2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 05 最值与恒成立问题

导数专题之一：恒成立问题

基础知识：

1. 常用不等式与常见函数图像

2.常见函数图像

方法一：最值法.

例1. 已知函数，若当时，，求的取值范围.

方法二：分离参数

例2.设函数.

（1) 若,求的单调区间;

（2）当时恒成立，求的取值范围.

方法三：端点效应

例3．（2020成都二诊）已知函数，其中.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）设.若在上恒成立，求实数的最大值.

练习．（2016四川卷）设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）确定的值，使得在区间内恒成立.

练习.（2019成都三诊）设函数.

（1）当时，判断是否为函数的极值点，并说明理由；

（2）当时，不等式恒成立，求的最小值.

最值点，极值点效应

例4. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，恒成立，求实数的取值范围.

练习. 已知函数

（1）当时，求的单调区间；

（2）若恒成立，求的取值范围.

方法四：放缩

1.不等式放缩

例5.已知函数（，为自然对数的底数），.

（1）若有两个零点，求实数的取值范围；

（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.

练习1. 已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若，求的取值范围.

练习2.已知函数. 若，求的取值范围.

练习3．已知函数.

（1）求函数的极值;

（2）当时,若恒成立,求实数的取值范围.

练习4. 已知函数.

（1）当时，证明：;

（2）若对于定义域内任意，恒成立，求的范围.

2. 已知参数范围进行局部放缩（或综合端点效应）

例6.  已知函数.

（1）设是的极值点，求，并讨论的单调性；

（2）当时，证明

练习．已知函数．

（1）设是的极值点，求的值；

（2）证明；当时，．

方法五：同构变换

若能够变形成，然后利用的单调性，如递增，转化为，即为同构变换.

例如：....

例7.  对下列不等式或等式进行同构变换

（1）              （2）

（2）              （4）

（5）  （6）

（7）             （8）

练习题

1.若对,恒有，则实数的最小值为_______.

2.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________.

3.若，不等式恒成立，则实数的最小值为_______.

练习.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_______.

4.已知函数，证明：当时，.

5.   已知是函数的零点，则_______.

6.若函数，证明：.

6.   已知函数，若，则实数的最小值为_____.

7.已知函数，若，求实数的取值范围.

8.已知，若，求实数的取值范围.

9. 已知，求证：时，.

10.（1）函数的最大值为_______.

（2）函数的最小值为_________.

（3）函数的最大值为_________.

（4）函数的最小值为_______.

10. 已知函数，若恒成立，求实数的取值范围.

11. 已知函数，若恒成立，求正数的取值范围.

12. 已知函数，若恒成立，求实数的取值范围.

13. 已知不等式恒成立，求实数的取值范围.

14. 已知函数，若恒成立，求实数的取值范围.

15. 已知函数，若恒成立，求实数的取值范围.

16. 已知不等式恒成立，求实数的取值范围.

17. 已知不等式恒成立，求实数的取值范围.

18.已知函数.

（1）求函数的极值；

（2）当时，证明：.

19.已知函数（，为自然对数的底数），.

（1）若有两个零点，求实数的取值范围；

（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.

20. 已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若，求的取值范围.

例8.（2020全国一卷）已知函数.

（1）       当时，讨论的单调性；

（2）       当时，，求的取值范围.

练习3.已知函数．

（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．