中考数学全面突破：题型2 　圆的相关证明与计算 含解析答案

这是一份中考数学全面突破：题型2 　圆的相关证明与计算 含解析答案，共16页。试卷主要包含了考查类型等内容，欢迎下载使用。

题型2 　圆的相关证明与计算
1.考查类型：①圆的基本性质证明与计算；②圆与全等、相似知识综合题；③圆与三角函数等其他知识综合题；2.考查内容：①考查多与圆周角定理、垂径定理及切线定理有关；②多与三角形全等、相似的判定与性质有关；③多与三角函数等有关；3.在做此题型时，要观察题中已知条件并结合题的设问，联系全等、相似三角形的判定及切线的性质等解题．

类型一　圆的基本性质证明计算题
1.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM.
(1)求证：BM＝CM；
(2)当⊙O的半径为2时，求的长．












2.如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．
















类型二　圆与全等、相似知识综合题
3.如图，OA，OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B.
(1)求证：直线CD是⊙O的切线；
(2)如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3 cm，求的长度．(结果保留π)










4.已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED.若ED＝EC.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AB＝4，BC＝2，求CD的长．



















5.如图，点D是等边三角形ABC的外接圆上一点，M是BD上一点，且满足DM＝DC，点E是AC与BD的交点．
(1)求证：CM∥AD；
(2)如果AD＝1，CM＝2.求线段BD的长及△BCE的面积．














6.如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线交于点E，且∠A＝∠EBC.
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG·BA＝48，FG＝，DF＝2BF；求AH的值．















7.如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2＝PA·PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D.
(1)求证：△PAE∽△PEC；
(2)求证：PE为⊙O的切线；
(3)若∠B＝30°，AP＝AC，求证：DO＝DP.








类型三　圆与三角函数等其他知识综合题
8.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE.
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若tan∠ACB＝，BC＝2，求⊙O的半径．


















9.如图①，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如图②，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C＝75°，CD＝2－，求⊙O的半径和BF的长．












10.如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF.
(1)证明：∠E＝∠C；
(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数；
(3)设DE交AB于点G，若DF＝4，cosB＝，E是的中点，求EG·ED的值．


















11.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.
(1)求∠CDE的度数；
(2)求证：DF是⊙O的切线；
(3)若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．












12.如图，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB＝∠DCO＝90°，O为AB的中点．
(1)求证：∠B＝∠ACD；
(2)已知点E在AB上，且BC2＝AB·BE.
(i)若tan∠ACD＝，BC＝10，求CE的长；
(ii)试判定CD与以A为圆心，AE为半径的⊙A的位置关系，并说明理由．









答案与解析：
类型一　圆的基本性质证明计算题
1. (1)【思路分析】要证BM＝CM，可通过等弧对等边的性质先证明＝，由M为的中点和圆内接正方形ABCD的性质即可证得＋＝＋，通过等量代换即可得证；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴＝，
∵M为中点，
∴＝，
∴＋＝＋，
∴＝，
∴BM＝CM.
(2)【思路分析】连接OM，OB，OC.由(1)得＝，即可得到∠BOM＝∠COM，由于∠BOC所对应的是圆内接正方形的一条边，由圆内接四边形的性质即可得到∠BOC的度数，即可得到所对的圆心角∠BOM的度数，知道圆心角和半径长即可得到的长度．
解：如解图，连接OM，OB，OC，
∵＝，

第1题解图
∴∠BOM＝∠COM，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠BOC＝＝90°，
∴∠BOM＝(360°－90°)＝135°，
由弧长公式得，的长l＝＝π.
2. (1)证明：由题意可得：∠BPC＝∠BAC，∠APC＝∠ABC，
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
(2)解：∵∠PAC＝90°，
∴PC是圆的直径，
∴∠PBC＝90°，
∴∠PBD＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝2，
∵∠CPB＝60°，
∴PB＝＝2，
∵∠APC＝60°，
∴∠DPB＝180°－60°－60°＝60°，
∴PD＝2PB＝4.
类型二　圆与全等、相似知识综合题
3. (1)证明：∵CA切⊙O于点A，
∴∠CAO＝90°.
∵OC平分∠AOD，
∴∠AOC＝∠DOC，
在△AOC和△DOC中，
，
∴△AOC≌△DOC(SAS)，
∴∠CDO＝∠CAO＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
(2)解：由(1)知：OD⊥BC，
又∵D是BC的中点，
∴OD是BC的垂直平分线，
∴OC＝OB，
∴∠BOD＝∠DOC＝∠COA＝×180°＝60°，
∴∠DOE＝60°，
∴的长度为π×3＝π.
4. (1)证明：∵ED＝EC，
∴∠CDE＝∠C，
又∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠B＋∠EDA＝180°，
∵∠EDA＋∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠CDE＝∠C，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC.
(2)解：如解图，连接AE，则AE⊥BC，

