中考数学专题复习 重难题型突破 题型三　圆的相关证明与计算练习(含解析)

这是一份中考数学专题复习 重难题型突破 题型三　圆的相关证明与计算练习(含解析)，共39页。试卷主要包含了如图，四边形ABCD是正方形等内容，欢迎下载使用。

类型一 圆的基本性质证明与计算
1．(2019广西北部湾经济区8分)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD.
(1)求证：∠BAD＝∠CBD；
(2)若∠AEB＝125°，求eq \(BD,\s\up8(︵))的长(结果保留π)．
第1题图
2．(2019绵阳11分)如图，AB是⊙O的直径，点C为eq \(BD,\s\up8(︵))的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.
(1)求证：△BFG≌△CDG；
(2)若AD＝BE＝2，求BF的长．
第2题图
3．(2019孝感10分)如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G.
(1)求证：DG∥CA；
(2)求证：AD＝ID；
(3)若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
第3题图
4．(2019益阳10分)如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E.
(1)判断四边形AMCD的形状，并说明理由；
(2)求证：ND＝NE；
(3)若DE＝2，EC＝3，求BC的长．
第4题图
类型二 与切线有关的证明与计算
考向1 圆与相似、全等结合
5．(2019长春7分)如图，四边形ABCD是正方形．以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G.
(1)求证：△ABE≌△BCG；
(2)若∠AEB＝55°，OA＝3，求eq \(BF,\s\up8(︵))的长．(结果保留π)．
第5题图
6．(2019兰州10分)如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO交⊙O于点F.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)连接FC交AB于点G，连接FB.
求证：FG2＝GO·GB.
第6题图
7．(2019新疆10分)如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D, CE⊥AB于点E.
(1)求证：∠BCE＝∠BCD；
(2)若AD＝10，CE＝2BE，求⊙O的半径．
第7题图
8．(2019菏泽10分)如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A.
(1)求证：∠ABG＝2∠C；
(2)若GF＝3eq \r(3)，GB＝6，求⊙O的半径．
第8题图
9．(2019遵义12分)如图，AB是⊙O的直径，弦AC与BD交于点E，且AC＝BD，连接AD，BC.
(1)求证：△ADB≌△BCA；
(2)若OD⊥AC，AB＝4，求弦AC的长；
(3)在(2)的条件下，延长AB至点P，使BP＝2，连接PC.求证：PC是⊙O的切线．
第9题图
10．(2019泸州12分)如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O上，且PC2＝PB·PA.
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)已知PC＝20，PB＝10，点D是eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．
第10题图
11．(2019呼和浩特9分)如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为点H.
(1)求证：E为BC的中点；
(2)若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．
第11题图
12．(2019广东省卷9分)如图①，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF.
(1)求证：ED＝EC；
(2)求证：AF是⊙O的切线；
(3)如图②，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长．
第12题图
考向2 圆与锐角三角函数等其他知识结合
13．(2019资阳10分)如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于B，且∠APB＝60°.
(1)求∠BAC的度数；
(2)若PA＝1，求点O到弦AB的距离．
第13题图
14．(2019贺州10分)如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8.
(1)求∠ADB的度数；
(2)求AC的长度．
第14题图
15．(2019衢州8分)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE＝eq \r(3)，∠C＝30°，求eq \(AD,\s\up8(︵))的长．
第15题图
16．(2019福建10分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF，CF.
(1)求证：∠BAC＝2∠CAD；
(2)若AF＝10，BC＝4eq \r(5)，求tan∠BAD的值．
第16题图
17．(2019安顺12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H.
(1)判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求证：点H为CE的中点；
(3)若BC＝10，cs∠C＝eq \f(\r(5),5)，求AE的长．
第17题图
18．(2019荆州10分)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点(不与O，B重合)，过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，eq \(BC,\s\up8(︵))于D，E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD.
