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江苏省海安市紫石中学2021-2022学年上学期八年级数学期末模拟试卷（word版 含答案）
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紫石中学2021-2022学年八年级数学上期末模拟试卷一．选择题（共10小题，共30分）1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．2．点A（﹣3，2）关于x轴对称的点是B，点B关于y轴对称的点是C，则点C的坐标是（ ）A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）3．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AB的垂直平分线分别交AB、AD、AC于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 第3题 第5题 第6题 第8题4．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 C．x2−1x2=（x+1x）（x−1x） D．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）5．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（ ）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（ ）A．25° B．35° C．40° D．50°7．关于x的分式方程2x+ax−1=1的解是正数，则a的取值范围是（ ）A．a＜﹣1且a≠﹣2 B．a≠1 C．a＞﹣1且a≠0 D．a＜﹣18．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别是60和40，则△EDF的面积（ ）A．8 B．10 C．12 D．209．从﹣3，﹣1，12，2，3，5这六个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组x−a2＜0x−4＜3(x+2)至少有三个整数解，且关于x的分式方程a+x3−x+2x−3=2有正整数解，那么这6个数中所有满足条件的a的值之积是（ ）A．7 B．6 C．10 D．﹣1010．如图，边长为9的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）A．3 B．94 C．92 D．932 第10题 第14题 第16题二．填空题（共6小题，共24分）11．如果x2﹣2mxy+9y2是完全平方式，则m的值是 ．12．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ．13．为了丰富学生的大课间活动，某校筹集3000元购买了足球和篮球共30个，其中购买足球花费1800元．已知足球比篮球的单价高50%，则足球的单价为 元．14．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为 ．15．已知a+b＝5，ab＝3，ba+ab= ．16．如图，已知△ABC中，∠BAC＝140°，现将△ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，则∠DAE的度数为 ．三．解答题（共9小题，共96分）17．（10分）（1）分解因式：y3+6xy2+9x2y （2）计算：（﹣2+y）（y+2）﹣（y﹣1）（y+5） 18．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，∠ADC＝60°，求∠C的度数．19．（10分）解分式方程：（1）1x=5x+3； （2）xx−1=32x−2+2．20．（8分）如图，已知AB＝DC，AC＝DB．求证：∠1＝∠2．21．（8分）乌梅是郴州的特色时令水果．乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不大好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元，求小李所进乌梅的数量． 22．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠BAD＝42°，求∠C的度数；（2）求证：FB＝FE．23．（12分）阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．（1）若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a＝m﹣4，b＝﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c恒小于等于0；（3）已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b． 24．（12分）如图，点N是△ABC的边BC延长线上的一点，∠ACN＝2∠BAC，过点A作AC的垂线交CN于点P．（1）若∠APC＝30°，求证：AB＝AP；（2）若AP＝4，BP＝8，求AC的长；（3）若点P在BC的延长线上运动，∠APB的平分线交AB于点M．你认为∠AMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠AMP的大小． 25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，直线AB交y轴于A点，交x轴于B点，A（0，6），B（6，0）（1）已知点D（4，6），写出点D关于直线AB对称的点D'的坐标；（2）现在一直角三角板的直角顶点放置于AB的中点C，并绕C点旋转，两直角边分别交x轴、y轴于N、M（如图）两点，求证：CM＝CN；（3）若E是线段OB上一点，∠AEO＝67.5°，OF⊥AE于G，交AB于F，求GEAE−OF的值． 