第4题解图
由(1)知，AB＝AC，
∴BE＝EC＝BC，
在△ABC与△EDC中，
∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，
∴△ABC∽△EDC.
∴＝，即DC＝＝＝，
由AB＝4，BC＝2，得DC＝＝.
5. (1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠BDC＝∠BAC＝60°，∠ADB＝∠ACB＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DM＝DC，
∴△DMC是等边三角形，
∴∠MCD＝60°，
∴∠MCD＋∠ADC＝180°，
∴CM∥AD.
(2)解：∵BC＝AC，∠ADC＝∠BMC＝120°，∠CBM＝∠CAD，
∴△ADC≌△BMC，∴AD＝MB＝1，
∴BD＝BM＋MD＝AD＋CM＝1＋2＝3，
∵CM∥AD，
∴∠CAD＝∠ACM，∠ADE＝∠EMC，∴△ADE∽△CME，
∴＝＝＝，
∴S△ADE＝S△EMC，
∵S△CMD＝××2＝，
∴S△EMC＝S△CMD＝，S△EDC＝S△CDM＝，
∴S△ADE＝S△EMC＝，(
∴S△ADC＝S△ADE＋S△DCE＝＋＝，
∴S△BCE＝S△BMC＋S△MCE＝S△ADC＋S△CME＝＋＝.
6. 解：(1)连接DC，如解图，

第6题解图
∵DB是⊙O的直径，
∴∠DCB＝90°，
∴∠D＋∠DBC＝90°，
∵∠D＝∠A，∠EBC＝∠A.
∴∠D＝∠EBC，
∴∠EBC＋∠DBC＝90°，
即∠DBE＝90°，
∴BE是⊙O的切线．
(2)∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，
∴∠A＝∠BCG，
又∵∠CBG＝∠ABC，
∴△ABC∽△CBG，
∴＝，即BC2＝BG·AB＝48，
∴BC＝4，
∵CG∥EB，∴CF⊥BD，
∴∠CFB＝∠DCB＝90°，
又∵∠CBF＝∠DBC，
∴Rt△BFC∽Rt△BCD，∴＝，
∴BC2＝BF·BD＝48，
又∵DF＝2BF，BD＝DF＋BF＝3BF，
∴BF＝4，
在Rt△BCF中，CF＝＝4，
∴CG＝CF＋FG＝5，
在Rt△BFG中，BG＝＝3，
∵BA＝＝8，∴AG＝5，
∴CG＝AG，
∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，
∴∠CHF＝∠CBF，
∴CH＝CB＝4，
∵∠ABC＝∠CBG，∠BCG＝∠A，
∴△ABC∽△CBG，∴＝，
∴AC＝＝4×＝，
∴AH＝AC－CH＝－4＝.
7. (1)解：∵PE2＝PA·PC，
∴＝，
∵∠P＝∠P，
∴△PAE∽△PEC，
(2)证明：∵△PAE∽△PEC，
∴∠PEA＝∠PCE，
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OAE＋∠ECA＝90°，
∴∠PEO＝∠PEA＋∠OEA＝∠PCE＋∠OAE＝90°，
∵OE为⊙O半径，
∴PE是⊙O的切线．
(3)证明：过点O作OH⊥CP于点H，
∵AB是⊙O的直径，∠B＝30°，

第7题解图
∴BC＝＝＝AC，
∵O是AB的中点，
∴OH＝BC＝AC，
∵PE2＝PA·PC，AP＝AC，
∴PE2＝AC·(AC＋AC)＝AC·AC
＝AC2，
∴PE＝AC，
∴OH＝PE，
∵∠OHA＝∠PED＝90°，∠HDO＝∠EDP，
∴△HDO≌△EDP，
∴DO＝DP.
类型三　圆与三角函数等其他知识综合题
8. 解：(1)直线CE与⊙O相切．
证明如下：连接OE，∴∠OAE＝∠AEO，
∵四边形ABCD是矩形，

