_江苏省南通市海安市南莫中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份_江苏省南通市海安市南莫中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下面国产汽车品牌标志中，轴对称图形的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a2+a＝3a3B．（2a2）3＝6a6
C．（﹣a）3•a2＝﹣a6D．（﹣a）2÷a＝a
3．（3分）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（ ）
A．（x+y）（﹣x﹣y）B．（2x+3y）（2x﹣3z）
C．（﹣a﹣b）（a﹣b）D．（m﹣n）（n﹣m）
4．（3分）下列选项所给条件能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AC＝3，AB＝4，BC＝8B．∠A＝50°，∠B＝30°，AB＝2
C．∠C＝90°，AB＝10D．AC＝4，AB＝5，∠B＝60°
5．（3分）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，则超市应建在（ ）
A．△ABC三条中线的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高线的交点处
D．△ABC三条边的垂直平分线的交点处
6．（3分）有下列说法中说法正确的有（ ）
（1）点P到线段两个端点距离相等，且点P在直线l上，则直线l是该线段的垂直平分线；
（2）两个成轴对称的图形的对称点一定在对称轴的两侧；
（3）到角的两边距离相等的点一定在这个角的角平分线上．
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，点M，N在边OB上，若MN＝2，则OM＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（3分）如图，在△ABC中，F是高AD和BE的交点，CD＝2，AD＝BD（ ）
A．2B．1C．4D．3
9．（3分）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a﹣b＝2，那么阴影部分的面积是（ ）
A．30B．34C．40D．44
10．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD；恰好落在CD上，若∠BAD＝α（ ）
A．B．C．α﹣90°D．2α﹣180°
二、填空题：（本大题共8小题，第11、12每小题3分，第13～18每小题3分）
11．（3分）点P（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中AC＝BC，∠A＝40°
13．（4分）若3m＝2，3n＝5，则32m﹣n＝ ．
14．（4分）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4 ．
15．（4分）已知卫星绕地球运动的速度是7.9×103m/s，则卫星绕地球运行2×102s走过的路程是 m．
16．（4分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，∠A＝∠ABD，若BD＝1，则AC的长为 ．
17．（4分）如图，数轴上A点表示数10，B点表示数6，当以OC、CB、BA三条线段为边，可以围成等腰三角形时 ．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上的定点，AD＝14，当PD+PE的值最小时，AE＝15 ．
三、解答题：（本大题共8小题，共90分）
19．（15分）计算：
（1）（2a）3•b4÷12a3b2；
（2）；
（3）（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）（运用乘法公式计算）．
20．（8分）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中，．
21．（8分）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，DE、FG分别为垂直平分线段AB、AC，点E、G为垂足．
（1）∠BAC＝ °；
（2）求∠DAF的度数．
22．（11分）如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE＝BD，求证：
（1）△ABD≌△ACE；
（2）试判断△ADE的形状，并证明．
23．（10分）如图，长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．
（1）用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简；
（2）若y＝3x＝12米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价．
24．（12分）如图，△ABD和△ACE都是等边三角形，BE，连接AF．
（1）求证：BE＝DC；
（2）求∠BFD的度数；
（3）求证：AF平分∠DFE．
25．（13分）平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）．
（1）如图，点B（0，﹣4），以A为直角顶点，求点C的坐标；
（2）点P为y轴负半轴上的一点，△APD是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，点D在y轴右侧，若DE＝1，求P点坐标．
26．（13分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，
如图，这个三角形的构造法则是：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如：
第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；
第四行的数1，3，3，1，对应（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等．
利用上面的规律，完成以下问题：
