2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 23.圆的双切线模型及应用

                         圆的双切线模型及应用

圆的双切线模型是圆中常见的一类考题，由于其结论丰富，变化多端，颇受命题人的热爱，2020年的理数全国一卷的选择题11题就是一个典例应用. 尽管如此，在实际应用中，学生对该模型中的相关几何结论的理解和使用仍然显得办法不多，因此，本文将系统的梳理一下圆的双切线模型中的常见结论及应用，希望提升同学们对这类问题的解决能力.

如图1，从圆外任一点向圆引两条切线，圆心，两切点，我们把线段的长度叫做切线长，设圆的半径为，则四边形具有如下的性质：

1.；.

2.切线长的计算：,当半径给定，切线长最小等价于最小.

3.四点共圆，的外接圆以为直径（托勒密定理）.

4.平分.

5.，当半径给定，四边形最小等价于最小.

6. 假设且.由基本的三角恒等关系可知：，故可得：

.对使用均值不等式可得最小值.

        图1

7.假设，圆的方程为（）

则切点弦的方程为：.

可以看到，该模型中的很多几何量最终都可以建立为的函数从而求得最小值，这是应该注意的地方.下面我们将通过几个例子详细展示圆的双切线模型在高考以及模考中的应用，进一步体会相关结论的用途.

例1. 若是直线：上一动点，过作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

解析：考察性质5.

因为直线与圆相切，所以，且

所以四边形面积，

又，

所以当最小时，最小，四边形面积的最小值，

由图象可得，最小值即为点C到直线的距离，

所以，所以

所以四边形面积的最小值，故选：B

例2.（2020全国1卷）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

解析：综合考察性质3，5,7.

圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．

依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，

当直线时，， ，此时最小．

∴即 ，由解得， ．

所以以为直径的圆的方程为，即 ，

两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．

我们在平时解析几何的教学与备考中，应该更加深入地总结出一些常见常考的解析几何模型及应用，这样就更好地展示出了解析几何的生命力，使得学生可以从几何与代数多角度来研究问题，提高学生的数学素养.

练习题.

1．已知圆：，是直线的一点，过点作圆的切线，切点为，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

2．设为圆外一点，过引圆的切线，两切点分别为和，若，则（    ）

A．          B．          C．            D．

3．过椭圆上一点分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

4．已知点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，，，为切点.若的最大值为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

5．已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

6．已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形周长取最小值时，四边形的外接圆方程为（       ）

A． B．

C． D．

7．已知，过点作圆（为参数，且）的两条切线分别切圆于点、，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

8．已知圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当最小时，直线AB的方程为（       ）

A． B．

C． D．

5.解析：圆：化为标准方程：，其圆心,半径.过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：

在△PAC中,有，即，变形可得：. 设，则.

所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小.

而的最小值为点C到直线的距离，即，

所以.

故选：B

6.解析：圆的圆心，半径，点C到直线l的距离，依题意，，四边形周长，

当且仅当时取“=”，此时直线，由得点，

四边形的外接圆圆心为线段中点，半径，方程为.

故选：D

7.解析：圆心，半径为，圆心在直线上运动，

设，则，由圆的几何性质可知，

所以，，

当直线与直线垂直时，取最小值，则取最小值，

且，则，则，

由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，且，

故函数在上为减函数，故当时，取得最大值.故选：C.

8. 解析：圆的标准方程为，圆心为，半径为.

依圆的知识可知，四点P，A，B，C四点共圆，且AB⊥PC，所以

，而，

当直线PC⊥l时，最小，此时最小.

结合图象可知，此时切点为，所以直线的方程为，即.

故选：A