微专题 对数函数单调性的应用 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 对数函数单调性的应用 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共36页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

微专题：对数函数单调性的应用
【考点梳理】
比较两个对数的大小的基本方法：①若底数为同一常数，则由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对这一字母进行分类讨论. ②若底数不同真数相同，则可先换底再进行比较. ③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.
在解决与对数函数相关的不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性. 在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，同时注意真数必须为正.

【题型归纳】
题型一： 对数函数的单调性
1．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（       ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，在区间上单调递减的是（       ）
A． B．
C． D．
3．下列函数中，在上为增函数的是（       ）
A． B．
C． D．

题型二：由对数（型）的单调性求参数

4．函数的单调递增区间是（　　）
A． B．
C． D．
5．函数的单调递减区间为（       ）
A． B．
C． D．
6．函数的单调增区间为（       ）
A． B．
C． D．

题型三： 由对数函数的单调性解不等式
7．函数（a>0且a≠1）在（4，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（       ）
A．1 8．函数（且）在上是增函数，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
9．已知函数 在上单调递减，则的取值范围（     ）
A． B． C． D．



题型四： 比较对数式的大小
10．已知，且，成立的充分而不必要条件是（       ）
A． B． C． D．
11．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
12．设函数，则使得成立的的取值范围为（       ）
A． B． C． D．

题型五：对数函数单调性的应用
13．已知实数，，满足，则，，的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
14．已知函数的图像关于直线对称，且当时，成立，若，，，则（       ）
A． B． C． D．
15．已知偶函数在上单调递减，若，，，则（       ）
A． B．
C． D．


【双基达标】
16．已知logax＞logay（0＜a＜1），则下列不等式恒成立的是（　　）
A．y2＜x2 B．tanx＜tany C． D．
17．函数的大致图象是（       ）
A． B．
C． D．
18．定义在R上的函数满足，当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
19．已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
20．已知函数，若，则（       ）
A． B．
C． D．
21．已知函数，则关于的不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
22．已知，，，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
23．已知0 A．m 24．设，，，则a，b，c大小关系为（       ）
A． B． C． D．
25．下列函数中是偶函数且在区间单调递减的函数是（       ）
A． B． C． D．
26．设，，，则，，的大小关系是（       ）
A． B．
C． D．
27．设，则（       ）
A． B． C． D．
28．函数在单调递增，求a的取值范围（       ）
A． B． C． D．
29．已知，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（       ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b
30．已知函数，则的增区间为（     ）
A．（–∞，–1） B．（–3，–1）
C．[–1，+∞） D．[–1，1）

【高分突破】
一、 单选题
31．集合，集合，求（       ）
A． B．
C． D．
32．若，则（       ）
A． B．
C． D．
33．已知，设函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
34．给出下列四个命题:
①函数的图象过定点;
②已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若，则实数或;
③若，则的取值范围是:
④对于函数，其定义域内任意，都满足
其中所有正确命题的个数是（       ）
A．个 B．个 C．个 D．个
35．设函数，则f(x)（       ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
36．设，，．则（       ）
A． B． C． D．
37．已知，则
A． B． C． D．
38．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（       ）
A．a 39．下列函数中，在上单调递减的是（       ）
A． B．
C． D．
40．设函数，则不等式的解集为（     ）
A．(0，2] B．
C．[2，＋∞) D．∪[2，＋∞)
41．若函数在上是单调增函数，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
42．设，则的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
43．设函数（且）在区间上是单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
44．已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（       ）
A． B．
C． D．
45．下列结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．
46．函数在（0，1）上是减函数，那么（       ）
A．在上递增且无最大值
B．在上递减且无最小值
C．在定义域内是偶函数
D．的图像关于直线对称
47．已知，则（       ）
A． B．
C． D．
三、填空题
48．若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是______．
49．若函数在上为减函数，则a取值范围是___________.
50．不等式的解集是________.
51．已知函数对任意两个不相等的实数，，都满足不等式，则实数的取值范围是________.
52．下列说法正确的是______.
①独立性检验中，为了调查变量与变量的关系，经过计算得到，表示的意义是有99%的把握认为变量与变量有关系；
②在处取极值，则；③是成立的充要条件.
53．燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究发现，燕子的飞行速度（单位：）可以表示为（其中是实数，表示燕子的耗氧量的单位数），据统计，燕子在静止的时候其耗氧量为个单位.若燕子为赶路程，飞行的速度不能低于，其耗氧量至少需___________个单位
四、解答题
54．设函数（且）的图像经过点.
（1）解关于x的方程；
（2）不等式的解集是，试求实数a的值.
55．物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到点18分时，壶中热水自然冷却到.
(1)求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数；
(2)若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：）
①求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由）
②求该养生壶保温的临界值.
56．已知函数，（，）的图象过点，且对，恒成立.
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的最小值.
57．已知函数．
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并予以证明；
（3）求不等式的解集．
58．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数，若关于的方程在有解，求的取值范围.