紫石中学2021-2022学年八年级数学上期末模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．2．点A（﹣3，2）关于x轴对称的点是B，点B关于y轴对称的点是C，则点C的坐标是（ ）A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）解：∵点A（﹣3，2）关于x轴对称的点是B，∴点B（﹣3，﹣2），∵点B关于y轴对称的点是C，∴点C（3，﹣2）．故选：D．3．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AB的垂直平分线分别交AB、AD、AC于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对解：∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，在△ADB和△ADC中，AB=ACAD=ADDB=DC，∴△ADB≌△ADC（SSS），∵OD垂直平分线段BC，∴OB＝OC，同法可证△AOB≌△AOC（SSS），△ODB≌△ODC（SSS），∵OE垂直平分线段AB，∴OA＝OB，在△OEA和△OEB中，OA=OBOE=OEEA=EB，∴△OEA≌△OEB（SSS），故选：C．4．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 C．x2−1x2=（x+1x）（x−1x） D．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．5．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4解：过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，∵△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，∴PQ＝PW，PW＝PR，∴PR＝PQ，∵点P到AC的距离为3，∴PQ＝PR＝3，则点P到AB的距离为3，故选：C．6．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（ ）A．25° B．35° C．40° D．50°解：∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，由∠BAD＝40°得∠B=180°−40°2=70°＝∠ADB，∵AD＝DC，∴∠C＝∠DAC，∴∠C=12∠ADB＝35°．故选：B．7．关于x的分式方程2x+ax−1=1的解是正数，则a的取值范围是（ ）A．a＜﹣1且a≠﹣2 B．a≠1 C．a＞﹣1且a≠0 D．a＜﹣1解：去分母得：2x+a＝x﹣1，解得：x＝﹣a﹣1，由分式方程的解为正数，得到﹣a﹣1＞0，且﹣a﹣1≠1，解得：a＜﹣1且a≠﹣2，故选：A．8．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别是60和40，则△EDF的面积（ ）A．8 B．10 C．12 D．20解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，DE=DGDF=DH，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF＝S△GDH，设S△EDF＝S△GDH＝S，同理Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），∴S△ADF＝S△ADH，即40+S＝60﹣S，解得：S＝10．故选：B．9．从﹣3，﹣1，12，2，3，5这六个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组x−a2＜0x−4＜3(x+2)至少有三个整数解，且关于x的分式方程a+x3−x+2x−3=2有正整数解，那么这6个数中所有满足条件的a的值之积是（ ）A．7 B．6 C．10 D．﹣10解：不等式组整理得：x＜ax＞−5，由不等式组至少有三个整数解，得到a＞﹣2，∴a的值可能为﹣1，12，2，3，5，分式方程去分母得：﹣a﹣x+2＝2x﹣6，解得：x=8−a3，∵分式方程有正整数解，且x≠3，∴a＝2，5，则这6个数中所有满足条件的a的值之积是10，故选：C．10．如图，边长为9的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）A．3 B．94 C．92 D．932解：如图，取BC的中点，连接MG，∵线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴∠MBH+∠HBN＝60°，又∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，即∠MBH+∠MBC＝60°，∴∠HBN＝∠GBM，∵CH是等边三角形的高，∴BH=12AB，∴BH＝BG，又∵BM旋转到BN，∴BM＝BN，在△MBG和△NBH中，BM=BN∠GBM=∠HBNBG=BH，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG＝NH，根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，此时∠BCH=12×60°＝30°，∴CG=12BC=12×9=92，∴MG=12CG=94，∴HN=94．∴线段HN长度的最小值是94．故选：B．二．填空题（共6小题）11．如果x2﹣2mxy+9y2是完全平方式，则m的值是 ±3 ．解：x2﹣2mxy+9y2＝x2﹣2mxy+（3y）2．∵x2﹣2mxy+9y2是完全平方式，∴﹣2mxy＝±6xy．∴﹣2m＝±6．∴m＝±3．故答案为：±3．12．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 10 ．解：因为2+2＝4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2＝10，答：它的周长是10，故答案为：1013．