微专题 对数函数的图象和性质 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 对数函数的图象和性质 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共42页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。

微专题：对数函数的图象和性质
【考点梳理】
1. 对数函数
(1)对数函数的概念：一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象和性质

0＜a＜1
a＞1
图象


定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
减函数
增函数
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
(3)指数函数与对数函数的关系：一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，且图象关于直线y＝x对称.
2. 对数函数相关结论
(1)对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)以y轴为渐近线；g(x)＝logax＋b恒过定点(1，b)，仍以y轴为渐近线.
(2)作对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象应抓住三个点，(1，0)，(a，1).
(3)对数函数在第一象限内从左到右底数逐渐增大.


【题型归纳】
题型一： 判断对数型函数的图象形状
1．已知的图像如图所示，则的解析式可能为（       ）


A． B．
C． D．
2．函数的图象是（       ）
A． B．
C． D．
3．函数的图像大致是（       ）
A． B．
C． D．


题型二： 根据对数型函数图象判断参数的范围
1．已知的图像如图所示，则的解析式可能为（       ）


A． B．
C． D．
2．函数的图象是（       ）
A． B．
C． D．
3．函数的图像大致是（       ）
A． B．
C． D．


题型三： 对数型函数图象过定点问题
7．已知函数且，则该函数图象恒过定点（       ）
A． B． C． D．
8．函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（       ）
A．16 B．8 C．4 D．2
9．若函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则（       ）
A． B． C． D．


题型四： 对数函数图象的应用
10．已知函数，，则图像交于两点，则（       ）
A． B． C． D．
11．函数的零点个数为（       ）
A． B． C． D．
12．已知过原点的直线与函数的图像有两个公共点，则该直线斜率的取值范围（       ）
A． B．
C． D．




【双基达标】
13．已知函数（，），则的图象可能是（       ）
A． B． C． D．
14．已知函数（且）的图象必经过定点P，则P点坐标是（       ）
A． B．
C． D．
15．设函数，则函数的图像可能为（       ）
A． B．
C． D．
16．已知函数的大致图象如下图，则幂函数在第一象限的图象可能是（       ）

A． B．
C． D．
17．函数的大致图象为（       ）
A． B．
C． D．
18．函数的图象过定点（       ）
A． B． C． D．
19．已知函数若(互不相等)，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
20．已知数列为等比数列，函数过定点，，数列的前项和为，则（       ）
A．44 B．45 C．46 D．50
21．函数的图象大致是（       ）
A． B． C． D．
22．若，则函数的图象不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
23．在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
24．设a与b均为实数，且，已知函数的图象如图所示，则的值为（       ）

A．6 B．8 C．10 D．12
25．已知函数f（x）＝，若，且，给出下列结论：①，②，③，④，其中所有正确命题的编号是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
26．定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（        ）
A． B．
C． D．
27．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（       ）
A． B．
C． D．
28．已知函数图象如图所示，那么该函数可能为（       ）


A． B．
C． D．
29．函数在上的大致图象是（       ）
A． B．
C． D．
30．对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x在同一坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．

【高分突破】
一、 单选题

31．如图，若，分别为函数和的图象，则（       ）

A． B． C． D．
32．若，则函数与，且在同一坐标系上的部分图象只可能是（       ）
A． B．
C． D．
33．函数的图象大致为
A． B．
C． D．
34．正实数满足，则实数之间的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
35．已知，函数，则方程的实根个数最多有（       ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
36．函数的图像与函数的图像的交点个数为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．0
37．设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
38．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是（       ）
A． B．
C． D．
39．已知函数若函数有且只有两个不同的零点，则实数的取值可以是（       ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
40．已知函数f(x)＝，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（       ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
41．，下列说法正确的有（       ）
A．关于对称
B．是奇函数
C．增长速度先快后慢
D．无最大值
三、填空题
42．已知，若方程有四个根且，则的取值范围是______.
43．函数的零点个数为_______________.
44．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.
45．已知函数，又函数g(x)＝f(x)－t有4个不同的零点，则的取值范围是___________．
46．已知函数的图象不过第四象限，则实数m的取值范围为______.
47．已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 _______________________．
四、解答题
48．已知函数的图象恒经过与无关的定点．
（1）求点的坐标；
（2）若偶函数，的图象过点，求、、的值．
（3）在（2）的条件下，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围．
49．作出以下函数的大致图像，并指出它的单调区间和奇偶性．
（1）；       （2）；       （3）．
50．已知函数．
（1）画出函数的草图，并根据草图求出满足的x的集合；
（2）若，且，求证：．
51．已知函数，．
（1）判断函数的奇偶性，并画出在上的图象；

（2）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围．
52．已知函数，其中.
（1）求函数的定义域；
（2）求函数图像所经过的定点；
（3）若函数的最大值为2，求的值.