参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的奇偶性、单调性判断即可.
【详解】
解：对于A：为非奇非偶函数，故A错误；
对于B：为偶函数，且在上单调递减，故B错误；
对于C：定义域为，故函数为非奇非偶函数，故C错误；
对于D：定义域为，且，
故为偶函数，又，所以在上单调递增，故D正确；
故选：D
2．B
【解析】
【分析】
直接根据幂函数，对数函数，指数函数的单调性即可得出答案.
【详解】
解：函数在区间上递增；
函数在区间上单调递减；
函数在区间上递增；
函数在区间上递增.
故选：B.
3．C
【解析】
【分析】
由指数函数、对数函数、二次函数、一次函数和分段函数单调性依次判断各个选项即可.
【详解】
对于A，由指数函数单调性知：在上为减函数，A错误；
对于B，由二次函数单调性知：在上单调递减，在上单调递增，B错误；
对于C，由一次函数单调性知：，分别在和上单调递增；
又，在上为增函数，C正确；
对于D，由对数函数单调性知：定义域为，且在定义域内为增函数，D错误.
故选：C.
4．D
【解析】
【分析】
根据复合函数的单调性即得.
【详解】
由题知的定义域为，
令，则，函数单调递增，
当时，关于单调递减，关于单调递减，
当时，关于单调递增，关于单调递增，
故的递增区间为．
故选：D．
5．A
【解析】
【分析】
先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果
【详解】
由，得，
令，则，
在上递增，在上递减，
因为在定义域内为增函数，
所以的单调递减区间为，
故选：A
6．C
【解析】
【分析】
根据对数复合函数的单调性，结合二次函数的单调性、对数型函数的定义域进行求解即可.
【详解】
由，
二次函数的对称轴为：，
所以二次函数的单调递增区间为，递减区间为，
而函数是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知：
函数的单调增区间为，
故选：C
7．B
【解析】
【分析】
根据复合函数的单调性，先分析外层函数的单调性可得a>1，再求导分析内层函数的单调性即可
【详解】
函数（a>0且a≠1）在（4，+∞）上单调递增，
故外层函数是增函数，由此得a>1，
又内层函数在区间在（4，+∞）上单调递增，
令
则在（4，+∞）上恒成立，
即3x2≥2a在（4，+∞）上恒成立
故2a≤48，即a≤24，
又由真数大于0，故64﹣8a≥0，
故a≤8，由上得a的取值范围是1 故选：B.
8．A
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：、，分别判断单调性，结合已知单调区间求a的范围，再利用二次函数性质求的取值范围.
【详解】
当时，则在定义域上递减，不满足题设；
当时，则在定义域上递增，又在上是增函数，
所以，可得，即.
由，故在上递增，
所以的取值范围是.
故选：A
9．B
【解析】
【分析】
转化为函数在上单调递增，且在上恒成立，再根据二次函数的单调性以及不等式恒成立列式可求出结果.
【详解】
因为函数 在上单调递减，
所以函数在上单调递增，且在上恒成立，
所以，解得.
故选：B
10．A
【解析】
【分析】
分别讨论和两种情况，根据对数函数单调性，可得a的范围，根据充分、必要条件的概念，分析即可得答案.
【详解】
当时，在为单调递增函数，则恒成立，
当时，在为单调递减函数，
由，可得，解得，
综上使成立a的范围是，
由题意： “选项”是使 “”成立的充分而不必要条件，
所以由“选项”可推出 “”成立，反之不成立，
分析选项可得，只有A符合题意，
故选：A
11．D
【解析】
【分析】
利用函数为奇函数，将不等式转化为，再利用函数的单调性求解.
【详解】
因为函数为奇函数，
所以，又，，
所以不等式，可化为，
即，
又因为在上单调递增，
所以在R上单调递增，
所以，
解得.
故选：D.
12．D
【解析】
【分析】
方法一 :求出的解析式,直接带入求解.
方法二 : 设，则，判断出在上为增函数,由得，解不等式即可求出答案.
【详解】
方法一 :

