南通市田家炳中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

这是一份南通市田家炳中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析），共36页。试卷主要包含了 在下列图象中，是的函数的是等内容，欢迎下载使用。

南通市田家炳中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题
一．选择题（10 小题，共 30 分）
1. 在下列图象中，是的函数的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A. 两组对边分别平行 B. 对角线互相垂直 C. 四个角都为直角 D. 对角线互相平分
3. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD=3，EC=2，则DC的长为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
4. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）

A. AB=BE B. BE⊥DC C. ∠ADB=90° D. CE⊥DE
5. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　）

A. B. C. 4 D.
6. 2014年6月3日中央新闻报道，为鼓励居民节约用水，北京市将出台新的居民用水收费标准：若每月每户居民用水不超过4m3，则按每立方米2元计算；若每月每户居民用水超过4m3，则超过部分按每立方米4.5元计算（不超过部分仍按每立方米2元计算）．现假设该市某户居民用水x m3，水费为y元，则y与x的函数关系式用图象表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、，若，，则正方形的面积S等于（ ）

A. 34 B. 89 C. 74 D. 109
8. 如图，在△ABC 中，AB＝6，AC＝4，AD，AE 分别是角平分线和中线，过点 C 作 CF⊥AD 于点 F，连接 EF， 则线段 EF 的长为（ ）

A. 1 B. 2 C. 4 D.
9. 如图1，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移．在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示．那么的面积为（ ）

A 3 B. C. 6 D.
10. 将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（ ）

A. B. C. D.
二．填空题（共 8 小题，11~12 每题 3 分，13~18 每题 4 分，共 30 分）
11. 在函数中，自变量x的取值范围是_________
12. 如图，在菱形中，是上一点，连接交对角线于点，连接，若，则______°．

13. 关于x的一次函数y＝（a+1）x+a的图象经过第一、三、四象限，则a的取值范围是___．
14. 已知一次函数的图象与直线y=x+3平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数的解析式为_____．
15. 如图，点B，C分别在直线y=2x和直线y=kx上，A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是长方形，且AB:AD=1:3，则k的值为__________．

16. 如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点、G分别在边上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为 _________ .

17. 直线与轴、轴分别交于两点，以为边向外作正方形，对角线交于点，则过两点直线的解析式是__________．

18. 如图，在中，，，，为上的两个动点，且，则的最小值是________．

三．解答题（共 8 小题，共 90 分）
19. 已知y与x-1成正比例，当x=4时，y=27，求：
（1）y与x函数解析式；
（2）当y=12时，求x的值．
20. 如图，在△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，AC＝10，点 F 是 DE 上一点．DF＝1．连接AF，CF．若∠AFC＝90°．

（1）求 EF 的长；
（2）求 BC 的长．
21. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，点E、F分别是BD和AC的中点，连接EF．
（1）试判断EF和AC的位置关系，并说明理由
（2）若BD=26，EF=5，求AC的长

22. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 BD 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于点 M、N．

（1）求证：四边形 BNDM 是菱形；
（2）若 BD＝12，MN＝4，求菱形 BNDM 的周长．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝kx+4 经过点 B(﹣6，0)和点 C（m，2），与 y 轴交于点 A， 经过点 C 的另一直线与 y 轴的负半轴交于点 D（0，1），与 x 轴交于点 E．

（1）求点 A 的坐标及直线 CD 的解析式；
（2）求四边形 OBCD 的面积．
24. 如图，把 Rt△ABC 放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝10，点 A、B 的坐标分别为（2，0），（8，0）．

（1）若以点 A、B、C、D 为顶点四边形是平行四边形，请直接写出顶点 D 的坐标；
（2）将△ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 落在直线 y＝2x﹣6 上时，求线段 BC 扫过的面积．
25. 如图①，在平行四边形 ABCD 中，AB＝5cm，BC＝2cm，∠BCD＝120°，CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E，点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以 1cm/s 的速度运动，连接 CP，将绕点 C 逆时针旋转 60°，使 CE 与 CB 重合，得到，连接 PQ．