为了丰富学生的大课间活动，某校筹集3000元购买了足球和篮球共30个，其中购买足球花费1800元．已知足球比篮球的单价高50%，则足球的单价为 120 元．解：设篮球的单价为x元，∴足球的单价为（1+50%）x元，∴18001.5x+1200x=30，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，∴1.5x＝120，故答案为：12014．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为 18 ．解：∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABO＝∠OBC，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∴∠ABO＝∠MOB，∴BM＝OM，同理CN＝ON，∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝10+8＝18．故答案为：18．15．已知a+b＝5，ab＝3，ba+ab= 193 ．解：当a+b＝5、ab＝3时，原式=b2+a2ab=(a+b)2−2abab =52−2×33 =193，故答案为：193．16．如图，已知△ABC中，∠BAC＝140°，现将△ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，则∠DAE的度数为 100° ．解：如图，∵∠BAC＝140°，∴∠B+∠C＝180°﹣140°＝40°；由题意得：∠B＝∠DAB（设为α），∠C＝∠EAC（设为β），∴∠ADE＝2α，∠AED＝2β，∴∠DAE＝180°﹣2（α+β）＝180°﹣80°＝100°，故答案为100°．三．解答题（共9小题）17．（1）分解因式：y3+6xy2+9x2y（2）计算：（﹣2+y）（y+2）﹣（y﹣1）（y+5）解：（1）原式＝y（y2+6xy+9x2）＝y（y+3x）2；（2）原式＝y2﹣4﹣（y2+5y﹣y﹣5）＝y2﹣4﹣y2﹣5y+y+5＝﹣4y+1．18．如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，∠ADC＝60°，求∠C的度数．解：设∠BAD＝x．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝x，∠BAC＝2∠BAD＝2x．∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝2x．∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°，∴2x+x＝60°，∴x＝20°，∴∠B＝∠BAC＝40°．在△ABC中，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝100°．19．解分式方程：（1）1x=5x+3；（2）xx−1=32x−2+2．解：（1）去分母得：x+3＝5x，解得：x=34，经检验x=34是分式方程的解；（2）去分母得：2x＝3+4（x﹣1），解得：x=12，经检验x=12是分式方程的解．20．如图，已知AB＝DC，AC＝DB．求证：∠1＝∠2．证明：在△ABC和△DCB中，AB=DCAC=DBBC=BC，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠1＝∠2．21．乌梅是郴州的特色时令水果．乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不大好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元，求小李所进乌梅的数量．解：设小李所进乌梅的数量为x（kg），根据题意得：3000x•40%•150﹣（x﹣150）•3000x•20%＝750，解得：x＝200，经检验x＝200是原方程的解，解法二：总销售额﹣成本＝获得的利润3000x•（1+40%）•150+（x﹣150）•3000x•（1﹣20%）﹣3000＝750，x＝200，经检验x＝200是原方程的解，答：小李所进乌梅的数量为200kg．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠BAD＝42°，求∠C的度数；（2）求证：FB＝FE．（1）解：∵D是BC边上的中点，∴BD＝CD，且AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD＝42°，∠ABC＝∠C，∵∠ABC+∠C+∠BAD+∠CAD＝180°，∴∠C＝∠ABC＝48°；（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC，∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．23．阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．（1）若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a＝m﹣4，b＝﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c恒小于等于0；（3）已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b．解：（1）由“如意数”的定义可得，c＝ab+a+b＝2×（﹣1）+2+（﹣1）＝﹣1；（2）证明：由“如意数”的定义可得，c＝ab+a+b＝（m﹣4）•（﹣m）+（m﹣4）+（﹣m）＝﹣m2+4m+m﹣4﹣m＝﹣m2+4m﹣4＝﹣（m﹣2）2，∵（m﹣2）2≥0，∴﹣（m﹣2）2≤0，∴“如意数”c恒小于等于0；（3）∵c＝ab+a+b，∴（a+1）b＝c﹣a，∴（x2+1）b＝x4+4x2+2﹣x2，∴（x2+1）b＝x4+3x2+2＝（x2+1）（x2+2），∵x2≥0，∴x2+1＞0，∴b＝x2+2．24．如图，点N是△ABC的边BC延长线上的一点，∠ACN＝2∠BAC，过点A作AC的垂线交CN于点P．