参考答案
1．C
【解析】
【分析】
首先判断函数的奇偶性，即可排除A、D，再利用特殊值排除B.
【详解】
解：由图可知函数的定义域为，且函数图象关于原点对称，即为奇函数，
令，则，故为偶函数，
令，则，故为奇函数，
令，则，故为偶函数，
所以、均为偶函数，故A、D错误；
故、均为奇函数，
对于B：，，，故B错误；
故选：C
2．A
【解析】
【分析】
由函数的图象与轴的交点是结合函数的平移变换得函数的图象与轴的公共点是，即可求解.
【详解】
由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，
故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.
故选：A.
3．C
【解析】
【分析】
根据解析式判断定义域，由奇偶性定义判断对称性，再结合的符号，即可确定图象.
【详解】
由，
所以的定义域是，
又，
所以是奇函数，图象关于原点对称，且.
故选：C
4．C
【解析】
【分析】
作出函数的图象结合可得到a,b的取值范围以及a,b之间的关系式，整理变形即可判断出答案.
【详解】
作出函数的图象，如图：

由题意可知，，且由图象可知，，
所以即，
所以，即，，
即，
故选：C
5．D
【解析】
【分析】
根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】
因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
6．C
【解析】
【分析】
结合函数的图象可得和，然后逐项分析即可求出结果.
【详解】
由图象可知在定义域内单调递增，所以，
令，即，所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，
因此，故A错误；
，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；
因为，即，且，所以，故C正确；
因为，所以，即，故D错误，
故选：C.
7．B
【解析】
【分析】
由函数经过定点即得解.
【详解】
解：因为函数经过定点
所以函数且的图象经过定点.
故选：B
8．A
【解析】
【分析】
利用恒等式可得定点P，代入幂函数可得解析式，然后可得.
【详解】
当时，，
所以函数的图像恒过定点
记，则有，解得
所以.
故选：A
9．A
【解析】
【分析】
令对数型函数的真数为，即可求出函数过定点的坐标，再根据三角函数的定义得到，最后根据同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得；
【详解】
解：对于函数，
令，解得，所以，所以函数恒过定点，
又点在角的终边上，所以，
所以；
故选：A
10．C
【解析】
【分析】
作出和的图像，不妨设，由对数的运算性质和指数的运算性质进行计算后即可判断.
【详解】
不妨设，
作出和的图像，由图像知，，
则，
则，
即，即，即，
故选：C．

11．C
【解析】
【分析】
的零点的问题转化成图象的交点个数的问题，令后，整理成
，在同一坐标系中中画出两者图象即可.
【详解】
令，整理得，再令，不难在同一坐标系中画出它们的图象如下，根据图象可知它们有两个交点，即方程有两个根，于是有两个零点.

故选：C
12．B
【解析】
【分析】
画出函数图象并分别求出和两段图象的切线方程，由交点个数即可求出斜率的范围.
【详解】
设过原点与相切的于点，
，则斜率为，此切线方程为，
将原点带入得，即斜率为，当斜率时函数与过原点的直线有两个公共点，
设过原点与相切的于点，
，则斜率为，此切线方程为，
将原点带入得，即斜率为，
当斜率时函数与过原点的直线有两个公共点，
故选：B.

