高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第一章 三角函数4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质4.4 诱导公式与旋转同步练习题

【特供】4.4 诱导公式与旋转-2同步练习

一．填空题

1．已知，则的最小值为__________．

2．已知，则 的值是_____.

3．若 ，则的取值范围是________.

4．设，则的值为______．

5．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点,=______．

6．的化简结果是_________.

7．已知，则=________

8．已知，则的值是________.

9．已知sinα+cosα=，sinα＞cosα，则tanα=______．

10．已知，，则__________．

11．已知，则________.

12．已知，，则________

13．已知，则的值为             ．

14．已知 ，且为第二象限角，则_______.

15．求值：_____．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】因为=1，，结合均值不等式，整理即可得结果。

【详解】

因为，所以，，所以

，当且仅当，即时等号成立．所以．

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系，均值不等式“1”的活用，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题。

2．【答案】

【解析】由sin（x+）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos2（x+）的值，将所求式子的第一项中的角变形为π-（x+），第二项中的角变形为﹣（x+），分别利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值．

【详解】

解：∵sin（x+）＝，

=

=

=

=

故答案为：.

【点睛】

此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式，灵活变换角度是解本题的关键，属于基础题.

3．【答案】

【解析】利用反函数的运算法则，定义及其性质，求解即可．

【详解】

由，得

所以，又因为，所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，属于基础题．

4．【答案】

【解析】令，结合同角三角函数的关系求得，从而可得结果.

【详解】

∵，

令，

平方后化简可得，

再由，得，

∴．

故答案为．

【点睛】

本题主要考查同角三角函数的关系，以及换元法求函数解析式，属于中档题. 求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.

5．【答案】

【解析】由题可得，，代值计算即可。

【详解】

由题可得，

【点睛】

本题考查任意角的三角函数值计算，属于基础题。

6．【答案】

【解析】原式，因为，所以，且，所以原式．

7．【答案】

【解析】首先根据诱导公式化简，再由即可得

【详解】

∵，则，

【点睛】

本题主要考查了诱导公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题。

8．【答案】

【解析】由条件利用诱导公式，同角三角的基本关系，化简要求的式子可得结果.

【详解】

因为，

则

，

故答案是：.

【点睛】

该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，同角三角函数关系式，属于简单题目.

9．【答案】

【解析】先利用平方关系和条件解得sinα，cosα，再利用商关系可得正切.

【详解】

∵，即2sinαcosα=．

又cos2α+sin2α=1，且sinα＞cosα，∴sinα=，cosα=，tanα=．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查三角函数同角基本关系式，平方关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

10．【答案】2

【解析】由同角三角函数关系式求出，然后利用两角和的正切公式计算可得答案.

【详解】

由，，可得,,

则,

故答案为：2

【点睛】

本题考查同角三角函数关系式和两角和的正切公式的应用，属于简单题.

11．【答案】

【解析】将分子化为，然后在分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切的思想进行计算.

【详解】

，故答案为：.

【点睛】

本题考查利用弦化切思想进行求值，弦化切一般适用于以下两种情况：

（1）分式是关于角的次分式齐次式，在分式的分子和分母中同时除以，可将分式化为切的代数式进行计算；

（2）角弦的二次整式，先除以，将代数式化为角的二次分式齐次式，然后在分式的分子和分母中同时除以，可将代数式化为切的代数式进行计算.

12．【答案】

【解析】先用同角三角函数平方和关系求出，再利用商关系求出，最后利用二倍角的正切公式求出的值.

【详解】

因为，，所以，

.

【点睛】

本题考查了同角三角函数的平方和关系和商关系，考查了二倍角的正切公式.

13．【答案】

【解析】利用商数关系式化简即可．

【详解】

，故填．

【点睛】

利用同角的三角函数的基本关系式可以化简一些代数式，常见的方法有：

（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代数式化成关于正切的代数式，也可以把含有正切的代数式化为关于余弦和正弦的代数式；

（2）“1”的代换法：有时可以把看成．

14．【答案】

【解析】利用诱导公式求出，并利用同角三角函数求出，最后利用商数关系求出。

【详解】

由诱导公式可得，，

为第二象限角，则，因此，。

故答案为：。

【点睛】

本题考查诱导公式与同角三角函数的基本关系，利用同角三角函数的基本关系求值时，一般按三个步骤进行：

（1）定位：确定角所处的象限；

（2）定号：确定所求三角函数值的符号；

（3）定值：利用同角三角函数的基本关系求值。

15．【答案】

【解析】根据同角三角函数的基本关系：，以及反三角函数即可解决。

【详解】

由题意．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了同角三角函数的基本关系，同角角三角函数基本关系主要有: ,.属于基础题。