2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 25.隐圆问题大盘点

隐圆问题汇编

1.阿波罗尼斯圆

1．已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴，短轴，动点满足，若面积的最大值为，面积的最小值为，则该椭圆的离心率为（       ）

A． B． C． D．

解析：由题意知：，，，，

设，则，

整理可得：，即点轨迹是以为圆心，为半径的圆，

，，

，，

即，，，

离心率.

故选：C.

2.直径所对圆周角

3．已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则面积的最大值为（       ）

A． B．

C．5 D．10

解析：由直线的方程是得直线过定点，同理直线方程为，即，所以定点，

又，所以，即在以为直径的圆上，

，由圆的性质知点到的距离最大值等于圆半径，即，所以面积的最大值为．故选：C．

4．已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）

A． B．

C． D．

解析：圆即,半径，因为,所以

又是的中点,所以，所以点的轨迹方程为，故选：B

4．已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，若AB的中点为M，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

解析：设，中点，则，，

又，，则，

所以，

又，则，而，，

所以，即，

综上，，整理得，即为M的轨迹方程，

所以在圆心为，半径为的圆上，则.

故选：A.

5.（2017 年南京、盐城一模）在 ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a, b, c ，若

a2   b2   2c2    8 ，则 ABC 面积的最大值为           ．

6．已知两点，.若动点M满足，则“”是“动点M的轨迹是圆”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：两点，，设，

由，可得，整理得，

当时，，故点为定点，不是圆，所以充分性不成立，

当动点的轨迹是圆，则，故必要性成立，

所以“”是“动点的轨迹是圆”的必要不充分条件.

故选：B

3.向量隐圆

1.（2018年浙江高考）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）

A． B． C．2 D．

解析：设，

则由得，

由得

因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.

2．若平面向量，，满足，，，，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

解析：由题意可得：

，

，

即

故选：A.

3．已知非零平面向量，，.满足，，且，则的最小值是（    ）

A． B． C．2 D．3

如图1：

令，，，不妨设

取中点，由，可得，由极化恒等式得；

要求的最小值，即最小时取到；显然，此时，，三点共线，如图2：

设此时，因为

由余弦定理可知：

所以，即.

故选:A.

4．已知平面向量，的夹角为，且对任意实数，恒成立，则

A． B． C． D．

解析：由题意，对任意实数，恒成立故

即

即

即，对任意实数成立

故选：B

5．设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，的最小值为1，则（    ）

A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定

C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定

解析：，令，因为，

所以当时，，又的最小值为1，

所以的最小值也为1，即，，

所以，所以，故若确定，则唯一确定.

故选：B