中考数学二轮复习重难点复习题型05 圆的相关证明与计算（复习讲义）（2份打包，原卷版+解析版）

题型五圆的相关证明与计算（复习讲义）

【考点总结|典例分析】

考点01圆的有关概念

1．与圆有关的概念和性质

（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．

（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．

（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．

（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．

（6）弦心距：圆心到弦的距离．

考点02垂径定理及其推论

1．垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．

2．推论

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

考点03圆心角、弧、弦的关系

1．定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．

2．推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

考点04圆周角定理及其推论

1．定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

2．推论

（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

（2）直径所对的圆周角是直角．

考点05与圆有关的位置关系

1．点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d．

(1)d<r⇔点在⊙O内；

(2)d=r⇔点在⊙O上；

(3)d>r⇔点在⊙O外．

判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．

2．直线和圆的位置关系

考点06切线的性质与判定

1．切线的性质

（1）切线与圆只有一个公共点．

（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．

（3）切线垂直于经过切点的半径．

利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．

2．切线的判定

（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．

（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．

（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

切线判定常用的证明方法：

①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；

②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．

考点07三角形与圆

1.三角形外接圆

外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．

2．三角形的内切圆

内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．

1.如图，点在上，，则（    ）

A． B． C． D．

2.如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（    ）

A．95° B．100° C．105° D．110°

3.如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若，则的度数为（    ）

A．70° B．90° C．40° D．60°

4.如图，中，，，．点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（   ）

A．3 B． C． D．

5.如图，已知在⊙O中， ，OC与AD相交于点E．求证：

（1）AD∥BC

（2）四边形BCDE为菱形．

6.如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到点C，使，连接AC．

（1）求证：AC是的切线．

（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，，求GF的长．

7.如图，中，，以点C为圆心，为半径作，D为上一点，连接、，，平分．

（1）求证：是的切线；

（2）延长、相交于点E，若，求的值．

8.如图，在中，是直径，弦，垂足为，为上一点，为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长线于点，连接交于点，若．

（1）求证：是的切线；

（2）若的半径为8，，求的长．

9.如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点．

（1）求证：直线与相切；

（2）若的直径是10，，求的长．

10.如图，已知点是以为直径的圆上一点，是延长线上一点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，且．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的半径．

11.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD＝8，，求CD的长．

12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．

（1）求证：∠CAD＝∠CBA．

（2）求OE的长．

13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．

（1）求证：DC∥AP；

（2）求AC的长．

14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）若直径AB＝6，求AD的长．

15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．

（1）求证：△CBA≌△DAB；

（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．

16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．

（1）求证：DC为⊙O的切线．

（2）若AD＝3，DC，求⊙O的半径．

17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．

（1）求证：DE⊥AC；

（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．