2023年中考数学第一轮重难点题型练习 题型四 圆的相关证明与计算（无答案）

题型四　圆的相关证明与计算

类型一　圆基本性质的证明与计算

1. (2022北京)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E.

(1)求证：∠BAD＝∠CAD；

(2)连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC.若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．

第1题图

2. (2022安徽)如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E.

(1)M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；

(2)点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD.

第2题图

3. (2022荆门)如图，在△ABC中，∠BAC＝90° ，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边于另一点F，且F是的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．

(1)求证：四边形CDMF为平行四边形；

(2)当CD＝AB时，求sin∠ACF的值．

第3题图

4. (2022贵阳)如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN.

(1)EM与BE的数量关系是________；

(2)求证：＝；

(3)若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．

第4题图

5. (2022泰安)如图①，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝.连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E.

(1)求证：CD＝ED；

(2)AD与OC，BC分别交于点F，H.

①若CF＝CH，如图②，求证：CF·AF＝FO·AH；

②若圆的半径为2，BD＝1，如图③，求AC的值．

第5题图

6. (2022潍坊)如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心，C是半圆上一动点(不与A，B重合)，连接AC并延长到点D，使AC＝CD，过点D作AB的垂线DH交，CB，AB于点E，F，H，连接OC，记∠ABC ＝θ，θ随点C的移动而变化．

(1)移动点C，当点H，O重合时，求sinθ的值；

(2) 当θ<45°时，求证：BH·AH＝DH·FH；

(3)当θ＝45°时， 将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．

第6题图

类型二　与圆切线有关的证明与计算

7. (2022天津)已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．

(1)如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；

(2)如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．

第7题图

8. (2022娄底)如图，点A在以BC为直径的⊙O上，∠ABC的角平分线与AC相交于点E，与⊙O相交于点D，延长CA至M，连接BM，使得MB＝ME，过点A作BM的平行线与CD的延长线交于点N.

(1)求证：BM与⊙O相切；

(2)试给出AC、AD、CN之间的数量关系，并予以证明．

第8题图

9. (2022甘肃省卷)如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC.过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E.

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．

第9题图

10. (2022通辽)如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD.

(1)求证：PD是⊙O的切线；

(2)当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．

11. (2022衢州)如图，在△ABC中，CA＝CB，BC与⊙A相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交⊙A于点F，连接BF.

(1)求证：BF是⊙A的切线；

(2)若BE＝5，AC＝20，求EF的长．

第11题图

12. (2022广元)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠BAC的平分线，以AD为直径的⊙O交AB边于点E，连接CE，过点D作DF∥CE，交AB于点F.

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)若BD＝5，sinB＝，求线段DF的长．

第12题图

13. (2022鄂州)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O与AC边相切于点D，交BC于点E.

(1)求证：AB＝AD；

(2)连接DE，若tan∠EDC＝，DE＝2，求线段EC的长．

第13题图

14. (2022宁夏)如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，以CD为直径的半圆O经过点A，点M是弦AC上一点，过点M作ME⊥BC，垂足为E，交BA的延长线于点F，且FA＝FM.

(1)求证：直线BF与半圆O相切；

(2)若已知AB＝3，求BD·BC的值．

第14题图

15. (2022自贡)如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AE⊥CD于点E、交⊙O于点F，连接AD，FD.

(1)求证：∠DAE＝∠DAC；

(2)求证：DF·AC＝AD·DC；

(3)若sin ∠C＝，AD＝4，求EF的长．

第15题图

16. (2022宜昌)如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点(BO>DO)，OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G.

(1)求证： BC是⊙O的切线；

(2)若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1.

①求的长；

②求AD的长．

第16题图