13．B
【解析】
【分析】
利用奇偶性定义判断的奇偶性，结合、的函数值符号，排除错误选项即可.
【详解】
由题意，，
∴，即为偶函数，排除A、D；
当时，，
当时，，
∴、对应函数值异号，排除C；
故选：B
14．C
【解析】
令，解得定点的横坐标，代入即可求出纵坐标，从而解出．
【详解】
令，解得，所以，因此函数的图象 过定点．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查对数型函数图象过定点的求法，属于容易题．一般地，函数的图象 过定点的求法：由解出，所以．
15．B
【解析】
【分析】
判断的奇偶性和对称性，结合函数值的对应性进行排除即可．
【详解】
解：由得，得，即函数的定义域为，
则，即函数为偶函数，图象关于轴对称，排除，，
，排除，
故选：．
16．B
【解析】
【分析】
根据对数函数的图象，求得参数范围；再根据幂函数的图象，即可容易判断.
【详解】
由的图象可知，，
所以，得，，
所以，所以幂函数在第一象限的图象可能为.
故选：B.
【点睛】
本题考查由对数函数的图象求参数范围，涉及幂函数图象的应用，属综合基础题.
17．D
【解析】
【分析】
利用奇偶性排除AB,利用函数值正负排除C
【详解】
的定义域为关于原点对称，且，故函数为偶函数，排除AB；当，故C错误
故选：D
18．C
【解析】
【分析】
利用真数为可求得定点的坐标.
【详解】
对于函数，令，可得，则，
因此，函数的图象过定点.
故选：C.
19．D
【解析】
【分析】
先画函数图象，再进行数形结合得到和，结合对勾函数单调性解得的范围，即得结果.
【详解】
作出函数的图象，如图所示:

设，则.
因为，所以，
所以，所以，即.
当时，解得或，所以.
设，
因为函数在上单调递增，所以，即，
所以.
故选：D.
20．B
【解析】
【分析】
根据函数过定点可得，即可求出，，根据等差数列求和公式即可求解.
【详解】
函数过定点，
，，等比数列的公比，
，，
数列的前项和为，则，
故选：B
21．C
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性，排除两个选项，再由时函数值为负，排除一个，得正确选项．
【详解】
,为偶函数，排除AD，
又时，，排除B．
故选：C．
22．A
【解析】
【分析】
利用图像的平移变换即可得到答案.
【详解】
当时，把函数的图象向左平移5个单位得到函数的图象，如图所示，

∴函数的图象不经过第一象限，
故选A
【点睛】
本题考查对数函数的图象，考查平移变换，考查数形结合的思想，属于简单题型.
23．C
【解析】
【分析】
由函数的图象与函数的图象关于轴对称，根据对数函数的图象与性质及反比例函数的单调性即可求解.
【详解】
解：因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，
所以函数的图象恒过定点，故选项A、B错误；
当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，
又在和上单调递减，故选项D错误，选项C正确.
故选：C.
24．C
【解析】
根据函数过的点即可求出，进而求出的值.
【详解】
解：令，
由图可知：，，
即，
解得：，
故，
故选：C.
25．D
【解析】
【分析】
作出函数的图象，利用二次函数图象的对称性可判断①的正误；由图象得出，结合对数的运算性质可判断②的正误；推导出，利用双勾函数的单调性可判断③的正误；推导出，利用二次函数的基本性质可判断④的正误.综合可得出结论.
【详解】
解：函数的图象如右图所示，
函数的图象关于直线对称，则，故①错误；
由得，∴
则，∴，故②正确；
设，由
所以，由得，则，
∵，
∴，故③正确；
由的对称轴方程为，由图可知
又，
∴，故④正确．
故选：D．

【点睛】
关键点睛：本题考查与函数零点相关的代数式的取值范围的判断，考查数形结合思想以及函数单调性的应用，解答本题的关键是由图像得出，由得，，从而得出答案，属于中等题.
26．B
【解析】
【分析】
根据分段函数各区间的函数性质画出的图象，将问题转化为与直线的交点问题，结合已知条件判断交点横坐标间的对称关系，进而求零点的和.
【详解】
由题设，画出上的大致图象，又为奇函数，可得的图象如下：

的零点，即为方程的根，即图像与直线的交点.
由图象知：与有5个交点：若从左到右交点横坐标分别为，
1、关于对称，；
2、且满足方程即，解得：；
3、关于轴对称，则；

