2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 18.外接球问题汇编

外接球专题

一．球的截面

若用一个平面去截半径为的球，得到的截面是一个圆：

（1）若平面过球心，则截面圆是以球心为圆心的圆；

（2）若平面不过球心，如图所示，小圆圆心为，则，记，则.

例1．（2020全国2卷）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

注：球的截面性质是我们处理外接球问题的根本思路!

例2．（2020全国1卷）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

球的截面性质告诉我们，在计算多面体的外接球时，我们的思路是从平面到空间，先从该多面体的一个面出发，找到其外接圆圆心的位置，进一步，球心与该圆心的连线一定垂直于该平面，这样，就可找到球心和半径.

二．三角形的外心:

.

注：等边三角形的外心，直角三角形的外心，正方形，长方形的外心.

三．正方体，长方体的外接球.

正长体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点

四．正棱柱，直棱柱的外接球.

1.基本定义：

棱柱：上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱.

直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.正棱柱是侧棱都垂直于底面，且底面是正多边形的棱柱.

2.外接球球心：

直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.

正棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点。

3.计算公式：

设底面小圆的半径为，棱柱高为，则.

三．典例分析

例1．（2022新高考1卷）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

解析：∵ 球的体积为，所以球的半径,

设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,

所以，

所以正四棱锥的体积，

所以，当时，，当时，，

所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，，所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C.

例2．（2022全国乙卷）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（       ）

A． B． C． D．

解析：设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则

（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为

又则

当且仅当即时等号成立，故选：C

例3．（2022新高考2卷）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

解析：设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．

三．习题演练

1.在平面四边形中，，现将沿折起，使二面角的大小为.若四点在同一个球的球面上，则球的表面积为(   )

A. B. C. D.

2.已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，且该三棱锥的体积为，平面，则球O的体积的最小值为_________.

3.如图，已知长方体的底面为正方形，P为棱的中点，且，则四棱锥的外接球的体积为_________________.

4.设正四面体的内切球半径为r，外接球半径为R，则___________.

5.已知有两个半径为2的球记为，两个半径为3的球记为，这四个球彼此相外切，现有一个球O与这四个球都相内切，则球O的半径为____________.

习题答案

1.答案：C

解析：本题考查三棱锥的外接球、球的表面积.如图所示，设M为的中点，连接，依题意，折起后是二面角的平面角，则.易知，四面体的外接球的球心O在平面上，于是点O在底面上的射影是正的中心，设为点Q，而点O在侧面上的射影是M，易得，又，因此，进而，所以球O的表面积为，故选C.

2.答案：

解析：本题考查空间几何体的体积.由题意得，三棱锥的体积，则，当球O的体积最小时，外接圆的半径最小，即最小，在中，由余弦定理和基本不等式得，当且仅当取等号，则，此时外接圆的直径，球O的半径，故球O的体积的最小值为.

3.答案：

解析：解法一  由题意知为正三角形，取的中点M，的中心N，记，连接，过分别作平面与平面的垂线，两垂线交于点O，则点O为四棱锥的外接球球心.由题意知，，所以四棱锥的外接球半径，所以四棱锥的外接球的体积.

解法二  连接，记，连接，易知四棱锥的外接球的球心O在线段上.取的中点G，连接，设，球O的半径为R，易知，则，得，则，所以四棱锥的外接球的体积.

4.答案：

解析：本题考查正四面体的外接球、内切球性质.

如图，在正四面体PABC中，D，E分别为BC，AC的中点，连接AD，BE交于点F，则点F为正三角形ABC的外心，连接PF，则底面ABC，且正四面体PABC的外接球球心与内切球球心为同一点，应在线段PF上，记作点O，如图所示.

不妨设正四面体PABC的棱长为a，则在中，.

底面底面，

.

正四面体PABC的外接球、内切球球心均为O，

.

，且在中有，

，

，

.

5.答案：6

解析：本题考查球的相切问题.由题意可得.
如图，取的中点的中点N，连接则
又平面同理可证平面
平面平面球心O在线段MN上.
设球O的半径为R，则.
即解得.
故球O的半径为6.