（1）求证：是等边三角形；
（2）如图②，当点 P 在线段 EB 上运动时，的周长是否存在最小值？若存在求出周长的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，当点 P 在射线 AM 上运动时，是否存在以点 P、B、Q 为顶点直角三角形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
26. 定义：对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b）和直线y=ax+b，我们称点P（（a，b）是直线y=ax+b的关联点，直线y=ax+b是点P（a，b）的关联直线．特别地，当a=0时，直线y=b（b为常数）的关联点为P（0，b）．
如图，已知点A（-2，-2），B（4，-2），C（1，4）．
（1）点A的关联直线的解析式为______；
直线AB的关联点的坐标为______；
（2）设直线AC的关联点为点D，直线BC的关联点为点E，点P在y轴上，且S△DEP=2，求点P的坐标．
（3）点M（m，n）是折线段AC→CB（包含端点A，B）上的一个动点．直线l是点M的关联直线，当直线l与△ABC恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．


答案与解析
一．选择题（10 小题，共 30 分）
1. 在下列图象中，是的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的意义即可求出答案．
【详解】解：A、对于x的每一个确定的值，y可能会有两个值与其对应，不符合函数的定义，故选项A不符合题意；
B、对于x的每一个确定的值，y可能会有多个值与其对应，不符合函数的定义，故选项B不符合题意；
C、对于x的每一个确定的值，y可能会有两个值与其对应，不符合函数的定义，故选项C不符合题意；
D、对于x的每一个确定的值，y有唯一的值与之对应，符合函数的定义，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．
2. 下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A. 两组对边分别平行 B. 对角线互相垂直 C. 四个角都为直角 D. 对角线互相平分
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形、矩形的性质即可判断．
【详解】解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，
矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，
所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质等知识，记住正方形、矩形的性质是解题的关键．
3. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD=3，EC=2，则DC的长为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】首先证明DA=DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=3，
∴CD=CE+DE=2+3=5，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
4. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）

A. AB=BE B. BE⊥DC C. ∠ADB=90° D. CE⊥DE
【答案】B
【解析】
【分析】先证明四边形DBCE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A.∵AB=BE，DE=AD，
∴BD⊥AE，
∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；
C.∵∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
D.∵CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴▱DBCE为矩形，故本选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键．

5. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　）

A. B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高即可．
【详解】解：记AC与BD的交点为，
菱形,



菱形的面积

菱形的面积


故选D．

【点睛】本题考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理．理解菱形的对角线互相垂直平分和学会用等面积法是解题关键．
6. 2014年6月3日中央新闻报道，为鼓励居民节约用水，北京市将出台新的居民用水收费标准：若每月每户居民用水不超过4m3，则按每立方米2元计算；若每月每户居民用水超过4m3，则超过部分按每立方米4.5元计算（不超过部分仍按每立方米2元计算）．现假设该市某户居民用水x m3，水费为y元，则y与x的函数关系式用图象表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意知，y与x的函数关系为分段函数．

故选C．
考点：1.一次函数的应用；2.一次函数的图象．
7. 如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、，若，，则正方形的面积S等于（ ）

A. 34 B. 89 C. 74 D. 109
【答案】C
【解析】
【分析】如图，记与的交点为 记与的交点为 过作于 过作于再证明，可得再利用勾股定理可得答案.
【详解】解：如图，记与的交点为 记与的交点为 过作于 过作于

正方形


则


（全等三角形的对应高相等）







故选C
【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解本题的关键.
8. 如图，在△ABC 中，AB＝6，AC＝4，AD，AE 分别是角平分线和中线，过点 C 作 CF⊥AD 于点 F，连接 EF， 则线段 EF 的长为（ ）

A. 1 B. 2 C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长CF交AB于G，根据等腰三角形的判定和性质得到 AG=AC=4，FG=CF，进而求出BG，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：延长CF交AB于G，

∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，
∴△ACG是等腰三角形，
∴AG=AC=4，FG=CF，
∴BG=AB-AG=6-4=2，
∵AE为△ABC的中线，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF=BG=1，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理、等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
9. 如图1，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移．在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示．那么的面积为（ ）

A. 3 B. C. 6 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A；当移动距离是6时，直线经过B，在移动距离是7时经过D，则AD=7-4=3，当直线经过D点，设交BC与N.则DN=2，作DM⊥AB于点M.利用三角函数即可求得DM即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A
当移动距离是6时，直线经过B
当移动距离是7时经过D，则AD=7-4=3
如图：设交BC与N，则DN=2，作DM⊥AB于点M，
∵移动直线为y=x
∴∠NDM=45°
∴DM=cos∠NDM·ND=
∴的面积为AD×DM=3×=3．
故答案为B．