由得，
则，解得或.
方法二 :
根据题意，函数，其定义域为，
有，即函数为偶函数，
设，则，
在区间上，为增函数且，在区间上为增函数，
则在上为增函数，
，
解得或，
故选：D．
13．C
【解析】
【分析】
判断出，构造函数，判断时的单调性，利用其单调性即可比较出a,b的大小，即可得答案.
【详解】
由，得 ，
设 ，则，
当时，，单调递增，
因为，所以，
所以，故，则 ，
即有，
故.
故选：C.
14．B
【解析】
【分析】
先得到为偶函数，再构造函数，利用题目条件判断单调性，进而得出大小关系.
【详解】
函数的图像关于直线对称，可知函数的图像关于直线对称，即为偶函数，构造，
当，，故在上单调递减，
且易知为奇函数，故在上单调递减，由，
所以.
故选：B.
15．C
【解析】
【分析】
利用指数、对数函数性质比较，，大小，再利用给定函数性质求解作答.
【详解】
依题意，，而偶函数在上单调递减，
则，而，即，
所以.
故选：C
16．C
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性判断A、D选项，取特殊值法判断B，根据对数函数的单调性以及不等式性质判断C.
【详解】
∵logax＞logay（0＜a＜1），
∴0＜x＜y，∴y2＞x2，，故A和D错误；
选项B，当,取x，y时，,但；显然有tanx＞tany，故B错误；
选项C，由0＜x＜y可得，故C正确；
故选：C．
17．D
【解析】
【分析】
探讨给定函数的性质，结合当时函数值的符号即可判断作答.
【详解】
函数定义域为，，
则有函数是奇函数，其图象关于原点对称，选项B，C不满足；
当时，，即，因此，选项A不满足，D符合条件.
故选：D
18．D
【解析】
【分析】
由解析式得到函数的单调性和对称轴，结合条件可得，两边平方转为恒成立求解即可.
【详解】
当时，单调递减，；当时，单调递减，故在上单调递减：由，得的对称轴方程为．若对任意的，不等式恒成立，所以，即，即对任意的恒成立，所以解得．
故选：D．
19．D
【解析】
根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.
【详解】
由于函数是定义在上的减函数，
所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有，
即，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数，要注意分析每支函数的单调性及其在分界点处函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20．A
【解析】
【分析】
利用指数幂、对数的性质可比较的大小关系，再根据函数单调性求解即可.
【详解】
因为，，．
所以，
又函数在上单调递减，
所以.
故选：A．
21．D
【解析】
【分析】
设，确定的定义域、单调性和奇偶性，利用奇偶性将不等式转化为，再利用的单调性解不等式即可.
【详解】
设，
因为对任意的恒成立，故的定义域为R，
又

是定义在R上的奇函数，
又均在R上单调递增，
又对于函数，
当时，明显为单调递增函数，
当时，，由于在上单调递减，故为单调递增函数，
又函数为连续函数，故函数在R上单调递增，
在R上单调递增.
由，
可得，
即，
从而，