（1）若∠APC＝30°，求证：AB＝AP；（2）若AP＝4，BP＝8，求AC的长；（3）若点P在BC的延长线上运动，∠APB的平分线交AB于点M．你认为∠AMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠AMP的大小．解：（1）∵AC⊥AP，∴∠CAP＝90°，∵∠APC＝30°，∴∠ACP＝60°，∴∠BAC＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠ABP＝∠P，∴AB＝AP；（2）∵∠BAC=12∠ACP，∠B+∠BAC＝∠ACP，∴∠B＝∠BAC，∴AC＝BC，设AC＝x＝BC，在Rt△ACP中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3，所以AC＝3；（3）∠AMP的大小不发生变化，理由如下：∵∠AMP＝∠B+12∠APC=12∠ACP+12∠APC，=12（∠ACP+∠APC）=12×90°＝45°，∴∠AMP是一个定值，即不发生变化．25．在平面直角坐标系xOy中，直线AB交y轴于A点，交x轴于B点，A（0，6），B（6，0）（1）已知点D（4，6），写出点D关于直线AB对称的点D'的坐标；（2）现在一直角三角板的直角顶点放置于AB的中点C，并绕C点旋转，两直角边分别交x轴、y轴于N、M（如图）两点，求证：CM＝CN；（3）若E是线段OB上一点，∠AEO＝67.5°，OF⊥AE于G，交AB于F，求GEAE−OF的值．解：（1）如图1，过D作DD′⊥AB于H，交y轴于D′，∵∠OAB＝45°，∴∠BAD＝45°，∵∠AHD＝90°，∴∠ADD′＝45°，∴AB为DD′的垂直平分线，∴D′为D点关于AB的对称点，∵D（4，6），∴AD′＝AD＝4，∴OD′＝6﹣4＝2，∴D′（0，2）；（2）如图2，连接OC，∵A（0，6），B（6，0）∴OA＝OB＝6，∵C为AB的中点，∴OC⊥AB，OC＝AC＝BC，∴∠MOC＝45°＝∠NBC，∵∠MCO+∠OCN＝∠OCN+∠NCB＝90°，∴∠MCO＝∠NCB，在△OCM和△BCN中，∠MOC=∠NBCOC=BC∠MCO=∠NCB，∴△OCM≌△BCN（ASA），∴CM＝CN；（3）如图3，过B作BM⊥OF于M，则∠M＝90°，∵AE⊥OF，∠AOE＝90°，∴∠AGO＝∠M＝90°，∠OAG＝∠BOM，在△AOG和△OBM中，∠OAG=∠BOMAO=OB∠AGO=∠M，∴△AOG≌△OBM（AAS），∴AG＝OM，OG＝BM，∵∠AEO＝67.5°，OF⊥AE，∠AOE＝90°，∴∠EOG＝22.5°＝∠OAG，又∵∠OAB＝45°，∴∠BAE＝22.5°，∵AE∥BM，∴∠MBF＝∠BAE＝22.5°，∴∠FBM＝∠EOG，在△OGE和△BFM中，∠OGE=∠MOG=BM∠FBM=∠EOG，∴△OGE≌△BFM（ASA），∴GE＝FM，∵AE＝AG+GE，OF＝OM﹣FM，∴AE﹣OF＝（AG+GE）﹣（OM﹣FM）＝GE+FM＝2GE，∴GEAE−OF=GE2GE=12．
紫石中学2021-2022学年八年级数学上期末模拟试卷一．选择题（共10小题，共30分）1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．2．点A（﹣3，2）关于x轴对称的点是B，点B关于y轴对称的点是C，则点C的坐标是（ ）A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）3．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AB的垂直平分线分别交AB、AD、AC于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 第3题 第5题 第6题 第8题4．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 C．x2−1x2=（x+1x）（x−1x） D．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）5．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（ ）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（ ）A．25° B．35° C．40° D．50°7．关于x的分式方程2x+ax−1=1的解是正数，则a的取值范围是（ ）A．a＜﹣1且a≠﹣2 B．a≠1 C．a＞﹣1且a≠0 D．a＜﹣18．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别是60和40，则△EDF的面积（ ）A．8 B．10 C．12 D．209．从﹣3，﹣1，12，2，3，5这六个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组x−a2＜0x−4＜3(x+2)至少有三个整数解，且关于x的分式方程a+x3−x+2x−3=2有正整数解，那么这6个数中所有满足条件的a的值之积是（ ）A．7 B．6 C．10 D．﹣1010．如图，边长为9的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）A．3 B．94 C．92 D．932 第10题 第14题 第16题二．填空题（共6小题，共24分）11．如果x2﹣2mxy+9y2是完全平方式，则m的值是 ．12．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ．13．为了丰富学生的大课间活动，某校筹集3000元购买了足球和篮球共30个，其中购买足球花费1800元．已知足球比篮球的单价高50%，则足球的单价为 元．14．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为 ．15．已知a+b＝5，ab＝3，ba+ab= ．16．如图，已知△ABC中，∠BAC＝140°，现将△ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，则∠DAE的度数为 ．