【点睛】本题考查了平移变换、解直角三角形等知识，其中根据平移变换确定AD的长是解答本题的关键．
10. 将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由折叠可得，E，G分别为AD，CD的中点，设CD=2a，AD=2b，根据Rt△BCG中，CG2+BC2=BG2，可得即a2+（2b）2=（3a）2，进而得出的值．
【详解】由折叠可得，AE=OE=DE，CG=OG=DG，
∴E，G分别为AD，CD的中点，
设CD=2a，AD=2b，则AB=2a=OB，DG=OG=CG=a，BG=3a，BC=AD=2b，
∵∠C=90°，
∴Rt△BCG中，CG2+BC2=BG2，
即a2+（2b）2=（3a）2，
∴b2=2a2，
即b=a，
∴＝，
∴的值为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
二．填空题（共 8 小题，11~12 每题 3 分，13~18 每题 4 分，共 30 分）
11. 在函数中，自变量x的取值范围是_________
【答案】x≠## x≠04
【解析】
【分析】根据分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：由题意知5x-2≠0，
解得：x≠，
故答案为：x≠．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12. 如图，在菱形中，是上一点，连接交对角线于点，连接，若，则______°．

【答案】40
【解析】
【分析】由“SAS”可证△ABF≌△CBF，可得∠BAF=∠BCF，由平行线的性质可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，AB∥DC，∠ABF=∠CBF，
∵AB=CB，∠ABF=∠CBF，BF=BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BAF=∠BCF，
∵∠AED=40°，AD∥BC，
∴∠AED=∠BAF，
∴∠BCF=40°，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
13. 关于x的一次函数y＝（a+1）x+a的图象经过第一、三、四象限，则a的取值范围是___．
【答案】-1＜a＜0
【解析】
【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
【详解】解：∵一次函数y=（a+1）x+a的图象经过第一、三、四象限，
∴a+1＞0，且a＜0，
解得，-1＜a＜0．
故答案为：-1＜a＜0．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
14. 已知一次函数的图象与直线y=x+3平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数的解析式为_____．
【答案】y=x﹣3
【解析】
【分析】根据互相平行的两直线解析式的k值相等设出一次函数的解析式，再把点（﹣2，﹣4）的坐标代入解析式求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图象与直线y=x+3平行，
∴设一次函数的解析式为y=x+b．
∵一次函数经过点（﹣2，﹣4），∴×（﹣2）+b=﹣4，
解得：b=﹣3，
所以这个一次函数的表达式是：y=x﹣3．
故答案为y=x﹣3．
【点睛】本题考查了两直线平行的问题，熟记平行直线的解析式的k值相等设出一次函数解析式是解题的关键．
15. 如图，点B，C分别在直线y=2x和直线y=kx上，A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是长方形，且AB:AD=1:3，则k的值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】先设点A（a，0），然后求得点B（a，2a），从而得到AB的长，再由AB：AD=1：3求得AD的长，进而得到点D和点C的坐标，最后将点C的坐标代入y=kx求得k的值．
【详解】解：设点A（a，0），
∵点B在y=2x上
∴点B（a，2a），
∴AB=2a，
∵AB：AD=1：3，
∴AD=3AB=3×2a=6a，
∴点D（7a，0），
∵四边形ABCD是长方形，
∴点C（7a，2a），
将点C（7a，2a）代入y=kx得，7ak=2a，
∴k=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知长方形的性质和一次函数图象上点的坐标特征．
16. 如图，正方形ABCD和正方形EFCG边长分别为3和1，点、G分别在边上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为 _________ .