（1）（a+b）4的展开式为 ；
（2）计算：34+4×33+6×32+4×3+1；
（3）若（x+1）5•（ax2+bx﹣3）（a、b为常数）的展开式中不含x2和x3的项，求a、b的值；
（4）若今天是星期一，经过82021天后是星期 ．
2021-2022学年江苏省南通市海安市南莫中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个
1．（3分）下面国产汽车品牌标志中，轴对称图形的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：从左到右，其中是轴对称图形的有第二、三，共3个．
故选：C．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a2+a＝3a3B．（2a2）3＝6a6
C．（﹣a）3•a2＝﹣a6D．（﹣a）2÷a＝a
【答案】D
【解答】解：A.2a2和a不能合并，故本选项不符合题意；
B．结果是4a6，故本选项不符合题意；
C．结果是﹣a5，故本选项不符合题意；
D．结果是a；
故选：D．
3．（3分）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（ ）
A．（x+y）（﹣x﹣y）B．（2x+3y）（2x﹣3z）
C．（﹣a﹣b）（a﹣b）D．（m﹣n）（n﹣m）
【答案】C
【解答】解：A、不能用平方差公式；
B、不能用平方差公式；
C、能用平方差公式；
D、不能用平方差公式；
故选：C．
4．（3分）下列选项所给条件能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AC＝3，AB＝4，BC＝8B．∠A＝50°，∠B＝30°，AB＝2
C．∠C＝90°，AB＝10D．AC＝4，AB＝5，∠B＝60°
【答案】B
【解答】解：A、3+4＝6＜8，即不能画出三角形；
B、根据∠A＝50°，AB＝2能画出唯一△ABC，符合题意；
C、根据∠C＝90°，不符合题意；
D、根据AC＝4，∠B＝60°不能画出唯一三角形．
故选：B．
5．（3分）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，则超市应建在（ ）
A．△ABC三条中线的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高线的交点处
D．△ABC三条边的垂直平分线的交点处
【答案】D
【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则超市应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处．
故选：D．
6．（3分）有下列说法中说法正确的有（ ）
（1）点P到线段两个端点距离相等，且点P在直线l上，则直线l是该线段的垂直平分线；
（2）两个成轴对称的图形的对称点一定在对称轴的两侧；
（3）到角的两边距离相等的点一定在这个角的角平分线上．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【解答】解：（1）点P到线段两个端点距离相等，且点P在直线l上，原说法错误；
（2）轴对称图形的对称点不一定在对称轴的两侧，原说法错误；
（3）在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，原说法错误．
所以说法正确的有0个．
故选：A．
7．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，点M，N在边OB上，若MN＝2，则OM＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解答】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cs60°＝＝，
∴OD＝2，
∵PM＝PN，PD⊥MN，
∴MD＝ND＝MN＝4，
∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝8．
故选：C．
8．（3分）如图，在△ABC中，F是高AD和BE的交点，CD＝2，AD＝BD（ ）
A．2B．1C．4D．3
【答案】A
【解答】证明：∵F是高AD和BE的交点，
∴∠ADC＝∠FDB＝∠AEF＝90°，
∴∠DAC+∠AFE＝90°，
∵∠FDB＝90°，
∴∠FBD+∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD＝∠DAC，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴DF＝CD＝2，
∵AD＝BD＝4，
∴AF＝AD﹣DF＝2﹣2＝2；
故选：A．
9．（3分）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a﹣b＝2，那么阴影部分的面积是（ ）
A．30B．34C．40D．44
【答案】A
【解答】解：如图，
∵a﹣b＝2，ab＝26，
∴a2﹣8ab+b2＝4，
∴a6+b2＝4+5ab＝4+52＝56，
阴影部分的面积＝S△ABC+S△CDM+S△AEF+S△GHM
＝2×（a﹣b）×a+2×
＝a（a﹣b）+b2
＝a6+b2﹣ab
＝56﹣26
＝30．
故选：A．
10．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD；恰好落在CD上，若∠BAD＝α（ ）
A．B．C．α﹣90°D．2α﹣180°
【答案】B
【解答】解：如图，连接AB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝α，
又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，
∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣α，
∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α，
∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣α．
故选：B．
二、填空题：（本大题共8小题，第11、12每小题3分，第13～18每小题3分）
