1）1的友爱点为 A2，A2的友爱点为A3，A3的友爱点为A4，…以此类推，当A1的坐标为（5，2）时，点A2023的坐标为 （﹣7，﹣2） ．
【分析】根据友爱点的定义，依次求出点A1，A2，A3，…，的坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点A1的坐标为（5，4），
则2﹣1＝6，﹣5﹣1＝﹣4，
所以点A2的坐标为（1，﹣7），
则﹣6﹣1＝﹣7，﹣1﹣1＝﹣5，
所以点A3的坐标为（﹣7，﹣4），
则﹣2﹣1＝﹣2，7﹣1＝6，
所以点A4的坐标为（﹣3，7），
则6﹣1＝7，3﹣1＝7，
所以点A5的坐标为（5，8），
…，
由此可见，点An（n正整数）的坐标按（5，2），﹣8），﹣2），6）循环出现，
又因为2023÷3＝505余3，
所以点A2023的坐标为（﹣7，﹣8）．
故答案为：（﹣7，﹣2）．
【点评】本题考查点的坐标变化规律，能根据题中所给定义发现点An（n正整数）的坐标按（5，2），（1，﹣6），（﹣7，﹣2），（﹣3，6）循环出现是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（20分）计算、解方程组、不等式组：
（1）﹣22+﹣（）2+|﹣|；
（2）；
（3）并在数轴上表示不等式组的解集．
【分析】（1）根据有理数乘方、立方根的定义以及绝对值的代数意义解答即可；
（2）运用加减消元法解答即可；
（3）先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴表示不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）﹣22+﹣（）6+|﹣|
＝﹣4﹣7﹣+
＝﹣7+；
（2），
①×3+②得3x＝21，
解得x＝3，
把x＝3代入①得2×3+y＝2，
解得y＝﹣5，
∴方程的解为；
（3），
解5（x﹣8）﹣1＞3x得x＞4，
解≥x﹣1得x≤4，
∴不等式组的解集为6＜x≤4，
在数轴上表示不等式组的解集为：
【点评】本题考查了实数的计算、解方程组、不等式组，解题的关键是熟练掌握解方程组和不等式组的方法．
20．（10分）已知x＝4，y＝﹣2，与x＝﹣2，求b﹣k的值．
【分析】把x与y的两对值代入方程计算，即可求出k与b的值，再代入式子进行计算即可．
【解答】解：把x＝4，y＝﹣2与x＝﹣7，
解得：，
∴k﹣b＝（﹣4）＝4.3．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方掌握程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是关键．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣3），再向上平移4个单位长度得到线段CD（其中点A与点D、点B与点C是对应点）
（1）画出平移后的线段CD，写出点C的坐标为（ 4 ， 1 ）．
（2）连接AD、BC，四边形ABCD的面积为 32 ．
（3）点E在线段AD上，CE＝6，点F是线段CE上一动点 ．
【分析】（1）根据平移变换的性质作出图形即可．
（2）利用分割法求四边形面积即可．
（3）连接BE，当BF⊥CE时，BF的值最小，利用面积法求解即可．
【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求，1）．
故答案为4，4．
（2）四边形ABCD的面积＝8×8﹣8××6×5﹣2×．
故答案为32．
（3）连接BE，当BF⊥CE时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△BCE＝S平行四边形ABCD＝16，
∴×CE×BF＝16，
∴BF＝．
故答案为．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）因为＜＜，即1＜＜2的整数部分为1，小数部分为，解决下列问题：
（1）求的小数部分；
（2）若m是6﹣的整数部分，且（x+1）2＝m，求x的值．
【分析】（1）用夹逼法根据无理数的估算即可得出答案；
（2）根据无理数的估算求出m的值，根据平方根的定义即可得出答案．
【解答】解：（1）∵27＜35＜64，
∴3＜＜5，
∴的整数部分是3，
∴小数部分是；
（2）∵3＜6＜8，
∴2＜＜4，
∴﹣2＜﹣＜﹣1，
∴4＜7﹣＜4，
∴m＝4，
∴（x+1）7＝4，
∴x+1＝±8，
∴x＝1或﹣3．
答：x的值为8或﹣3．
【点评】本题考查了无理数的估算，平方根，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
23．（10分）如图，已知AB∥CD，∠1+∠2＝180°．
（1）请你判断AD与CE的位置关系，并说明理由；
（2）若CE⊥AE于点E，∠2＝150°，试求∠FAB的度数．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可判断AD与CE的位置关系；
（2）根据CE⊥AE，可得∠CEA＝90°，再根据平行线的性质和∠2＝150°，即可求∠FAB的度数．
【解答】解：（1）AD∥CE，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ADC，
∵∠1+∠8＝180°，
∴∠ADC+∠2＝180°．
∴AD∥CE；
（2）∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∵AD∥CE，
∴∠DAF＝∠AEC＝90°，
∵∠1+∠2＝180°，且∠2＝150°，
∴∠1＝30°，
∴∠FAB＝∠DAF﹣∠8＝90°﹣30°＝60°．
答：∠FAB的度数为60°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．
24．（10分）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．
（1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；
（2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润＝售价﹣进价）
【分析】（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，根据“购进了A、B两种型号家用净水器共160台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．”列出方程组解答即可；