第8题解图
∴BC∥AD，∠ACB＝∠DAC,
又∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠DAC＝∠AEO＝∠DCE，
∵∠DCE＋∠DEC＝90°，
∴∠AEO＋∠DEC＝90°，
∴∠OEC＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴直线CE与⊙O相切．
(2)∵tan∠ACB＝＝，BC＝2，
∴AB＝BC·tan∠ACB＝，
∴AC＝＝，
又∵∠ACB＝∠DCE，
∴tan∠DCE＝，
∴DE＝DC·tan∠DCE＝AB·tan∠DCE＝×＝1，
在Rt△CDE中，CE＝＝，
设⊙O的半径为r，在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2，
即(－r)2＝r2＋3，
解得r＝.
∴⊙O的半径为.
9. 解：(1)△ABC为等腰三角形，
理由如下：如解图①，连接OE，
在⊙O中，∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠B，

第9题解图①
∵DE是⊙O的切线，
∴∠OED＝90°，
∵ED⊥AC，
∴∠ADE＝90°＝∠OED，
∴OE∥AC且BE＝CE＝BC，
∴∠OEB＝∠C，
∴∠B＝∠C，
∴AC＝AB，
∴△ABC为等腰三角形．
(2)如解图②，过点B作BH⊥DF，
∵AC⊥DF，
∴BH∥AC，∠EBH＝∠C，
由(1)知∠CDE＝∠BHE＝90°，BE＝CE，
∴△CDE≌△BHE(AAS)，
∴CD＝BH＝2－，
∵∠HBF＝180°－∠OBE－∠EBH＝180°－75°－75°＝30°，

第9题解图②
∴∠F＝90°－30°＝60°，
在Rt△BFH中，∴BF＝＝，
设OE＝x，在Rt△OEF中，sin60°＝＝，
解得x＝2，
故⊙O的半径为2，BF的长为.
10. (1)

第10题解图
证明：如解图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
又∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C.
(2)解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD＝180°－∠E.
又∵∠CFD＝180°－∠AFD，
∴∠CFD＝∠E＝55°，
又∵∠E＝∠C＝55°，
∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°.
(3)解：如解图，连接OE，
∵∠CFD＝∠E＝∠C，
∴FD＝CD＝BD＝4，
在Rt△ABD中，cosB＝，BD＝4，
∴AB＝6，
∵E是的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE＝90°，
∵AO＝OE＝AB＝3，
∴AE＝＝3，
∵E是的中点，
∴∠ADE＝∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴＝，
即EG·ED＝AE2＝18.
11. (1)解：∵对角线AC为⊙O直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝90°.

第11题解图①
(2)证明：如解图，连接OF、OD，在Rt△CDE中，点F为斜边CE的中点，
∴DF＝FC，
在△DOF和△COF中，
，
∴△DOF≌△COF(SSS)，
∴∠ODF＝∠OCF＝90°，
∴DF⊥OD，
又∵OD为⊙O半径，
∴DF为⊙O的切线；
(3)解：由圆周角定理可得，∠ABD＝∠ACD，
由题意知，∠ADC＝∠CDE＝90°，∠CAD＝∠ECD，
∴△ADC∽△CDE，
∴＝，
∴CD2＝AD·DE，
∵AC＝2DE，
设DE＝a，AD＝b，
∴AC＝2a，CD＝，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得：
AD2＋CD2＝AC2，
即b2＋()2＝(2a)2，
上式两边同时除以a2，整理后得到：
()2＋－20＝0，
解得＝4或＝－5(舍去)．
∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝＝＝2.
12. (1)证明：∵点O为直角三角形斜边AB上的中点，
∴OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO，
∵∠ACB＝∠DCO＝90°，
即∠ACO＋∠BCO＝∠ACO＋∠ACD＝90°，
∴∠BCO＝∠ACD，
∴∠B＝∠ACD.
(2)解：(i)∵BC2＝AB·BE，
即＝，
又∵∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BEC，
∴∠BEC＝∠BCA＝90°，
∵tan∠ACD＝，
又由(1)知∠B＝∠ACD，
∴tan∠B＝，
即＝，
设CE＝3x，EB＝4x，
∵在Rt△BCE中，CE2＋EB2＝BC2，
∴(3x)2＋(4x)2＝102，
∴x＝2，
∴CE＝3x＝6.
(ii)CD与⊙A相切，理由如下：
如解图，过A作AF⊥DC，
∵∠ACB＝90°，

第12题解图
∴∠ACE＋∠BCE＝90°，
∵∠BEC＝90°，
∴∠B＋∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ACE，
又∵∠B＝∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACD.
又∵AF⊥DC，AE⊥EC，
∴AE＝AF，
又∵AE为⊙O半径，F为CD上一点，
∴CD与⊙A相切．