【答案】
【解析】
【分析】连接AC,根据正方形的性质可得A、E、C三点共线，连接FG交AC于点M，由正方形的性质求和勾股定理可求得EC和FG，AC的长度,从而求得AE,因为的中点，可得PE和AP,再由正方形的性质可得GM和EM ,FG，在Rt△PGM中，求解即可．
【详解】解，如下图，连接AC，连接FG与AC交于点M

∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，且点、G分别在边上
∴A、E、C三点共线，，,
在中，
由勾股定理得：
∵AC＞0
∴
在中，
由勾股定理得：
∵EC＞0
∴
∴
又∵P是AE的中点，M是EC的中点
∴
又∵
在中，由勾股定理得：
即：=
∵
∴
故答案为：
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理解三角形等知识点，牢记性质和定理内容，并结合图形灵活应用是解题关键．
17. 直线与轴、轴分别交于两点，以为边向外作正方形，对角线交于点，则过两点的直线的解析式是__________．

【答案】
【解析】
【分析】分别过点E作EF⊥x轴于F，过点E作EG⊥y轴于点G,再证明△BEG≌△AEF，得出EG=EF，从而可得出结论.
【详解】解：过点E作EF⊥x轴于F，过点E作EG⊥y轴于点G,
∵四边形ABCD为正方形，
∴BE=AE,且∠AEB=90°，
∴∠BEG+∠AEG=∠AEG+∠AEF,
∴∠BEG=∠AEF,
又∠BGE=∠AFE=90°，
∴△BEG≌△AEF（ASA）,
∴EF=EG.
所以设过OE两点的直线的函数解析式为y=kx(k≠0),点E的坐标为(a,a),
代入可得a=ak,解得k=1,
∴过两点的直线的解析式是为y=x.
故答案为：y=x.

【点睛】本题主要考查解析式的求法，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确构造全等三角形是解题的关键.
18. 如图，在中，，，，为上的两个动点，且，则的最小值是________．

【答案】
【解析】
【分析】过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，则四边形ADMN是平行四边形，作点A关于BC的对称点A′，连接AA′交BC于点O，连接A′M，三点D、M、A′共线时，最小为A′D的长，利用勾股定理求A′D的长度即可解决问题．
【详解】解：过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，

则四边形ADMN是平行四边形，
∴MD＝AN，AD＝MN，
作点A关于BC的对称点A′，连接A A′交BC于点O，连接A′M，
则AM＝A′M，
∴AM＋AN＝A′M＋DM，
∴三点D、M、A′共线时，A′M＋DM最小为A′D的长，
∵AD//BC，AO⊥BC，
∴∠DA＝90°，
∵，，，
∴BC＝
BO＝CO＝AO＝，
∴，
在Rt△AD中，由勾股定理得：
D＝
∴的最小是值为：，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，构造平行四边形将AN转化为DM是解题的关键．
三．解答题（共 8 小题，共 90 分）
19. 已知y与x-1成正比例，当x=4时，y=27，求：
（1）y与x的函数解析式；
（2）当y=12时，求x的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出，从而得到与的函数解析式；
（2）解方程即可．
【详解】解：（1）根据题意，设，
∵当时，，
，解得，
，
即与的函数解析式为；
（2）当时，，解得．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出一次函数的解析式为，再把对应值代入得到的方程，然后解方程可得到一次函数解析式．也考查了一次函数的性质．
20. 如图，在△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，AC＝10，点 F 是 DE 上一点．DF＝1．连接AF，CF．若∠AFC＝90°．

（1）求 EF 的长；
（2）求 BC 的长．
【答案】（1）EF 的长为5；
（2）BC 的长为12．
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形斜边的性质即可求出EF；
（2）根据三角形中位线定理计算，得到答案．
小问1详解】
解：∵∠AFC=90°，点E是AC的中点，AC=10，
∴EF=AC=×10=5；
∴EF 的长为5；
【小问2详解】
解：∵DF=1，
∴DE=DF+EF=6，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC=2DE=12．
∴BC 的长为12．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
21. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，点E、F分别是BD和AC的中点，连接EF．
（1）试判断EF和AC的位置关系，并说明理由
（2）若BD=26，EF=5，求AC的长

【答案】（１）EF⊥ AC，证明见详解；（2）24．
【解析】
【分析】（1）结论是：EF⊥ AC，点E是BD中点，∠BAD=∠BCD=90°，由直角三角形的性质AE=，CE=，得到AE=CE，由点F是AC的中点，结论可证；
（2）在Rt△AEF中，EF=5，由勾股定理得AF=，点F是AC的中点，则AC=2AF即可．
【详解】（1）结论：EF⊥ AC，
∵点E是BD中点，∠BAD=∠BCD=90°，BD=26
∴AE=，CE=
∴AE=CE，
∵点F是AC的中点，
∴EF⊥ AC；
（2）∵EF⊥ AC，
在Rt△AEF中，EF=5，AE=13，
由勾股定理得AF=，
∵点F是AC的中点，
∴AC=2AF=24．

