2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 19.动态问题中的空间位置与最值关系

动态问题中的空间位置与最值关系

这类问题的特征是空间几何体上的动点在运动过程中始终保持与某一固定的几何结构如固定的线段或者固定的平面垂直或者平行，或者动点到某个定点的距离为定值. 在这样的约束条件下，看似毫无规律的动点运动将会有迹可循，从而为我们后续进一步的讨论打下基础.

需要注意的是，在上述约束条件的翻译过程中，几何法和坐标法均可适用，所以不必拘泥于哪种方法，重要的是将约束条件准确翻译，从而找到动点实际的运动踪迹.

一．典例分析

例1．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是（       ）

A． B． C． D．

解析：由题意，取的中点，的中点，连接，，，，，

作图如下：

在正方体中，易知，，，则共面，平面，平面，平面，同理可得：平面，，平面平面，当平面时，平面，正方体的棱长为，在中，，解得，同理，在中，，解得，

则中边上的高，即，故选：D.

例2．若点是棱长为2的正方体表面上的动点，点是棱的中点，，则线段长度的最大值为（     ）

A． B． C．3 D．

解析：分别取，中点，，连接，，，首先与平行且相等，与平行且相等，因此与平行且相等，

四边形是平行四边形，在同一平面内，易得，，所以，所以，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面.

而，则平面，所以点轨迹是矩形（除点）.四边形是矩形，当与重合时，最大，且最大值为.故选：C.

处理旋转型动态问题的两大手法

一．基本原理

1.圆锥模型：在处理空间立体几何问题中，有些旋转问题我们可以看成是某些固定几何题产生的，这样就可通过实际的几何题来找到这些动态问题的切入点.比如：

1.某个动直线绕着定直线转动过程即可看做是动直线以定直线为轴的圆锥；

2.某个动直线与已知平面所成角为定值亦可看做动直线以平面的法向量为轴的圆锥.

这样有关动直线的角度问题便可通过圆锥来实现，下面我们通过例子予以说明.

2.三余弦定理：

三余弦定理：如图所示，斜线在平面内的射影为，则线面角的大小为，平面内任一点，则，这样就有：.

在立体几何中，一旦涉及到图形翻折最值问题，很多学生往往不知所措.所以，很有必要对一些常见的翻折最值问题在通性通法上加以总结，这样既可以提升学生对这类问题的解题能力，更能帮助他们提升空间想象能力，提高解题兴趣.下面的这类翻折最值问题就是一类可以总结出通性通法的题型，解决它的关键就是上面的三余弦定理.

二．典例分析

例1．直线a与平面所成的角为15°，点P为空间一定点，过点P作与成45°、与a成60°的直线l可以作（       ）

A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条

解析：设直线与平面相交于点，在内的射影直线为，设圆锥的顶点为点，圆锥的轴平面，圆锥的轴截面为等腰，如图所示．

可得图中圆锥的任意一条母线与平面所成角都等于，设直线为圆锥的一条母线所在直线，直线、确定的平面为，由直线与平面所成角的性质，可得当落在平面内时，

直线与直线所成角等于或，当与所在直线重合时，与所成角为；当与所在直线重合时，与所成角为．当直线从的位置按顺时针方向旋转到位置时，、所成角从增大到，再减小到，这个过程中必定有一个位置满足与所成角为；同理当直线从的位置按逆时针方向旋转到位置时，这个过程中也存在一个位置满足与所成角为．综上所述，经过点的直线共有3条满足与所成角为．

例2．正四面体中，在平面内，点是线段的中点，在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角不可能是

A． B． C． D．

解析：过点做的平行，故当四面体绕着旋转时，就以为轴转成一个圆锥，于是如图所示的即与平面所成角的最大值，即与所成角. 经计算，设与所成角为，则，故选.

三．习题演练

1. 在四棱锥中，平面，点M是矩形内（含边界）的动点，且，直线与平面所成的角为．记点M的轨迹长度为，则（       ）

A． B．1 C． D．2

解析：因为平面，所以即为直线与平面所成的角，

所以，因为，所以，所以点位于矩形内的以点为圆心，2为半径的圆上，则点的轨迹为圆弧．连接，则，因为，，

所以，则弧的长度，所以．

故选：C．

2.已知，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线与成60°角时，与成30°角；

②当直线与成60°角时，与成60°角；

③直线与所成角的最小值为45°；

④直线与所成角的最小值为60°.其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)