(1)求证：FC是⊙O的切线；
(2)当点E是eq \(BC,\s\up8(︵))的中点时，
①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
②若tan∠ABC＝eq \f(3,4)，且AB＝20，求DE的长．
第18题图
题型三 圆的相关证明与计算
类型一 圆的基本性质证明与计算
1．(1)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBD；·······(4分)
第1题解图
(2)解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB ＝90°，
∵∠AEB＝125°，∠AEB＝∠CBD＋∠ADB，
∴∠CBD＝125°－90°＝35°，
∴∠DAB＝∠CBD＝35°，
如解图，连接OD,
∴∠DOB＝70°，
∴leq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \f(70π·3,180)＝eq \f(7π,6).·······(8分)
2．(1)证明：∵C是eq \(BD,\s\up8(︵))的中点，
∴eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵)).
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，
∴eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(BF,\s\up8(︵))，
∴eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(BF,\s\up8(︵))，
∴CD＝BF.·······(3分)
在△BFG和△CDG中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠FGB＝∠DGC,∠F＝∠CDG,BF＝CD))，
∴△BFG≌△CDG(AAS)；·······(5分)
(2)解：如解图，过点C作CH⊥AD，交AD的延长线于点H，连接AC、BC，
第2题解图
∵eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))，
∴∠HAC＝∠BAC，
∵CE⊥AB，
∴CH＝CE，
∵AC＝AC，
∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，·······(8分)
∴AE＝AH，
∵CH＝CE，CD＝CB，
∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，
∴DH＝BE＝2，
∴AE＝AH＝AD＋DH＝2＋2＝4，
∴AB＝AE＋BE＝4＋2＝6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BEC＝90°，
∵∠EBC＝∠ABC，
∴△BEC∽△BCA，·······(10分)
∴eq \f(BC,BA)＝eq \f(BE,BC)，
∴BC2＝AB·BE＝6×2＝12，
∴BF＝BC＝2eq \r(3).·······(11分)
3．(1)证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵∠ADF是⊙O的内接四边形ABCD的外角，
∴∠ADF＝∠ABC.
∵DG平分∠ADF，
∴∠GDF＝∠ABD.
又∵∠ABD＝∠ACD.
∴∠GDF＝∠ACD.
∴DG∥AC；·······(3分)
(2)证明：∵点I是△ABC的内心．
∴∠ABI＝∠CBI，∠BAI＝∠CAI.
∵∠DIA＝∠ABI＋∠BAI.∠DAI＝∠CAI＋∠DAC＝∠BAI＋∠CBD＝∠BAI＋∠ABI.
∴∠DIA＝∠DAI.
∴AD＝ID；·······(6分)
(3)解：∵∠ADE＝∠ADB，∠DAE＝∠DBA，
∴△ADE∽△BDA，
∴eq \f(AD,BD)＝eq \f(DE,DA)，
∴AD2＝DE·BD.
∵DE＝4，BE＝5.
∴BD＝BE＋DE＝9，
∴AD＝eq \r(4×9)＝6.
由(2)知：AD＝ID＝6.
∴BI＝BD－ID＝9－6＝3.·······(10分)
4．(1)解：四边形AMCD是菱形，理由如下：·······(1分)
∵M是Rt△ABC中斜边AB的中点，
∴CM＝AM.
∵CM为⊙O的直径，
∴∠CNM＝90°.
∴MD⊥AC.
∴AN＝CN.
又∵ND＝MN，
∴四边形AMCD是菱形；·······(4分)
(2)证明：∵四边形CENM为⊙O的内接四边形，
∴∠CEN＋∠CMN＝180°.
又∵∠CEN＋∠DEN＝180°，
∴∠CMN＝∠DEN.
∵由(1)知四边形AMCD是菱形，
∴CD＝CM.
∴∠CDM＝∠CMN.
∴∠DEN＝∠CDM.
∴ND＝NE；·······(7分)
(3)解：∵∠CMN＝∠DEN，∠MDC＝∠EDN，
∴△MDC∽△EDN.
∴eq \f(MD,ED)＝eq \f(DC,DN) .
设ND＝x，则MD＝2x，由此得eq \f(2x,2)＝eq \f(2＋3,x).
解得x＝eq \r(5)或x＝－eq \r(5)(不合题意，舍去)，
∴MN＝eq \r(5).
∵MN为△ABC的中位线，
∴BC＝2MN.