【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，中点定义等知识，掌握这些知识，抓住直角三角形斜边中线，起到很重要的作用．
22. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 BD 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于点 M、N．

（1）求证：四边形 BNDM 是菱形；
（2）若 BD＝12，MN＝4，求菱形 BNDM 的周长．
【答案】（1）见解析 （2）菱形 BNDM 的周长为8．
【解析】
【分析】（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM=ON，由OB=OD，证出四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论；
（2）由菱形的性质得出BM=BN=DM=DN，OB=BD=6，OM=MN=2，由勾股定理得BM的长，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO=∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB=OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴四边形BNDM是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形BNDM是菱形，BD=12，MN=4，
∴BM=BN=DM=DN，OB=BD=6，OM=MN=2，
在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM==2，
∴菱形BNDM的周长=4BM=4×2=8．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝kx+4 经过点 B(﹣6，0)和点 C（m，2），与 y 轴交于点 A， 经过点 C 的另一直线与 y 轴的负半轴交于点 D（0，1），与 x 轴交于点 E．

（1）求点 A 的坐标及直线 CD 的解析式；
（2）求四边形 OBCD 的面积．
【答案】（1）A（0，4），直线 CD 的解析式为y=-x+1；
（2）四边形 OBCD 的面积为7.5．
【解析】
【分析】（1）先求得k的值，再求得点C的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线 CD 的解析式；
（2）根据“四边形 OBCD 的面积=三角形BCE的面积-三角形DOE的面积”即可求得．
【小问1详解】
解：把点A（-6，0）代入y=kx+4，得-6k+4=0，解得k=，
∴直线AB 的解析式：y=x+4，
令x=0，则y=4，令y=2，则x=-3，
∴A（0，4），C（-3，2），
∵直线 CD经过点C（-3，2），点 D（0，1），
∴设直线 CD 的解析式为y=k1x+1，
∴2=-3k1+1，解得k1=-，
∴直线 CD 的解析式为y=-x+1；
【小问2详解】
解：令y=0，则0=-x+1，解得x=3，
∴E（3，0），
∴=(3+6)×2=9，
=×3×1=1.5，
∴四边形 OBCD 的面积=9-1.5=7.5．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得C的坐标是解题的关键．
24. 如图，把 Rt△ABC 放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝10，点 A、B 的坐标分别为（2，0），（8，0）．

（1）若以点 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出顶点 D 的坐标；
（2）将△ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 落在直线 y＝2x﹣6 上时，求线段 BC 扫过的面积．
【答案】（1）点D的坐标为（8，8）或（8，-8）或（-4，8）；
（2）线段BC扫过的面积为40．
【解析】
【分析】（1）先求得点C的坐标，再分别以AB、BC、AC为对角线画平行四边形可得到D点坐标；
（2）首先根据题意作出图形，则可得线段BC扫过的面积应为平行四边形BCC′B′的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程．则可由勾股定理求得AC的长，由点与一次函数的关系，求得A′的坐标，即可求得CC′的值，继而求得答案．
【小问1详解】
解：在Rt△ABC中，BC=10，A（2，0），B（8，0）．
∴AB=8-2=6，
∴AC=，
∴C（2，8），
分三种情况：①BC为对角线时，点D1的坐标为（8，8）；
②AB为对角线时，点D2的坐标为（8，-8）；
③AC为对角线时，点D3的坐标为（-4，8）．

综上，点D的坐标为（8，8）或（8，-8）或（-4，8）；
【小问2详解】
解：由（1）得：A（2，0），B（8，0），C（2，8），AC=8，

∴A′C′=8．
∵点C′在直线y=2x-6上，
∴2x-6=8，解得：x=7．
即OA′=7．
∴CC′=AA′=OA′-OA=7-2=5，
∴S▱BCC′B′=5×8=40，
即线段BC扫过的面积为40．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、平移的性质、勾股定理以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
25. 如图①，在平行四边形 ABCD 中，AB＝5cm，BC＝2cm，∠BCD＝120°，CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E，点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以 1cm/s 的速度运动，连接 CP，将绕点 C 逆时针旋转 60°，使 CE 与 CB 重合，得到，连接 PQ．