解得.
故选：D.
22．B
【解析】
【分析】
若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用函数的单调性判断大小．
【详解】
对于的大小：，，明显；
对于的大小：构造函数，则，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
即
对于的大小：，，，
故选B．
【点睛】
将两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来来比较大小，此题是一道中等难度的题目．
23．A
【解析】
【分析】
由给定条件可得，，再用作商法比较m，n的大小即可.
【详解】
因00，
又m<0，n<0，则，于是得m 所以m 故选：A
24．B
【解析】
【分析】
由对数函数、指数性质结合中间值比较可得．
【详解】
，即，，
而，所以，
故选：B．
25．A
【解析】
【分析】
利用幂指对函数的性质逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论．
【详解】
解：是偶函数且在区间上单调递减，满足条件；
是非奇非 偶函数，不满足条件；
是偶函数，但在区间上单调递增，不满足条件；
是奇函数不是偶函数，不合题意.
故选：．
26．C
【解析】
【分析】
利用对数函数的性质及放缩法有、，可比较，的大小，再由并构造，根据其单调性即可确定，的大小.
【详解】
由题意，，，
∴，
由，则，而在上递增，
∴，故，即，
∴.
故选：C
27．C
【解析】
【分析】
构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
28．C
【解析】
【分析】
分析单调性和定义域可得，解不等式组即得解.
【详解】
解：令，二次函数抛物线的对称轴方程为，
由复合函数的单调性可知，.
又在上恒成立，所以，即，
所以，解可得，．
故选：C
29．D
【解析】
【分析】
由对数的运算法则求出a,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b,c进行放缩，最后求得答案.
【详解】
由题意，，，，则.
故选：D.
30．B
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域，然后由复合函数的单调性可得出答案.
【详解】
由，得，
当时，函数单调递增，所以函数单调递增；
当时，函数单调递减，所以所以函数单调递减，
故选：B.
31．C
【解析】
【分析】
先化简出结合，然后再求交集.
【详解】
由， 则，所以集合
所以
故选：C
32．A
【解析】
【分析】
利用对数的单调性证明，即得解.
【详解】
解：因为，则，则，所以，从而，所以
故选：A．
33．D
【解析】
【分析】
根据分段函数的意义将方程恰有两个互异的实数解，转化为各段上根的个数问题分类推理求解.
【详解】
因关于x的方程恰有两个互异的实数解，则有：
有两个不同的实根且无实根，
或与各有一个实根，
或无实根且有两个不同的实根，
当时，，函数为增函数，
则函数在上最多一个零点，有两个不同的实根不成立，
当函数在上有一个零点时，必有，即，此时，，
因此，当时，函数在上确有一个零点，方程必有一个实根，
当，时，，函数，
而函数对称轴，即在上单调递减，又，即在上必有一个零点，
因此，方程必有一个实根，
于是得当时，与各有一个实根，
若方程无实根，必有，
此时方程有两个不同的实根，函数在上有两个零点，
当且仅当，解得，
于是得当时，有两个不同的实根且无实根，
综上得：当或时，方程恰有两个互异的实数解，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
【点睛】
思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.
34．B
【解析】
【分析】
由指数函数的图象的特点解方程可判断①；由奇函数的定义，解方程可判断②；由对数不等式的解法可判断③；由对数函数的运算性质可判断④．
【详解】
解：①函数，则，故①错误；
②因为当时， ，且，所以由函数f（x）是定义在R上的奇函数得，故②错误；
③若，可得，故③正确；
④对于函数
当且仅当取得等号，其定义域内任意都满足，故④正确．
故选：B．
【点睛】
本题关键在于正确运用函数的单调性、奇偶性和对称性，以及函数图象等基本性质.
35．D
【解析】
【分析】
根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】
由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
36．B
【解析】
【分析】
利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】
,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则,，
由于
所以当0 所以在上单调递增，
所以,即,即;
令,则,,
由于，在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b 综上，,
故选：B.
【点睛】
本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.