∴BC＝2eq \r(5).(10分)
类型二 与切线有关的证明与计算
5．(1)证明：∵点F在⊙O上，AB是⊙O的直径，
∴AF⊥BF，∠BAF＋∠ABF＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
第5题解图
∠ABF＋∠CBF＝90°，
∴∠BAF＝∠CBF.
∴在△ABE和△BCG中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BAE＝∠CBG，,AB＝BC，,∠ABE＝∠BCG，))
∴△ABE≌△BCG(ASA)．·······(3分)
(2)解：如解图，连接OF.
则OF＝OB＝OA＝3，
∵∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°－∠AEB＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°.
∴leq \(BF,\s\up8(︵))＝eq \f(70π·3,180)＝eq \f(7π,6).·······(7分)
6．证明：(1)∵∠DAE＝∠ABC，∠ABC＋∠BAC＝90°.
∴∠DAE＋∠BAC＝90°.
∴∠BAD＝180°－(∠DAE＋∠BAC)＝90°.·······(2分)
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；·······(4分)
(2) 如解图，连接BF、FC，易得AC＝DE＝1.
∵OA＝eq \f(1,2)AB，AD＝AB，
∴eq \f(OA,AD)＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(1,2).·······(5分)
又∵∠OAD＝∠ACB＝90°，
∴△OAD∽△ACB.·······(7分)
第6题解图
∴∠AOD＝∠CAB.
∵∠BFG＝∠CAB，
∴∠AOD＝∠BFG.
又∵∠BGF＝∠FGO，
∴△OFG∽△FBG.·······(9分)
∴eq \f(FG,OG)＝eq \f(BG,FG).
∴FG2＝GO·GB.·······(10分)
7．(1)证明：如解图，连接OC，AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠OCB＝90°.
又∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠OCB＋∠BCD＝90°.
∴∠ACO＝∠BCD.·······(2分)
第7题解图
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠BCE＋∠ABC＝90°.
∵∠A＋∠ABC＝90°，
∴∠BCE＝∠A.
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝∠BCD.
∴∠BCE＝∠BCD；·······(5分)
(2)解：如解图，过点B作BF⊥CD于点F，易得△BFD∽△CED.
由(1)得∠BCE＝∠BCD，
∴BF＝BE.
∵CE＝2BE，
∴eq \f(BD,CD)＝eq \f(BF,CE)＝eq \f(BE,CE)＝eq \f(1,2).
即CD＝2BD.·······(7分)
∵∠BCD＝∠A，∠CDB＝∠ADC，
∴△CBD∽△ACD，
∴eq \f(BD,CD)＝eq \f(CD,AD)＝eq \f(1,2).
∵AD＝10，
∴BD＝eq \f(1,2)CD＝eq \f(1,4)AD＝eq \f(5,2)，
∴AB＝AD－BD＝10－eq \f(5,2)＝eq \f(15,2)，
∴OA＝eq \f(15,4).
∴⊙O的半径为eq \f(15,4).·······(10分)
8．(1)证明：如解图，连接OE，
第8题解图
∵EG为⊙O的切线，
∴OE⊥GE.
∵BF⊥GE，
∴OE∥BF.
∴∠ABG＝∠EOG.·······(2分)
∵OE＝OC，
∴∠C＝∠CEO.
∴∠EOG＝2∠C.
∴∠ABG＝2∠C；·······(5分)
(2)解：∵AB⊥GE，GF＝3eq \r(3)，GB＝6，
∴在Rt△GBF中，BF＝eq \r(GB2－GF2)＝eq \r(62－（3\r(3)）2)＝3.
由(1)得OE∥BF，∴eq \f(GB,GO)＝eq \f(BF,OE)，
设⊙O的半径为r，
即eq \f(GB,GB＋r)＝eq \f(BF,r)，∴eq \f(6,6＋r)＝eq \f(3,r).·······(8分)
解得r＝6，
即⊙O半径为6.·······(10分)
9．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°.
∵AC＝BD，AB为公共边，
∴△ADB≌△BCA(HL)；·······(3分)
(2)解：如解图，连接OC，
∵OD是⊙O的半径，OD⊥AC，
∴eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))，
由(1)得AD＝BC，
第9题解图
∴eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))，
∴eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵)).
∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°，
∵OC＝OB.