（1）求证：是等边三角形；
（2）如图②，当点 P 在线段 EB 上运动时，的周长是否存在最小值？若存在求出周长的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，当点 P 在射线 AM 上运动时，是否存在以点 P、B、Q 为顶点的直角三角形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，最小值为cm
（3）为1s或7s时，以点、、 为顶点的直角三角形
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到，由该全等三角形的性质、平行四边形的性质和角平分线的性质推知即可；
（2）易推知为等边三角形，则cm，由旋转的性质得到：，所以当时，周长最小；
（3）需要分类讨论：①当点与点重合时，，，不能构成三角形；
②当时，，，所以可能为直角；
③当时，由，所以不存在；
④当时，由旋转得：，，从而，所以，故cm，即可求解．
【小问1详解】
证明：将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，
，
，，
，平分，
，
，即，
为等边三角形；
【小问2详解】
解：存在，理由如下：
平分，
，
在平行四边形 中，
，
，
为等边三角形，
cm，
将绕点逆时针旋转，
，
，
，
时，周长最小，
当时，，
周长最小为cm；
【小问3详解】
解：①当点与点重合时，，，不能构成三角形；
②当时，由旋转可知，，
，
则：，
又，
，
，，
所以可能为直角；
由（1）知，为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
s，
③当时，由，所以不存在；
④当时，由旋转得：，由（1）得，
，
而，
，
，从而，
，
cm，
s，
综上所述：为1s或7s时，以点、、为顶点的直角三角形．
【点睛】本题是平行四边形综合题．需要掌握旋转的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形周长的计算、直角三角形的判定等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
26. 定义：对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b）和直线y=ax+b，我们称点P（（a，b）是直线y=ax+b的关联点，直线y=ax+b是点P（a，b）的关联直线．特别地，当a=0时，直线y=b（b为常数）的关联点为P（0，b）．
如图，已知点A（-2，-2），B（4，-2），C（1，4）．
（1）点A的关联直线的解析式为______；
直线AB的关联点的坐标为______；
（2）设直线AC的关联点为点D，直线BC的关联点为点E，点P在y轴上，且S△DEP=2，求点P的坐标．
（3）点M（m，n）是折线段AC→CB（包含端点A，B）上的一个动点．直线l是点M的关联直线，当直线l与△ABC恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．

【答案】（1）y=-2x-2，（0，-2）；（2）P（0，5）或P（0，3）；（3）-2≤m＜，或2＜m≤4
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求得直线AB的解析式，根据关联点和关联直线的定义可得结论；
（2）先根据关联点求D和E的坐标，根据面积和列式可得P的坐标；
（3）点M分别在线段AC→CB上讨论，根据直线l与△ABC恰有两个公共点时，可得m的取值范围．
【详解】解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把点A（-2，-2），B（4，-2）代入得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=-2，
∴点A的关联直线的解析式为y=-2x-2；
直线AB的关联点的坐标为：（0，-2）；
故答案为：y=-2x-2，（0，-2）；
（2）∵点A（-2，-2），B（4，-2），C（1，4）．
∴直线AC的解析式为y=2x+2，
直线BC的解析式为y=-2x+6，
∴D（2，2），E（-2，6）．
∴直线DE的解析式为y=-x+4，
∴直线DE与y轴交于点F（0，4），如图1，

设点P（0，y），
∵S△DEP=2，
∴S△DEP=S△EFP+S△DFP
=×|-2|+=2，
解得：y=5或y=3，
∴P（0，5）或P（0，3）．
（3）①当M在线段AC上时，如图3，

∵AC：y=2x+2，
∴设M（m，2m+2）（-2≤m≤1），则关联直线l：y=mx+2m+2，
把C（1，4）代入y=mx+2m+2得：m+2m+2=4，m=，
∴-2≤m＜；
②当M在线段BC上时，如图3，

∵BC：y=-2x+6，
∴设M（m，-2m+6）（1≤m≤4），则关联直线l：y=mx-2m+6，
把A（-2，-2）代入y=mx-2m+6得：-2m-2m+6=-2，m=2，
∴2＜m≤4；
综合上述，-2≤m＜或2＜m≤4．
【点睛】本题是一次函数的综合题，也是有关关联点和关联直线的新定义问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、理解新定义、利用待定系数法求一次函数的解析式，本题中理解关联点和关联直线的定义，正确进行分类讨论是解题的关键．