（2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元，根据保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，
由题意得，
解得．
答：A种型号家用净水器购进了100台，B种型号家用净水器购进了60台．
（2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元，
由题意得100a+60×2a≥11000，
解得a≥50，
150+50＝200（元）．
答：每台A型号家用净水器的售价至少是200元．
【点评】此题考查一元一次不等式组的实际运用，二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系与不等关系是解决问题的关键．
25．（10分）先阅读，再完成练习．
一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
|x|＜3．
x表示到原点距离小于3的数，从图1所示的数轴上看：大于﹣3而小于3的数，它们到原点距离小于3；
|x|＞3．
x表示到原点距离大于3的数，从图2所示的数轴上看：小于﹣3的数和大于3的数，它们到原点距离大于3
解答下面的问题：
（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为 ﹣a＜x＜a ，不等式|x|＞a（a＞0）的解集为 x＞a或x＜﹣a ．
（2）解不等式|x﹣4|＜2．
（3）解不等式2|x+3|﹣7＞5．
（4）直接写出不等式|x﹣2|+|x+3|＜8的解集： ﹣4.5＜x＜3.5 ．
【分析】（1）由于|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3，|x|＞3的解集是x＜﹣3或x＞3，根据它们即可确定|x|＜a（a＞0）和|x|＞a（a＞0）的解集；
（2）把x﹣4当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出x﹣5的取值范围，然后就可以求出x的取值范围；
（3）利用和（2）同样方法即可求出不等式的解集；
（4）先在数轴上找出|x﹣2|+|x+3|＜8的解，即可得出不等式|x﹣2|+|x+3|＜8的解集．
【解答】解：（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为﹣a＜x＜a；
不等式|x|＞a（a＞0）的解集为x＞a或x＜﹣a．
故答案为：﹣a＜x＜a，x＞a或x＜﹣a．
（2）|x﹣6|＜2，
∴﹣2＜x﹣7＜2，
∴2＜x＜3；
（3）2|x﹣3|﹣6＞5，
∴x﹣3＞3或x﹣3＜﹣6，
∴x＞4或x＜﹣3；
（4）在数轴上找出|x﹣2|+|x+7|＝8的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和﹣7对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值．
当x＜﹣3时，y＝7﹣x﹣x﹣3＝﹣2x﹣5，
当﹣3＜x＜2时，y＝x﹣2﹣x﹣3＝﹣5，
当x＞8时，y＝x﹣2+x+3＝2x+1，
∴，
解得﹣4.8＜x＜3.5．
故答案为：﹣5.5＜x＜3.6．
【点评】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意．
26．（10分）线段AB与线段CD互相平行，点P是平面内的一点，且点P不在直线AB、CD上．
（1）连接PA，PC，如图1，∠PCD＝120°，求∠APC的度数
如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线性质可求∠APC的度数，写出∠APC度数的求解过程；
（2）若点P在线段AD上，如图3，射线AM
①依题意补全图3；
②判断AM与DN的位置关系，并证明；
（3）连接PA，PD，射线AM，是否存在点P，使AM⊥DN？若存在；若不存在，说明理由．
【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质可得∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，再代入∠PAB＝135°，∠PCD＝120°即可求∠APC；
（2）①根据题意画出平行线，得出图形即可；
②根据两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行解答即可；
（3）当P点在AD直线上，位于AB与CD两平行线之外时，AM⊥DN．
【解答】解：（1）如图1，过P作PE∥AB，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝135°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝45°，∠PCE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝115°；
（2）①如图所示：
②AM∥DN，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠CDP，
∵射线AM，DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线，
∴∠MAP＝∠BAP∠CDP，
∴∠MAP＝∠ADN，
∴AM∥DN；
（3）当P点在AD直线上，位于AB与CD两平行线之外时．
证明：如图，
∵AB∥CD，
∴∠PAF＝∠PDC，
∵∠PAF+∠PAB＝180°，
∴∠PDC+∠PAB＝180°，
∵AM平分∠BAP，DN平分∠CDA，
∴∠BAM＝，，
∴∠CDN+∠BAM＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD＝∠CDN，
∵∠EAF＝∠BAM，
∴∠AFE+∠EAF＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴AM⊥DN．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的性质和判定，关键熟记和正确理解平行的性质与判定．