∴△BOC是等边三角形．
∴∠ABC＝60°.
在Rt△ABC中，AC＝AB·sin∠ABC＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)；·······(8分)
(3)证明：由(2)可得BC＝2，
又∵OB＝2，BP＝2，
∴BC＝eq \f(1,2)OP.
∴∠OCP＝90°.
∵OC为⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．·······(12分)
10.(1)证明：如解图，连接OC，
∵PC2＝PB·PA，即eq \f(PA,PC)＝eq \f(PC,PB)，·····(1分)
又∵∠P＝∠P，
第10题解图
∴△PBC∽△PCA，·····(2分)
∴∠PCB＝∠PAC，·····(3分)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝90°.·····(4分)
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，·····(5分)
∴∠PCB＋∠OCB＝90°，即OC⊥PC，
∵OC为⊙O的半径，
∴PC为⊙O的切线；·····(6分)
(2)解：如解图，连接OD，∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB·PA，
∴PA＝eq \f(PC2,PB)＝40，·····(7分)
∴AB＝PA－PB＝30.
由(1)知△PBC∽△PCA，
∴eq \f(CA,BC)＝eq \f(PA,PC)＝2，设BC＝x，则AC＝2x，·····(8分)
在Rt△ABC中，x2＋(2x)2＝302，解得x＝6eq \r(5)，即BC＝6eq \r(5).·····(9分)
∵点D为eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，AB为⊙O的直径，
∴∠AOD＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠AEF＝90°.
又∵∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠DFO＝∠ABC，
∴△DOF∽△ACB，
∴eq \f(OF,OD)＝eq \f(CB,CA)＝eq \f(1,2)，·····(10分)
∴OF＝eq \f(1,2)OD＝eq \f(15,2)，即AF＝eq \f(15,2).·····(11分)
∵EF∥BC，
∴eq \f(EF,BC)＝eq \f(AF,AB)＝eq \f(1,4)，
∴EF＝eq \f(1,4)BC＝eq \f(3\r(5),2).·····(12分)
11．(1)证明：如解图，连接OE，
∵DE、BE为⊙O的切线，
∴DE＝BE.
在△ODE和△OBE中，
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OD＝OB，,OE＝OE，,DE＝BE，))
∴△ODE≌△OBE.··········(2分)
∴∠DOE＝∠BOE＝eq \f(1,2)∠DOB.
又∵∠DAB＝eq \f(1,2)∠DOB，
∴∠BOE＝∠DAB.
∴AC∥OE.
又∵O是AB的中点，
∴E是BC的中点；·········(4分)
第11题解图
(2)解：∵△AHD与△MHB是直角三角形，
∴AD、BM分别为两个三角形外接圆的直径，
∴eq \f(AD2,BM2)＝3.
∴eq \f(AD,BM)＝eq \r(3).
在△AHD和△MHB中，∠A＝∠M，
∠AHD＝∠MHB，
∴△AHD∽△MHB，
∴eq \f(AD,MB)＝eq \f(DH,BH)＝eq \r(3).
又∵DH＝HM，
∴eq \f(HM,HB)＝eq \r(3).
∴∠BMH＝∠DAH＝30°，∠C＝60°.·········(6分)
∵⊙O的面积为12π.
∴⊙O的半径为2eq \r(3)，则AB＝4eq \r(3)，
∴在Rt△ABC中，可求得BC＝4，AC＝8，·········(7分)
如解图，连接BD，由题意知△BDC是直角三角形，
由(1)知E是BC的中点，且∠C＝60°，
∴△CDE是等边三角形，且边长为2.
∴△CDE内接圆半径r1＝eq \f(\r(3),3).
又四边形ODEB外接圆直径为OE＝eq \f(1,2)AC＝4，∴r2＝2，
∴eq \f(S1,S2)＝(eq \f(r1,r2))2＝eq \f(1,12).·········(9分)
12.
第12题解图①
(1)证明：如解图①，
∵AB＝AC，∴∠1＝∠3.
∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3.·········(1分)
∵∠3＝∠4，
∴∠2＝∠4，
∴ED＝EC；·········(2分)
(2)证明：如解图②，连接OA、OB、OC，
第12题解图②
∵OB＝OC，AB＝AC，
∴AO是BC的垂直平分线，
∴AO⊥BC.·········(3分)
∵由(1)已证∠2＝∠3，
∴AB∥DF.
∵AB＝AC＝CF，
∴四边形ABCF是平行四边形，·········(4分)
∴AF∥BC，
∴AO⊥AF.
∵OA为⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；·········(5分)
第12题解图③
(3)解：如解图③，连接AG，
∵∠1＝∠2，∠2＝∠5，
∴∠1＝∠5.
∵G是△ACD的内心，
∴∠7＝∠8.
∵∠BAG＝∠5＋∠7，
∠6＝∠1＋∠8，
∴∠BAG＝∠6，
∴AB＝BG.·········(7分)
∵∠3＝∠3，∠1＝∠5，
∴△ABE∽△CBA，
∴eq \f(AB,BE)＝eq \f(CB,BA).·········(8分)
∴AB2＝BE·BC＝25，
∴AB＝5，
∴BG＝5.·········(9分)
13．解：(1)∵PA，PB是⊙O的切线，
第13题解图
∴PA＝PB，∠CAP＝90°，
∵∠APB＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠BAP＝60°，
∴∠BAC＝∠CAP－∠BAP＝30°；·········(5分)
(2)如解图，连接OP，交AB于点E，则OP平分∠APB，
∴OP垂直平分AB，
∴∠APO＝30°，
∴AE＝eq \f(1,2)AP＝eq \f(1,2)，
∵∠BAC＝30°，
∴OE＝eq \f(1,2)·tan30°＝eq \f(\r(3),6)，即点O到弦AB的距离为eq \f(\r(3),6).·········(10分)
14．解：(1)∵AF与⊙O相切于点A，
∴∠FAO＝90°·········.(2分)
∵∠F＝30°，
∴∠AOB＝60°.·········(3分)
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ADB＝eq \f(1,2)∠AOB＝30°；·········(5分)
(2)∵∠BAC＝120°，∠C＝∠ADB＝30°，
∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠C＝30°.
∴AB＝AC，
∴OA⊥BC，
∴OA平分BC.·········(8分)
∵BC＝8，
∴EC＝4.
在Rt△AEC中，
∵∠C＝30°，
∴AC＝eq \f(EC,cs30°)＝eq \f(8\r(3),3).·········(10分)
15．(1)证明：如解图，连接OD.
∵OC＝OD，AB＝AC，
∴∠1＝∠C，∠C＝∠B，·········(1分)
∴∠1＝∠B.(2分)
∵DE⊥AB，
∴∠2＋∠B＝90°，
∴∠2＋∠1＝90°，
∴∠ODE＝90°，·········(3分)
又∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；·········(4分)
第15题解图
(2)解：如解图，连接AD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.·········(5分)
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD，
∴∠AOD＝60°.·········(6分)
由(1)知∠BED＝90°，
∴∠AED＝90°，∠ADE＝30°.
∵DE＝eq \r(3)，
∴AD＝eq \f(DE,cs∠ADE)＝2，
∴OC＝2.(7分)
∴leq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \f(60π×2,180)＝eq \f(2π,3).·········(8分)
16．(1)证明：∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°.
在Rt△AED中，∠ADE＝90°－∠CAD.
∵AB＝AC，∴eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，·········(2分)
∴∠ACB＝∠ABC＝∠ADE＝90°－∠CAD.
在△ABC中，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－2(90°－∠CAD)＝2∠CAD，
即∠BAC＝2∠CAD；·········(4分)
(2)解：∵DF＝DC，
∴∠FCD＝∠CFD.
∵∠BDC＝∠FCD＋∠CFD，
∴∠BDC＝2∠CFD.
∵∠BDC＝∠BAC，且由(1)知∠BAC＝2∠CAD，
∴∠CFD＝∠CAD.
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠CFD＝∠CBD，
∴CF＝CB.
∵AC⊥BF，
∴BE＝EF，故CA垂直平分BF.
