数学选择性必修 第二册2.2 导数的几何意义课时训练

【基础】2.2 导数的几何意义-1同步练习

一．填空题

1．曲线在点处的切线的斜率为，则的取值范围是________；当取得最小值时，的方程是________.

2．函数在处的切线斜率为_________．

3．过原点作曲线的切线，则切点的坐标为___________．

4．曲线在处的切线方程为______.

5．已知函数与的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数变化时，实数的取值范围为______________.

6．已知直线y＝ex1是曲线y＝ex+a的一条切线，则实数a的值为_______.

7．已知位移和时间的关系是，则时的瞬时速度是_______

8．已知，曲线在点(0,1)处的切线方程为_________ .

9．若函数f(x)=ax+lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴，则f(x)的最大值为_____.

10．若对任意非零实数恒成立，则曲线在点处的切线方程为_______.

11．曲线在处的切线方程为______.

12．已知函数与，若函数图象上存在点，且点关于轴对称点在函数图象上，则实数的取值范围为__.

13．曲线在点处的切线方程为__________．

14．函数在点处的切线方程为________．

15．函数在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为___________．

16．曲线在处的切线的斜率为____________.

17．已知函数，若且，则最大值为______.

18．曲线在点处的切线方程为_______.

参考答案与试题解析

1．【答案】   

【解析】先求导，设切点，求出切线斜率，利用基本不等式求的取值范围，得出点坐标，再根据点斜式求出切线方程.

详解：解: 已知曲线，则，

设点，当时，，

由于，则，有，即，

所以的取值范围是.

当且仅当，即时，取等号，

此时，，得切线的方程为：，

即：

故答案为：；.

【点睛】

本题考查利用导数求切线方程，以及利用基本不等式求出和的最小值.

2．【答案】3

【解析】分析：先对函数求导，然后当时，求出即可.

详解：因为，所以，所以，所以函数在处的切线斜率为3.

故答案为：3

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，解题的关键是明确切线的斜率与导数的关系.

3．【答案】

【解析】分析：设切点坐标为，利用导数及两点间斜率公式即可求解.

详解：设切点坐标为

,

,

,

又，

所以

解得，

所以切点为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义，直线的斜率公式，属于容易题.

4．【答案】

【解析】根据导数的运算法则求出导函数，从而求出在处的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而求出切线方程.

详解：，当时，切线斜率，

故切线方程为，即.

故答案为：

【点睛】

本题考查了导数的几何意义．导数的运算法则，属于基础题.

5．【答案】

【解析】设切点为，根据已知得，求出，得，构造函数，求出的范围即可.

详解：设切点为，

则，整理得，

由，解得.

由上可知，令，则.

因为，所以在上单调递减，

所以，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义．利用导数求参数的范围，考查计算求解能力，属于中档题.

6．【答案】﹣1

【解析】分析：求导后结合条件可求出切点的横坐标，分别代入曲线和切线方程求出切点纵坐标，从而可求出答案．

详解：解：∵，∴，

∴，得，

代入切线方程得切点坐标为，代入曲线方程得切点坐标为，

∴，得，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的切线，属于基础题．

7．【答案】17

【解析】分析：先求导，再根据导数的定义求得时的瞬时速度是，得解.

详解：，

则时的瞬时速度

故答案为：17

【点睛】

本题考查导数的定义在物理中的应用

函数在处的瞬时变化率称函数在处的导数.

8．【答案】

【解析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．

详解：解：由f（x）＝x2+ex，得f′（x）＝2x+ex，

∴f′（0）＝0+e0＝1.

∴曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y＝x+1.

故答案为：y＝x+1.

【点睛】

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是基础的计算题．

9．【答案】

【解析】分析：先利用切点处切线与x轴平行，求出a的值，然后利用导数研究函数的单调性，求出最大值.

详解：，∴=a+1=0，∴a=﹣1.

∴f(x)=lnx﹣x，(x>0)

∵，

易知，x∈(0，1)时，，f(x)递增；x∈(1，+∞)时，，f(x)递减.

∴f(x)max=f（1）=﹣1.

故答案为：﹣1.

【点睛】

本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的最值.求切线时，抓住切点满足的两个条件列方程是关键.属于基础题.

10．【答案】

【解析】根据，利用方程组法解得.再利用导数的几何意义求切线方程.

详解：因为，

所以，

两式联立解得.

所以，，

所以曲线在点处的切线方程为，

即.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查方程组法求函数解析式以及导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

11．【答案】

【解析】分析：先求出函数的导函数，然后结合导数的几何意义求解即可.

详解：解：由，

得，

则，

即当时，，

所以切线方程为：，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.

12．【答案】

【解析】由题意可知有解，即与有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知的范围.

详解：函数与的图象上存在关于轴的对称点，

在上有解，

即在上有解，

，在上有解，

分别设，，

若为的切线，则，

设切点为，，则，，

，，

结合图象可知，.

故答案为：，.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，以及参数的取值范围问题，关键是转化为与有交点，利用相切求出临界值，在求相切问题时，关键是设出切点，再建立各个量之间的联系，属于中档题.

13．【答案】

【解析】先求解出的导函数，再根据导数的几何意义求解出切线的斜率，根据直线的点斜式方程求解出切线方程.

详解：因为，由导数的几何意义知在点处的切线斜率，

则在点处的切线方程为：，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查曲线在某点处的切线方程的求解，难度较易.曲线在某点处的切线方程的求解思路：（1）先求导函数；（2）计算该点处的导数值，即为切线斜率；（3）根据直线的点斜式方程求解出切线方程.

14．【答案】

【解析】根据函数，求导，然后求得，写出切线方程.

详解：因为函数，

所以，

所以，

所以函数在点处的切线方程为：，即，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.

15．【答案】

【解析】由函数的平均变化率公式，建立的方程，即可求解.

详解：函数在区间[1，m]上的平均变化率为

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数的变化率，属于基础题.

16．【答案】1

【解析】分析：根据函数，利用导数公式求解.

详解：因为，

所以，

所以，

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

17．【答案】2

【解析】分析：先作出函数的图像如图，问题转化为到直线距离的最大值问题，此时需过点的切线与平行，然后利用导数可求出点的坐标，从而可求出结果

详解：设，由，要使最大，即转化为求的最大值，问题转化为（如图所示）到直线距离的最大值问题，此时需过点的切线与平行，当时，，令，则，此时，所以的最大值为2

故答案为：2

【点睛】

此题考查的是利用导数的几何意义求切线的切点，利用了数形结合的思想，属于中档题

18．【答案】

【解析】先根据曲线的方程求切点坐标与导函数，再求切线的斜率，最后求切线方程.

详解：解：因为，所以，且切点为，

所以切线的斜率为

所以切线方程为：，整理得

故答案为：.

【点睛】

本题考查求在曲线上一点处的切线方程，是基础题.