11．（3分）点P（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为 （2，3） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：点P（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为（8．
故答案为：（2，3）．
12．（3分）如图，在△ABC中AC＝BC，∠A＝40° 50°
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由作法得：CG平分∠ACB，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BCG＝∠ACB＝50°．
故答案为：50°．
13．（4分）若3m＝2，3n＝5，则32m﹣n＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵3m＝2，3n＝5，
∴36m＝22＝8，3﹣n＝，
∴22m﹣n＝4×＝．
故答案为：．
14．（4分）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
由图可知，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
×6×2+×AC×2＝7，
解得AC＝3．
故答案为3．
15．（4分）已知卫星绕地球运动的速度是7.9×103m/s，则卫星绕地球运行2×102s走过的路程是 1.58×106 m．
【答案】1.58×106．
【解答】解：（7.9×102）×（2×102）
＝15.5×105
＝1.58×104．
故答案为：1.58×106．
16．（4分）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，∠A＝∠ABD，若BD＝1，则AC的长为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A＝∠ABD，
∴BE＝AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∴∠EBC＝∠BEC，
∴BC＝CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD＝BE，
∵BD＝1，BC＝5，
∴CE＝3，
∴AE＝BE＝2，
∴AC＝AE+EC＝6+3＝5．
故答案为：3．
17．（4分）如图，数轴上A点表示数10，B点表示数6，当以OC、CB、BA三条线段为边，可以围成等腰三角形时 2或3或4 ．
【答案】2或3或4．
【解答】解：∵数轴上A点表示数10，B点表示数6，
∴BA＝4，
∵以OC、CB，
若CB＝BA＝8，则OC＝6﹣4＝5，
若OC＝BA＝4，所以C点表示数为4，
若OC＝CB，则OC＝3÷2＝3，
故答案为：8或3或4．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上的定点，AD＝14，当PD+PE的值最小时，AE＝15 8 ．
【答案】8．
【解答】解：作D关于BC的对称点G，连接GE，
则PD+PE＝GE，
当PD+PE的值最小时，GE最小，
∴当GE⊥AB时，GE最小，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵AE＝15，
∴AG＝30，EG＝15，
∵AD＝14，
∴CD＝CG＝DG＝8，
故答案为：8．
三、解答题：（本大题共8小题，共90分）
19．（15分）计算：
（1）（2a）3•b4÷12a3b2；
（2）；
（3）（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）（运用乘法公式计算）．
【答案】（1）b2；（2）﹣4x；（3）x2﹣4y2+12y﹣9．
【解答】解：（1）原式＝8a3b3÷12a3b2
＝b2；
（2）原式＝x3﹣2x﹣x3﹣7x
＝﹣4x；
（3）原式＝x2﹣（8y﹣3）2
＝x6﹣4y2+12y﹣3．
20．（8分）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中，．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（2x+3y）4﹣（2x+y）（2x﹣y）
＝（8x2+12xy+9y5）﹣（4x2﹣y2）
＝4x2+12xy+2y2﹣4x8+y2
＝12xy+10y2，
当x＝，y＝﹣时×（﹣）2＝．
21．（8分）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，DE、FG分别为垂直平分线段AB、AC，点E、G为垂足．
（1）∠BAC＝ 100 °；
（2）求∠DAF的度数．
【答案】（1）100；
（2）20°．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
故答案为：100；
（2）∵DE、FG分别为线段AB，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAB＝∠ABC＝30°，∠FAC＝∠ACB＝50°，
∴∠DAF＝100°﹣30°﹣50°＝20°．
22．（11分）如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE＝BD，求证：
（1）△ABD≌△ACE；
（2）试判断△ADE的形状，并证明．
【答案】（1）证明见解析；
（2）等边三角形．证明见解析．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠ACD＝120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝60°，
∴∠B＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：△ADE是等边三角形，证明如下：
由（1）得：△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
即∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE为等边三角形．