三．解答题（共9小题，共96分）17．（10分）（1）分解因式：y3+6xy2+9x2y （2）计算：（﹣2+y）（y+2）﹣（y﹣1）（y+5） 18．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，∠ADC＝60°，求∠C的度数．19．（10分）解分式方程：（1）1x=5x+3； （2）xx−1=32x−2+2．20．（8分）如图，已知AB＝DC，AC＝DB．求证：∠1＝∠2．21．（8分）乌梅是郴州的特色时令水果．乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不大好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元，求小李所进乌梅的数量． 22．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠BAD＝42°，求∠C的度数；（2）求证：FB＝FE．23．（12分）阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．（1）若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a＝m﹣4，b＝﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c恒小于等于0；（3）已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b． 24．（12分）如图，点N是△ABC的边BC延长线上的一点，∠ACN＝2∠BAC，过点A作AC的垂线交CN于点P．（1）若∠APC＝30°，求证：AB＝AP；（2）若AP＝4，BP＝8，求AC的长；（3）若点P在BC的延长线上运动，∠APB的平分线交AB于点M．你认为∠AMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠AMP的大小． 25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，直线AB交y轴于A点，交x轴于B点，A（0，6），B（6，0）（1）已知点D（4，6），写出点D关于直线AB对称的点D'的坐标；（2）现在一直角三角板的直角顶点放置于AB的中点C，并绕C点旋转，两直角边分别交x轴、y轴于N、M（如图）两点，求证：CM＝CN；（3）若E是线段OB上一点，∠AEO＝67.5°，OF⊥AE于G，交AB于F，求GEAE−OF的值． 紫石中学2021-2022学年八年级数学上期末模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．2．点A（﹣3，2）关于x轴对称的点是B，点B关于y轴对称的点是C，则点C的坐标是（ ）A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）解：∵点A（﹣3，2）关于x轴对称的点是B，∴点B（﹣3，﹣2），∵点B关于y轴对称的点是C，∴点C（3，﹣2）．故选：D．3．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AB的垂直平分线分别交AB、AD、AC于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对解：∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，在△ADB和△ADC中，AB=ACAD=ADDB=DC，∴△ADB≌△ADC（SSS），∵OD垂直平分线段BC，∴OB＝OC，同法可证△AOB≌△AOC（SSS），△ODB≌△ODC（SSS），∵OE垂直平分线段AB，∴OA＝OB，在△OEA和△OEB中，OA=OBOE=OEEA=EB，∴△OEA≌△OEB（SSS），故选：C．4．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 C．x2−1x2=（x+1x）（x−1x） D．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；B、不是因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，故本选项不符合题意；D、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．5．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4解：过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，∵△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，∴PQ＝PW，PW＝PR，∴PR＝PQ，∵点P到AC的距离为3，∴PQ＝PR＝3，则点P到AB的距离为3，故选：C．6．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（ ）A．25° B．35° C．40° D．50°解：∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，由∠BAD＝40°得∠B=180°−40°2=70°＝∠ADB，∵AD＝DC，∴∠C＝∠DAC，∴∠C=12∠ADB＝35°．故选：B．7．关于x的分式方程2x+ax−1=1的解是正数，则a的取值范围是（ ）A．a＜﹣1且a≠﹣2 B．a≠1 C．a＞﹣1且a≠0 D．a＜﹣1解：去分母得：2x+a＝x﹣1，解得：x＝﹣a﹣1，由分式方程的解为正数，得到﹣a﹣1＞0，且﹣a﹣1≠1，解得：a＜﹣1且a≠﹣2，故选：A．8．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别是60和40，则△EDF的面积（ ）A．8 B．10 C．12 D．