∴AC＝AB＝AF＝10.·········(6分)
设AE＝x，则CE＝10－x，
在Rt△ABE和Rt△BCE中，
AB2－AE2＝BE2＝BC2－CE2，
又∵BC＝4eq \r(5)，
∴102－x2＝(4eq \r(5))2－(10－x)2，解得x＝6，
∴AE＝6，CE＝4，
∴BE＝eq \r(AB2－AE2)＝8.
∵∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，
∴△ADE∽△BCE.
∴eq \f(AE,BE)＝eq \f(DE,CE)＝eq \f(AD,BC)，
∴eq \f(6,8)＝eq \f(DE,4)＝eq \f(AD,4\r(5)) .
∴DE＝3，AD＝3eq \r(5).·········(8分)
如解图，过点D作DH⊥AB，垂足为H.
∵S△ABD＝eq \f(1,2)AB·DH＝eq \f(1,2)BD·AE，BD＝BE＋DE＝11，
∴10DH＝11×6，故DH＝eq \f(33,5)，
在Rt△ADH中，AH＝eq \r(AD2－DH2)＝eq \r(（3\r(5)）2－（\f(33,5)）2)＝eq \f(6,5)，
∴tan∠BAD＝eq \f(DH,AH)＝eq \f(11,2).·········(10分)
第16题解图
17．(1)解：DH与⊙O相切．理由如下：如解图，连接OD，
第17题解图
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∵OD是⊙O的半径，
∴DH与⊙O相切；·········(4分)
(2)证明：如解图，连接DE，
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠B＋∠AED＝180°，
∵∠DEC＋∠AED＝180°，
∴∠DEC＝∠B，
∵∠B＝∠C，
∴∠DEC＝∠C，
∴DE＝DC，
∵DH⊥EC，
∴点H为CE的中点；·········(8分)
(3)解：如解图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，∴DC＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)×10＝5，
∵在Rt△ADC中，cs∠C＝eq \f(DC,AC)＝eq \f(\r(5),5)，∴AC＝5eq \r(5)，
∵在Rt△DHC中cs∠C＝eq \f(HC,CD)＝eq \f(\r(5),5)，∴HC＝eq \r(5)，
∵点H为CE的中点，
∴CE＝2CH＝2eq \r(5)，
∴AE＝AC－EC＝5eq \r(5)－2eq \r(5)＝3eq \r(5).·········(12分)
18．(1)证明：如解图，连接OC.
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
∵FC＝FD.
∴∠CDF＝∠DCF.
∵∠CDF＝∠PDB，
∴∠PDB＝∠DCF.
∵l⊥AB.
∴∠PDB＋∠OBC＝90°，
∴∠DCF＋∠OCB＝∠OCF＝90°.
∵OC是⊙O的半径，
∴FC是⊙O的切线；·········(3分)
(2)解：如解图，连接OE，CE、BE，设OE与BC相交于点G.
①四边形OBEC为菱形，理由如下：
∵∠BAC＝60°，且OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形．
∴∠BOC＝120°.
又∵E是eq \(BC,\s\up8(︵))的中点，
∴OE平分∠BOC.
∴∠COE＝∠BOE＝60°.
∵OE＝OC＝OB.
∴△OCE和△OBE都是等边三角形．
∴OC＝CE＝OB＝BE.
∴四边形OBEC是菱形；·········(6分)
第18题解图
②∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵tan∠ABC＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(3,4).
设AC＝3x，BC＝4x.
∵AC2＋BC2＝AB2，AB＝20.
即(3x)2＋(4x)2＝202.
解得x＝4.
∴AC＝12，BC＝16.
∵点E是eq \(BC,\s\up8(︵))的中点，
∴∠COE＝∠BOE.
又∵OC＝OB，
∴OG⊥BC.
∴BG＝eq \f(1,2)BC＝8.·········(8分)
在△OBG和△OEP中
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BOG＝∠EOP，,∠OGB＝∠OPE＝90°，,OB＝OE，))
∴△OBG≌△OEP(AAS)．
∴PE＝BG＝8.
∴OP＝eq \r(OE2－PE2)＝eq \r(102－82)＝6.
∴PB＝OB－OP＝4.
PD＝PB·tan∠ABC＝4×eq \f(3,4)＝3.
∴DE＝PE－PD＝8－3＝5.·········(10分)