37．B
【解析】
【分析】
运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】
则．故选B．
【点睛】
本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
38．A
【解析】
【分析】
由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】
由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】
本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
39．D
【解析】
【分析】
根据函数单调性的性质可判断每个选项中函数在的单调性.
【详解】
对于A，当时，单调递增，故A错误；
对于B，，故在和上单调递增，故B错误；
对于C，在上单调递增，故C错误；
对于D，在上单调递减，故D正确
故选：D.
【点睛】
本题主要考查对函数单调性的判断，根据基本初等函数的复合函数单调性进行判断即可，属于基础题.
40．B
【解析】
【分析】
由题意得到函数为的偶函数，且在上为单调递减函数，令，化简不等式为，结合函数的单调性和奇偶性，得的，即，即可求解.
【详解】
由题意，函数的定义域为，
且，
所以函数为的偶函数，且在上为单调递减函数，
令，可得，
则不等式可化为，
即，即，
又因为，且在上单调递减，在为偶函数，
所以，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B.
41．C
【解析】
若函数在上是单调增函数，根据对数函数及复合函数单调性可知，解不等式即可得到的取值范围．
【详解】
由题意得，设，根据对数函数及复合函数单调性可知：
在上是单调增函数，且，所以，所以，
故选:C．
42．D
【解析】
【分析】
利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】
因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
43．D
【解析】
【分析】
分析可知函数在上单调递减，可求得，然后作出函数与函数的图象，可知两个函数在上的图象有两个交点，从而可得知函数在上有且只有一个零点，利用二次函数的零点分布可求得实数的取值范围，即可得解.
【详解】
当时，，
二次函数图象的对称轴为直线，此时，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，不合乎题意；
当时，即当时，此时，
，
函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，不合乎题意；
当时，即当时，，
此时函数在上单调递减，在上单调递减，
由题意可得，解得，此时.
当时，，可得，
令，可得，
因为，则，
如下图所示：

因为，所以，函数与函数在上的图象有两个交点，
由题意可知，函数与函数在上的图象有且只有一个交点，
联立，可得，
设，则函数在上有且只有一个零点，
二次函数的对称轴方程为，只需，解得.
综上所述，.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
44．BD
【解析】
【分析】
确定函数是增函数，然后比较自变量的大小后可得正确选项．
【详解】
是上的增函数，
时，成立，成立，BD一定成立；
与的大小关系不确定，A不一定成立；
同样与的大小关系也不确定，
如时，，C也不一定成立．
故选：BD．
45．AB
【解析】
【分析】
根据函数和的单调性，即可判断A是否正确；作出函数函数的函数图象，根据图像即可判断B是否正确；作出函数的函数图象，根据图像即可判断C是否正确；利用诱导公式，即可判断D是否正确.
【详解】
因为函数是单调递减函数，所以；
函数在上单调递增，所以，即，故A正确；
作出函数的函数图象，如下图所示：