23．（10分）如图，长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．
（1）用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简；
（2）若y＝3x＝12米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价．
【答案】（1）2x2+5xy；
（2）5440元．
【解答】解：（1）由图可得，
“T”型图形的面积为：2x•（y+x+y）+xy
＝2xy+4x2+2xy+xy
＝7x2+5xy；
（2）∵y＝8x＝12米，
∴x＝4米，y＝12米，
∴草坪的造价为：（2×22+5×2×12）×20
＝（2×16+5×5×12）×20
＝（32+240）×20
＝272×20
＝5440（元），
即草坪的造价为5440元．
24．（12分）如图，△ABD和△ACE都是等边三角形，BE，连接AF．
（1）求证：BE＝DC；
（2）求∠BFD的度数；
（3）求证：AF平分∠DFE．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）60°；
（3）证明见解答过程．
【解答】（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝60°，∠CAE＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，
在△ADC与△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴BE＝CD；
（2）解：由（1）知，△ADC≌△ABE，
∴∠ABE＝∠ADC，
∴∠BFD＝∠AMF﹣∠ABE＝∠AMF﹣∠ADC＝∠BAD＝60°，
∴∠BFD的度数是60°；
（3）证明：在BE上截取EG＝CF，连接AG，
由（1）的证明，知△ADC≌△ABE，
∴∠AEB＝∠ACD，即∠AEG＝∠ACF，
∵AE＝AC，
在△AEG与△ACF中，
，
∴△AEG≌△ACF（SAS），
∴∠AGE＝∠AFC，AG＝AF，
由∠AGE＝∠AFC可得∠AGF＝∠AFD，
由AG＝AF可得∠AGF＝∠AFG，
∴∠AFD＝∠AFG，
∴AF平分∠DFE．
25．（13分）平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）．
（1）如图，点B（0，﹣4），以A为直角顶点，求点C的坐标；
（2）点P为y轴负半轴上的一点，△APD是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，点D在y轴右侧，若DE＝1，求P点坐标．
【答案】（1）C（﹣7，﹣3）；
（2）P（0，﹣4）．
【解答】解：（1）如图，作CQ⊥OA于点Q，
∴∠AQC＝90°，
∵△ABC等腰Rt△，
∴AC＝AB，∠CAB＝90°，
∴∠QAC+∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CAQ＝∠ABO，
在△AQC与△BOA中，
，
∴△AQC≌△BOA（AAS），
∴CQ＝AO，AQ＝BO，
∵A（﹣3，0），﹣5），
∴OA＝3，OB＝4，
∴CQ＝4，AQ＝4，
∴OQ＝OA+AQ＝7，
∴C（﹣6，﹣3）；
（2）如图，过点D作DH⊥OP于H，
∵DH⊥OP，DE⊥OE，
∴四边形OEDH是矩形，
∴DE＝OH＝1，
∵DH⊥OP，
∴∠DHP＝∠AOP＝∠APD＝90°，
∴∠APO+∠DPH＝90°＝∠APO+∠PAO，
∴∠PAO＝∠DPH，
在△APO和△PDH中，
，
∴△APO≌△PDH（AAS），
∴AO＝PH＝6，
∴OP＝OH+PH＝4，
∴P（0，﹣8）．
26．（13分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，
如图，这个三角形的构造法则是：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如：
第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；
第四行的数1，3，3，1，对应（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等．
利用上面的规律，完成以下问题：
（1）（a+b）4的展开式为 a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ；
（2）计算：34+4×33+6×32+4×3+1；
（3）若（x+1）5•（ax2+bx﹣3）（a、b为常数）的展开式中不含x2和x3的项，求a、b的值；
（4）若今天是星期一，经过82021天后是星期 二 ．
【答案】（1）a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（2）625；（3）a＝﹣10，b＝8；（4）二．
【解答】解：（1）根据规律写出第五行数字，即（a+b）4的展开式的各项系数．
（a+b）1＝a+b，
（a+b）7＝a2+2ab+b6，
（a+b）3＝a3+8a2b+3ab7+b3，
（a+b）4＝a8+4a3b+6a2b2+7ab3+b4a8+4a3b+5a2b2+3ab3+b4．
故答案为：a2+4a3b+2a2b2+5ab3+b4．
（2）74+4×63+6×32+4×3+1
＝（4+5）4
＝54
＝625．
（3）（x+1）5•（ax6+bx﹣3）
＝（x5+6x4+10x3+10x3+5x+1）•（ax8+bx﹣3）
＝ax7+bx2﹣3x5+4ax6+5bx8﹣15x4+10ax5+10bx4﹣30x3+10ax4+10bx2﹣30x2+5ax7+5bx2﹣15x+ax8+bx﹣3
＝ax7+（b+7a）x6+（﹣3+7b+10a）x5+（﹣15+10b+10a）x4+（﹣30+10b+8a）x3+（﹣30+5b+a）x3+（﹣15+b）x﹣3，
∵（x+1）3•（ax2+bx﹣3）（a、b为常数）的展开式中不含x3和x3的项，
∴﹣30+10b+5a＝4，﹣30+5b+a＝0，
解得a＝﹣10，b＝3．
（4）∵82021＝（7+2）2021，
∴82021除以7余数为3，
∴若今天是星期一，经过82021天后是星期二．
故答案为：二．