高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.3 诱导公式与对称课时训练

【优质】4.3 诱导公式与对称-2优选练习

一．填空题

1．若是三角形的内角，且，则的值为__________．

2．已知，则_________．

3．若，则______.

4．已知，则的值是______.

5．等腰三角形顶角的正弦为，则底角的余切为_________．

6．已知角的终边经过点，则________.

7．若等腰三角形顶角的正弦值为，则顶角的大小为___________.

8．函数的值域是_________.

9．若角的终边上一点，则_________．

10．已知角的终边上有一点，则________.

11．已知，则________.

12．若，是第三象限角，则______.

13．若，且，则的终边在第_______象限.

14．若是同一个象限的角，，则________．

15．_________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据题意，先得到，确定为钝角，得到，，再由，即可求出结果.

详解：因为，所以，因此，

又是三角形的内角，所以为钝角，

因此，，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查同角三角函数基本关系，属于基础题型.

2．【答案】

【解析】根据，得到，再将分子分母同除以，利用商数关系求解.

详解：因为，

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

3．【答案】

【解析】将已知等式左右平方，结合同角三角函数平方关系可求得结果.

【详解】

故答案为：

【点睛】

本题考查利用同角三角函数关系求值的问题，属于基础题.

4．【答案】1

【解析】首先利用同角三角函数的基本关系求出，再利用平方关系将化成齐次式，最后代入求值.

【详解】

解：

故答案为：

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.

5．【答案】或2

【解析】设出顶角为，根据三角形的内角和定理表示出底角，由题意得到的值，由为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，表示出底角的余弦值和正弦值，即可求出底角的余切值.

详解：设顶角为，则底角为，

∴，

又为三角形的内角，∴，

当时，，

，

；

当时，，

，

；

故答案为：或2.

【点睛】

本题考查了同角三角函数间的基本关系，等腰三角形的性质，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于中档题.

6．【答案】

【解析】直接利用三角函数的坐标定义求解.

【详解】

由题得.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

7．【答案】或

【解析】由角的正弦值，利用反三角即可直接表示出角的大小v

详解：解：等腰三角形顶角的正弦值为，

当等腰三角形的顶角是锐角时，顶角的大小为；

当等腰三角形的顶角是钝角时，顶角的大小为；

综合得顶角的大小为或.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查利用反三角函数表示角，是基础题.

8．【答案】

【解析】分别讨论在第一象限，第二象限，第三象限，第四象限四种情况，计算得到答案.

详解：根据题意知：，，

当在第一象限时，；

当在第二象限时，；

当在第三象限时，；

当在第四象限时，；

综上所述：值域为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了三角函数的值域，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力.

9．【答案】

【解析】由题意可得，，．利用已知条件，得到，利用任意角的三角函数的定义得到．

详解：解：由题意可得，，，

因为，

所以，

故答案为：．

【点睛】

本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，注意，不是，此处是个易错点．

10．【答案】

【解析】先求出点的坐标，再利用正切函数的定义，求正切值.

【详解】

因为，

根据正切函数的定义：

故答案为：

【点睛】

本题考查三角函数的定义，涉及正切的定义，属三角定义基础题.

11．【答案】

【解析】利用诱导公式化简等式，可求出的值，将所求分式变形为，在所得分式的分子和分母中同时除以，将所求分式转化为只含的代数式，代值计算即可.

【详解】

，，，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用诱导公式和弦化切思想求值，解题的关键就是求出的值，考查计算能力，属于基础题.

12．【答案】

【解析】利用平方关系和二倍角公式化简为，再利用，得到代入求解.

详解：因为，

又，

，

为第三象限角，

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查同角三角函数基本关系式，诱导公式以及二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

13．【答案】二

【解析】利用平方关系可将已知化为，再结合以及商的关系即可得到答案.

详解：因为，所以，

所以，，故的终边在第二象限.

故答案为：二

【点睛】

本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，涉及到三角函数值的符号判定，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

14．【答案】

【解析】利用同角三角函数的基本关系求得cosα和sinβ的值，可得tanα．tanβ的值，利用利用两角差的正切公式，求得tan（α﹣β）的值．

详解：若是同一个象限的角，,故为第四象限角，

∴cosα，tanα， sinβ，

∴tanβ，

则 tan（α﹣β）

故答案为：

【点睛】

本题主要考查同角三角函数的基本关系．两角差的正切公式的应用，准确计算是关键，属于基础题．

15．【答案】

【解析】直接利用反三角函数的定义求值，即可求得答案.

详解：

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查反三角函数的求值问题，要注意反三角函数的值域，属于基础题.