由图象可知，；故B正确；
作出函数的函数图象，如下图所示：

当时，可知；故C错误；
， ，
,
所以，故D错误.
故选：AB.
46．AD
【解析】
【分析】
由题意可知，利用“同增异减”可知A正确，结合的对称性可知的图像的对称性.
【详解】
由得，函数的定义域为．
设，则在上为减函数，在上为增函数，且的图像关于直线对称，所以的图像关于直线对称，D正确；
因为在上是减函数，所以，
所以在上递增且无最大值，A正确，B错误；
又，所以C错误．故选AD．
【点睛】
本题考查了复合函数的单调性与最值的应用问题，解题时应判定复合函数的单调性，根据单调性判定最值问题，是基础题．
47．CD
【解析】
【分析】
由条件可知，再利用函数的单调性，判断选项.
【详解】
因为，
A：故，A错误；B：为减函数，故B错误；C：幂函数在上为减函数，故C正确；D：函数为减函数，故D正确.
故选：CD
48．
【解析】
【分析】
利用复合函数单调性的原则进行计算即可.
【详解】
由函数在区间上是单调增函数，只需
函数在上是单调增函数，且当时恒成立，所以满足解得．
故答案为：
49．
【解析】
【分析】
令，且 ，，由是增函数且恒成立，列出关于的不等式组并解之即可.
【详解】
令，且 ，，
因为函数在上是减函数且在上是减函数，
所以是增函数且恒成立，
即，解之得的取值范围是.
故答案为：.
50．
【解析】
【分析】
由，结合在单调递减，即可求解集.
【详解】
解：由在单调递减，因为，
所以 ，解得，，即解集为.
故答案为:
【点睛】
本题考查了对数不等式的求解，考查了对数函数的单调性，考查了对数函数的定义域.本题的易错点是忽略了真数需要大于零.
51．
【解析】
【分析】
根据题意得出在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”以及对数函数性质列出不等式求解即可.
【详解】
由不等式可知，在上单调递增，
又因为在上单调递减，
则在上单调递减，且在上恒成立，
所以，解得．
故答案为：
52．①②
【解析】
【分析】
①根据的意义作出判断即可；②分析导函数，根据求解出的值后再进行验证；③根据与互相推出的情况作出判断.
【详解】
解：①因为变量与变量没有关系的概率为，所以有99%的把握认为变量与变量有关系，故正确；
②由题意知且，所以，所以，
所以，令，所以，
当时，，当时，，所以在取极值，故正确；
③当时不一定有，如；当时，则有，
所以是成立的必要不充分条件，故错误，
故答案为：①②.
53．80
【解析】
【分析】
根据给定条件求出常数a，再建立不等关系即可得解.
【详解】
依题意，时，，于是得，解得，即，
由得：，即，解得，
所以其耗氧量至少需80个单位.
故答案为：80
54．（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件求出m值，并代入方程，再解方程即得.
(2)由给定解集借助对数函数单调性求出范围，换元借助一元二次不等式即可得解.
【详解】
（1）由已知得，即，则，于是得，
方程，
从而得或，即或，或，
所以原方程的根为或；
（2）依题意，函数中，，从而得.
又，令，
即一元二次不等式的解集为，
因此有-1，2是关于的方程的两根，则，
所以实数a的值为2.
55．(1)；
(2)①1次；②.
【解析】
【分析】
（1）设待定系数法求，根据已知有求参数a，即可写出解析式，注意定义域范围.
（2）①由题意，研究情况下从降至、从加热至、从降至所需的时间，进而分析出加热次数；
②由（i）分析结果可知时水温正好被加热到，计算从降至、从加热至的时间，列方程求值.
(1)
当时，设，则，可得，
所以.
当时，，则，可得，
综上，.
(2)
①1次，理由如下：由题意，
从降至，则，可得分钟，
所以降至，所需时间分钟，
由于小王出门34分钟，
从加热至，则，可得分钟，则从加热至所需时间分钟；
从降至，则，可得分钟，则从降至所需时间分钟；
故34分钟内至少加热了一次，若加热两次则分钟，
综上，只加热过一次.
②由（i）知：从降温至，所需时间为分钟.
所以在时，水温正好被加热到.
从降至，则，可得，
从加热至，则，可得，
所以在上递减，且，即.
56．（1）；（2）最小值为.
【解析】
【分析】
（1）由对数轴和所过点列方程组求得得解析式；
（2）令，求出的范围，题设不等式化简后用分离参数法变形，然后求新函数的最值可得．
【详解】
解：（1）因为为二次函数，且，
所以的图象的对称轴方程为，
又的图象过点，
故，
解得，
所以；
（2）令，
由，则，
不等式，即，
可得在上恒成立，
由勾形函数性质知函数在时取到最小值，
所以，
故的取值范围是，
所以实数的最小值为.
57．（1）；（2）奇函数；证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）利用对数的性质可得，解不等式即可得函数的定义域.
（2）根据奇偶性的定义证明的奇偶性即可.
（3）由的解析式判断单调性，利用对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】
（1）要使有意义，则，解得：．
∴的定义域为.
（2）为奇函数，证明如下：
由（1）知： 且，
∴为奇函数，得证．
（3）∵在内是增函数，由，
∴，解得，
∴不等式的解集是.
58．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由可得，从而可求出不等式的解集，
（2）由，得，再由可得的范围，从而可求出的取值范围
【详解】
（1）原不等式可化为，即，
所以原不等式的解集为
（2）由，
∴，
当时，，，