20解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，DE=DGDF=DH，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF＝S△GDH，设S△EDF＝S△GDH＝S，同理Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），∴S△ADF＝S△ADH，即40+S＝60﹣S，解得：S＝10．故选：B．9．从﹣3，﹣1，12，2，3，5这六个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组x−a2＜0x−4＜3(x+2)至少有三个整数解，且关于x的分式方程a+x3−x+2x−3=2有正整数解，那么这6个数中所有满足条件的a的值之积是（ ）A．7 B．6 C．10 D．﹣10解：不等式组整理得：x＜ax＞−5，由不等式组至少有三个整数解，得到a＞﹣2，∴a的值可能为﹣1，12，2，3，5，分式方程去分母得：﹣a﹣x+2＝2x﹣6，解得：x=8−a3，∵分式方程有正整数解，且x≠3，∴a＝2，5，则这6个数中所有满足条件的a的值之积是10，故选：C．10．如图，边长为9的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（ ）A．3 B．94 C．92 D．932解：如图，取BC的中点，连接MG，∵线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴∠MBH+∠HBN＝60°，又∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，即∠MBH+∠MBC＝60°，∴∠HBN＝∠GBM，∵CH是等边三角形的高，∴BH=12AB，∴BH＝BG，又∵BM旋转到BN，∴BM＝BN，在△MBG和△NBH中，BM=BN∠GBM=∠HBNBG=BH，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG＝NH，根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，此时∠BCH=12×60°＝30°，∴CG=12BC=12×9=92，∴MG=12CG=94，∴HN=94．∴线段HN长度的最小值是94．故选：B．二．填空题（共6小题）11．如果x2﹣2mxy+9y2是完全平方式，则m的值是 ±3 ．解：x2﹣2mxy+9y2＝x2﹣2mxy+（3y）2．∵x2﹣2mxy+9y2是完全平方式，∴﹣2mxy＝±6xy．∴﹣2m＝±6．∴m＝±3．故答案为：±3．12．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 10 ．解：因为2+2＝4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2＝10，答：它的周长是10，故答案为：1013．为了丰富学生的大课间活动，某校筹集3000元购买了足球和篮球共30个，其中购买足球花费1800元．已知足球比篮球的单价高50%，则足球的单价为 120 元．解：设篮球的单价为x元，∴足球的单价为（1+50%）x元，∴18001.5x+1200x=30，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，∴1.5x＝120，故答案为：12014．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为 18 ．解：∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABO＝∠OBC，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∴∠ABO＝∠MOB，∴BM＝OM，同理CN＝ON，∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝10+8＝18．故答案为：18．15．已知a+b＝5，ab＝3，ba+ab= 193 ．解：当a+b＝5、ab＝3时，原式=b2+a2ab=(a+b)2−2abab =52−2×33 =193，故答案为：193．16．如图，已知△ABC中，∠BAC＝140°，现将△ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，则∠DAE的度数为 100° ．解：如图，∵∠BAC＝140°，∴∠B+∠C＝180°﹣140°＝40°；由题意得：∠B＝∠DAB（设为α），∠C＝∠EAC（设为β），∴∠ADE＝2α，∠AED＝2β，∴∠DAE＝180°﹣2（α+β）＝180°﹣80°＝100°，故答案为100°．三．解答题（共9小题）17．（1）分解因式：y3+6xy2+9x2y（2）计算：（﹣2+y）（y+2）﹣（y﹣1）（y+5）解：（1）原式＝y（y2+6xy+9x2）＝y（y+3x）2；（2）原式＝y2﹣4﹣（y2+5y﹣y﹣5）＝y2﹣4﹣y2﹣5y+y+5＝﹣4y+1．18．如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，∠ADC＝60°，求∠C的度数．解：设∠BAD＝x．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝x，∠BAC＝2∠BAD＝2x．∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝2x．∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°，∴2x+x＝60°，∴x＝20°，∴∠B＝∠BAC＝40°．在△ABC中，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝100°．19．解分式方程：（1）1x=5x+3；（2）xx−1=32x−2+2．解：（1）去分母得：x+3＝5x，解得：x=34，经检验x=34是分式方程的解；（2）去分母得：2x＝3+4（x﹣1），解得：x=12，经检验x=12是分式方程的解．20．