2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 24.圆中最值问题

圆最值问题

一．重要结论

1.圆中与距离最值有关的常见的结论：

结论1. 圆外一点到圆上距离最近为，最远为；

结论2. 过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦；

结论3. 直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离,最近为；

2.圆中与面积有关的最值结论：

结论4. 圆的内接三角形面积最大当且仅当其为等边三角形；

结论5. 过圆外一点向圆引两条切线，切点记为，则四边形面积的最值等价于圆心到点的距离最值.

3.圆中与角度有关的最值问题.

结论6. 圆上两点与圆外一点的连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这两条直线为切线时最大.

结论7. 圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.

结论8. 圆上一点、圆外两点连线的夹角（圆外一点为顶点）中，以这条直线为切线时最大.

结论9. 圆内两点，圆上一点（圆上点为顶点）的最大夹角问题（米勒圆问题）.

4.其他与圆有关的最值问题

结论10．两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.

二．强化练习

1．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（       ）

A． B．10 C． D．5

2．在圆中，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（       ）

A． B． C． D．

3．已知点是圆上的动点，则的最大值为（       ）

A． B． C．6 D．5

4．已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时 （       ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

5．直线与圆 交于两点，则弦长的最小值为（     ）

A．1 B．2 C． D．2

6．设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（       ）

A．4 B．5 C．6 D．15

7．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（       ）

A．6 B．5 C．4 D．3

8．已知点M，N分别在圆与圆上，则的最大值为（       ）

A． B．17 C． D．15

9．已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

10.（2021新高考1卷）．已知点在圆上，点，，则（       ）

A．点到直线的距离小于

B．点到直线的距离大于

C．当最小时，

D．当最大时，

参考答案

1．已知圆的方程为，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（       ）

A． B．10 C． D．5

【答案】A

2．在圆中，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

3．已知点是圆上的动点，则的最大值为（       ）

A． B． C．6 D．5

【答案】A

4．已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时 （       ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】B

5．直线与圆 交于两点，则弦长的最小值为（     ）

A．1 B．2 C． D．2

【答案】D

6．设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（       ）

A．4 B．5 C．6 D．15

【答案】B

7．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（       ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】C

8．已知点M，N分别在圆与圆上，则的最大值为（       ）

A． B．17 C． D．15

【答案】C

9．已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

10．ACD

解析：圆的圆心为，半径为，

直线的方程为，即，

圆心到直线的距离为，

所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；

如下图所示：

当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，

，，由勾股定理可得，CD选项正确.

故选：ACD.

多圆最值问题研究

一．基本原理

1.将军饮马模型：如图，动点为直线上一点，为直线一侧的两个定点，那么

的最小值即为做点关于的对称点，然后连接后其长度.

2.三角不等式：任意两边之和大于等于第三边，任意两边之差小于等于第三边，取等条件当且仅当三点共线.

如图动点为直线上一点，为直线一侧的两个定点，那么的最大值当且仅当三点共线.倘若在两侧，则需先利用对称将其搬到一侧再寻找最大值！

此时，的最小值为0，即为中垂线与的交点.

总结：“和最小，化异侧，差最大，转同侧”

二．典例分析 

1.距离和的最小值（公众号：凌晨讲数学）

例1．已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为

A． B． C． D．

解析：由圆，圆，可知圆圆心为，半径为1，如图，圆圆心为，半径为2，圆关于直线的对称圆为圆，连结，交于，则为满足使最小的点，

此时点为与圆的交点关于直线对称的点，为与圆的交点，

最小值为，而，的最小值为，故选A.

2.距离差的最大值（公众号：凌晨讲数学）

例2．已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（   ）

A． B．9 C．7 D．

解析：圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为．

，又，，

．点关于轴的对称点为，，

所以，，故选：B．

3.逆用阿波罗尼斯圆

1.阿氏圆定义：已知平面上两点，则所有满足的动点的轨迹是一个以定比为内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆.若,则圆的半径为，圆心为.（公众号：凌晨讲数学）

2.结论：已知圆上任意一点和坐标轴上任意两点，求形如的最值问题，可逆用阿氏圆转化为三点共线最值计算.

例3．已知圆是以点和点为直径的圆，点为圆上的动点，若点，点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

解析：由题设，知：且，即圆的半径为4，

∴圆：，

如上图，坐标系中则，∴，即△△，故，（亦可逆用阿氏圆，其实就是阿氏圆的几何推导）.

∴，在△中，∴要使最大，共线且最大值为的长度. ∴. 故选：A

例4．在平面直角坐标系中，点在圆上运动，则的最小值为（      ）

A． B． C． D．

解析：为圆上任意一点，圆的圆心，半径，如下图所示，

，，，

，即，，又（当且仅当为线段与圆的交点时取等号），，即的最小值为

本题正确选项：

三．练习题（公众号：凌晨讲数学）

1．已知分别是直线和圆上的动点，圆与轴正半轴交于点，则的最小值为

A． B． C． D．

2．已知P，Q分别是圆，圆上的动点，O是坐标原点，则的最小值是______．

3．平面直角坐标系中，点、、，动点在的内切圆上，则的最小值为_________.

4．在平面直角坐标系中，若，点B是圆上的动点，则的最小值为__________.