2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 33.与斜率和，斜率积有关的定点定值

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若，则有，
若，则直线过定点，
若，则有，
若，则直线过定点.
2.典例1.（2020新高考卷）
已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
解析：（1）由题意可得：，解得：，
故椭圆方程为：.
(2) 设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，
代入椭圆方程消去并整理得：，
可得，，
因为，所以，即，
根据,代入整理可得：
，
所以，整理化简得，因为不在直线上，所以，
故，于是的方程为，
所以直线过定点直线过定点.当直线的斜率不存在时，可得，
由得：，
得，结合可得：，
解得：或（舍）.此时直线过点.令为的中点，即，若与不重合，则由题设知是的斜边，故，若与重合，则，故存在点，使得为定值.
典例2. （2018年1卷）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：.
解析：（1）由已知得，l的方程为.
由已知可得，点的坐标为或.
所以的方程为或.
（2）当与轴重合时，.
当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以.
当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，
则，直线、的斜率之和为.
由得.
将代入得.
所以，.
则.
从而，故、的倾斜角互补，所以.
综上，.