如图，已知AB＝DC，AC＝DB．求证：∠1＝∠2．证明：在△ABC和△DCB中，AB=DCAC=DBBC=BC，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠1＝∠2．21．乌梅是郴州的特色时令水果．乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不大好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元，求小李所进乌梅的数量．解：设小李所进乌梅的数量为x（kg），根据题意得：3000x•40%•150﹣（x﹣150）•3000x•20%＝750，解得：x＝200，经检验x＝200是原方程的解，解法二：总销售额﹣成本＝获得的利润3000x•（1+40%）•150+（x﹣150）•3000x•（1﹣20%）﹣3000＝750，x＝200，经检验x＝200是原方程的解，答：小李所进乌梅的数量为200kg．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠BAD＝42°，求∠C的度数；（2）求证：FB＝FE．（1）解：∵D是BC边上的中点，∴BD＝CD，且AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD＝42°，∠ABC＝∠C，∵∠ABC+∠C+∠BAD+∠CAD＝180°，∴∠C＝∠ABC＝48°；（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE=12∠ABC，∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE．23．阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．（1）若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a＝m﹣4，b＝﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c恒小于等于0；（3）已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b．解：（1）由“如意数”的定义可得，c＝ab+a+b＝2×（﹣1）+2+（﹣1）＝﹣1；（2）证明：由“如意数”的定义可得，c＝ab+a+b＝（m﹣4）•（﹣m）+（m﹣4）+（﹣m）＝﹣m2+4m+m﹣4﹣m＝﹣m2+4m﹣4＝﹣（m﹣2）2，∵（m﹣2）2≥0，∴﹣（m﹣2）2≤0，∴“如意数”c恒小于等于0；（3）∵c＝ab+a+b，∴（a+1）b＝c﹣a，∴（x2+1）b＝x4+4x2+2﹣x2，∴（x2+1）b＝x4+3x2+2＝（x2+1）（x2+2），∵x2≥0，∴x2+1＞0，∴b＝x2+2．24．如图，点N是△ABC的边BC延长线上的一点，∠ACN＝2∠BAC，过点A作AC的垂线交CN于点P．（1）若∠APC＝30°，求证：AB＝AP；（2）若AP＝4，BP＝8，求AC的长；（3）若点P在BC的延长线上运动，∠APB的平分线交AB于点M．你认为∠AMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠AMP的大小．解：（1）∵AC⊥AP，∴∠CAP＝90°，∵∠APC＝30°，∴∠ACP＝60°，∴∠BAC＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠ABP＝∠P，∴AB＝AP；（2）∵∠BAC=12∠ACP，∠B+∠BAC＝∠ACP，∴∠B＝∠BAC，∴AC＝BC，设AC＝x＝BC，在Rt△ACP中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3，所以AC＝3；（3）∠AMP的大小不发生变化，理由如下：∵∠AMP＝∠B+12∠APC=12∠ACP+12∠APC，=12（∠ACP+∠APC）=12×90°＝45°，∴∠AMP是一个定值，即不发生变化．25．在平面直角坐标系xOy中，直线AB交y轴于A点，交x轴于B点，A（0，6），B（6，0）（1）已知点D（4，6），写出点D关于直线AB对称的点D'的坐标；（2）现在一直角三角板的直角顶点放置于AB的中点C，并绕C点旋转，两直角边分别交x轴、y轴于N、M（如图）两点，求证：CM＝CN；（3）若E是线段OB上一点，∠AEO＝67.5°，OF⊥AE于G，交AB于F，求GEAE−OF的值．解：（1）如图1，过D作DD′⊥AB于H，交y轴于D′，∵∠OAB＝45°，∴∠BAD＝45°，∵∠AHD＝90°，∴∠ADD′＝45°，∴AB为DD′的垂直平分线，∴D′为D点关于AB的对称点，∵D（4，6），∴AD′＝AD＝4，∴OD′＝6﹣4＝2，∴D′（0，2）；（2）如图2，连接OC，∵A（0，6），B（6，0）∴OA＝OB＝6，∵C为AB的中点，∴OC⊥AB，OC＝AC＝BC，∴∠MOC＝45°＝∠NBC，∵∠MCO+∠OCN＝∠OCN+∠NCB＝90°，∴∠MCO＝∠NCB，在△OCM和△BCN中，∠MOC=∠NBCOC=BC∠MCO=∠NCB，∴△OCM≌△BCN（ASA），∴CM＝CN；（3）如图3，过B作BM⊥OF于M，则∠M＝90°，∵AE⊥OF，∠AOE＝90°，∴∠AGO＝∠M＝90°，∠OAG＝∠BOM，在△AOG和△OBM中，∠OAG=∠BOMAO=OB∠AGO=∠M，∴△AOG≌△OBM（AAS），∴AG＝OM，OG＝BM，∵∠AEO＝67.5°，OF⊥AE，∠AOE＝90°，∴∠EOG＝22.5°＝∠OAG，又∵∠OAB＝45°，∴∠BAE＝22.5°，∵AE∥BM，∴∠MBF＝∠BAE＝22.5°，∴∠FBM＝∠EOG，在△OGE和△BFM中，∠OGE=∠MOG=BM∠FBM=∠EOG，∴△OGE≌△BFM（ASA），∴GE＝FM，∵AE＝AG+GE，OF＝OM﹣FM，∴AE﹣OF＝（AG+GE）﹣（OM﹣FM）＝GE+FM＝2GE，∴GEAE−OF=GE2GE=12．
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