高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 导数的几何意义一课一练

【精品】2.2 导数的几何意义作业练习

一．填空题

1．设直线是曲线的一条切线，则实数的值是_______.

2．已知曲线：，曲线：，

（1）若曲线在处的切线与在处的切线平行，则实数________；

（2）若曲线上任意一点处的切线为，总存在上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为________.

3．函数的图象在处的切线方程是，则___________.

4．曲线在点处的切线方程为______.

5．曲线在处的切线的斜率为__.

6．曲线＝在点处的切线方程为________．

7．曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为______.

8．曲线在点处的切线方程为__________．

9．已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则a的值为__________；若总存在直线与函数，图象均相切，则a的取值范围是__________.

10．曲线在点处的切线方程是______.

11．水波的半径以0. 5m/s的速度向外扩张，当半径为25m时，圆面积的膨胀率是_____．

12．在平面直角坐标系中，设抛物线在点处的切线为.若与该抛物线的准线的交点横坐标为，则的值为_____.

13．已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______.

14．若曲线在处切线的倾斜角为θ，则的值为________.

15．已知函数和点，则导数______；的图像在点处的切线的方程是______.

16．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则_____.

17．已知函数在处的切线与直线平行，则__________.

18．已知函数，则__________.

参考答案与试题解析

1．【答案】4

【解析】求出导函数，由导数几何意义求得切点横坐标，得切点坐标，代入切线方程可得参数值．

详解：∵，∴，

∵直线是曲线的一条切线，∴，解得，即切点的横坐标为1，代入曲线方程得切点坐标，

∵切点在切线上，∴，解得，∴实数m的值为4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，正确求导是解题基础，本题属于基本题．

2．【答案】－2     

【解析】(1)由已知分别求出曲线在处的切线的斜率及曲线在处的切线的斜率,让两斜率相等列式求得的值;

(2)曲线上任意一点处的切线的斜率,则与垂直的直线斜率为,再求出过曲线上任意一点处的切线斜率的范围,根据集合关系列不等式组求解得答案.

详解：(1),则曲线在处的切线的斜率,

在处的切线的斜率,

依题意有,即;

(2)曲线上任意一点处的切线的斜率,

则与垂直的直线的斜率为,

而过上一点处的切线的斜率,

依题意必有,解得,

故答案为:.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题.

3．【答案】

【解析】根据切线斜率得出的值，将切点坐标代入切线方程可得出的值，由此可得出的值.

详解：函数的图象在处的切线的斜率为，则，

由于切点在直线上，则，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用切线方程求函数值与导数值，解题时要抓住以下两点，一是切线斜率等于函数在切点处的导数值，二是切点为切线与函数图象的公共点，考查运算求解能力，属于基础题.

4．【答案】

【解析】根据导数的几何意义求解即可.

【详解】

因为,故,故,又,故在点处的切线方程为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了根据导数的几何意义求解切线方程的问题,属于基础题.

5．【答案】

【解析】求出的导数，将代入，由特殊角的三角函数值，即可得到所求.

详解：解：的导数为，

即有曲线在处的切线的斜率为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查运算能力，是基础题.

6．【答案】＝

【解析】利用导数的几何意义得到切线的斜率，再利用点斜式写出切线方程即可.

详解：因为，所以在点（1,0）处切线的斜率，

所以切线方程为，即.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，考查学生数学运算能力，是一道容易题.

7．【答案】

【解析】根据题意，设切点，利用导数的几何意义得曲线在点处的斜率，建立等量关系，解得即可求出，再代入曲线即可得坐标.

详解：由题意，设切点坐标为，由，得，

所以，曲线在点处的切线的斜率，又切线与直线平行，

所以，，解得，故.

所以，点坐标为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线平行的判定，属于基础题.

8．【答案】

【解析】因为，所以切线的斜率，又，故切线的方程为，即，应填答案。

9．【答案】     

【解析】先求导数，根据导数几何意义确定切点坐标，代入得，与联立，利用判别式为零解得a的值.

先求导数，设切点坐标，根据导数几何意义确定切线斜率，利用点斜式得切线方程，再与联立，利用判别式为零得方程，利用分离法转化为求对应函数值域，结合导数求函数值域即得a的取值范围.

详解：,设切点为，则切点为，直线代入得，

由上面可知切线方程为：，代入得，

令，则

当时单调递增，当时单调递减，

因此

所以

故答案为：，

【点睛】

本题考查导数几何意义．两函数公切线．利用导数研究方程有解问题，考查综合分析求解能力，属较难题.

10．【答案】.

【解析】求得的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由点斜式方程可得所求切线的方程.

详解：,

,

,

在点处的切线方程,

即，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，以及切线的方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

11．【答案】25π

【解析】写出水波面积与时间的函数，由导数计算圆面积的膨胀率，代值进行求解.

【详解】

因为水波的半径扩张速度为0.5m/s，

故水波面积为，

故水波面积的膨胀率为.

当水波的半径为时，由，解得，

即可得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的定义，难点是构造函数，理解膨胀率的意义是面积关于时间的导数.

12．【答案】.

【解析】将抛物线方程变形为，求导，利用导数的几何意义求出切线方程，再根据与准线的交点列方程求解即可.

【详解】

解：由已知得，

，

，

，即，

当时，，

解得，

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义及抛物线切线方程的求解，导数的应用是关键，是基础题.

13．【答案】

【解析】根据函数，求导，再根据曲线在处的切线与直线平行，由求解.

详解：因为函数，

所以，

又因为曲线在处的切线与直线平行，

所以，

解得，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

14．【答案】

【解析】求出该点的导数，该点的导数就是倾斜角θ的正切，再把化成正切即可.

详解：由于，则，

故

故答案为：.

【点睛】

考查求函数在某一点的导数及三角恒等变形的能力；基础题.

15．【答案】     

【解析】本题首先可以根据导函数的求法得出，然后求出，最后通过直线的点斜式方程即可求出的图像在点处的切线的方程.

详解：因为，

所以，

因为，，

所以的图像在点处的切线的方程是，即，

故答案为：；.

【点睛】

本题考查函数的求导以及函数上一点的切线方程，考查导函数的几何意义，考查直线的点斜式方程，考查计算能力，是简单题.

16．【答案】e

【解析】利用导数的几何意义，结合题中的斜率，即可求得.

【详解】

因为，又处切线的斜率为2

故由导数几何意义可知：

解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，属基础题.

17．【答案】2

【解析】求出导函数，由时的导数值等于3可得．

详解：由求导可得：，故在处切线斜率为，由题意，，所以.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，掌握导数的运算是解题基础．

18．【答案】

【解析】根据导数的定义和极限之间的关系进行求解。

详解：根据导数的定义可知：；

由于，故；

则；

故答案为：-1

【点睛】

本题考查导数的定义的应用，利用导数和极限之间的关系是解决本题的关键。