故选：B
27．A
【解析】
【分析】
根据反比例函数、对数函数、正切函数和幂函数图象可得结论.
【详解】
对于A，图象关于、坐标原点分别成轴对称和中心对称，A正确；
对于B，为偶函数，其图象关于轴对称，但无对称中心，B错误；
对于C，关于点成中心对称，但无对称轴，C错误；
对于D，为奇函数，其图象关于坐标原点成中心对称，但无对称轴，D错误.
故选：A.
28．D
【解析】
【分析】
根据所给函数的图象，利用排除法分析ABC即可得解.
【详解】
由图象可知，函数定义域为，图象关于原点对称，函数是奇函数， 时，
据此，定义域不符合，排除A;
若 ，则时，，不符合图象，故排除B；
若，则当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于1，不符合图象，故排除C;
故选：D
29．D
【解析】
【分析】
通过函数的奇偶性可排除A，B；通过计算的值可排除C，进而可得结果．
【详解】
由题可知函数的定义域关于原点对称，
且当时，，，
当时，，，故为偶函数，排除A，B；
而，排除C．
故选：D．
30．A
【解析】
【分析】
①当0＜a＜1时，对数函数y＝logax为减函数，二次函数开口向下，且其对称轴为x＝，故排除C与D；②当a＞1时，对数函数y＝logax为增函数，二次函数开口向上，且其对称轴为x＝，故B错误.
【详解】
解：由对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x可知，
①当0＜a＜1时，此时a﹣1＜0，对数函数y＝logax为减函数，
而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向下，且其对称轴为x＝，故排除C与D；
②当a＞1时，此时a﹣1＞0，对数函数y＝logax为增函数，
而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向上，且其对称轴为x＝，故B错误，而A符合题意．
故选：A．
31．B
【解析】
【分析】
根据对数函数的图象特征，即可直接得到大小关系.
【详解】
根据，分别为函数和的图象，
可得，，且.
故选：B
【点睛】
本题考查根据对数函数图象求参数范围，注意规律的总结，属简单题.
32．B
【解析】
【分析】
分和两种情况分别根据指数函数图象和对数函数图象可得选项.
【详解】
解：当时，函数为增函数，且图象过点，向右和x轴无限接近，函数，且为增函数，且图象过点，向左和y轴无限接近，此时B选项符合要求，
当时，函数为减函数，且图象过点，函数，且为减函数，且图象过点，向左和y轴无限接近，此时无满足条件的图象.
故选：B.
33．A
【解析】
判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项．
【详解】
解：函数的定义域为，
因为，
所以为偶函数，所以排除C,D,
又因为当时，，
当时，，所以排除B
故选：A.
【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数的性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案．
34．A
【解析】
【分析】
由，得，而与的图象在只有一个交点，从而可得在只有一个根，令，然后利用零点存在性定理可求得，同理可求出的范围，从而可比较出的大小
【详解】
，即，即，与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，
，，，则；
，即，即，由与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，，
，，故；
，即，
即，由与的图象在只有一个交点，
则在只有一个根，令，，
，，则；

故选：A.
35．C
【解析】
【分析】
以的特殊情形为突破口，解出或或或；或或，将看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可.
【详解】
由基本不等式可得或，
作出函数，的图象，如下：

且，，
①当时，或，
由图象可知：、分别有两解，
故方程的实数根个数为；
②当时，或或，
由图象可知：、、分别有两解，
故方程的实数根个数为；
③当时，或或或，
由图象可知：、、、分别有两解，
故方程的实数根个数为；
④当时，或或或，
由图象可知：有一解，、、分别有两解，
故方程的实数根个数为；
⑤当时，或或，
由图象可知：无解，、分别有两解，
故方程的实数根个数为；
⑥当时，或，
由图象可知：有一解，有两解，
故方程的实数根个数为；
⑦当时，，
由图象可知：有两解，
故方程的实数根个数为；
综上可知，则方程的实根个数最多有个，
故选：C.
【点睛】
方法点睛：函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.
36．C
【解析】
【分析】
作出两个函数的图像，由图像可得交点个数．
【详解】
在上是增函数，在和上是减函数，在和上是增函数，，，，
作出函数的图像，如图，由图像可知它们有4个交点．
故选：C．

37．A
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式研究的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得、、，进而将目标式转化并令，构造，则只需研究在上的范围即可.
【详解】
由分段函数知：时且递减；时且递增；
时，且递减；时，且递增；
∴的图象如下：有四个实数根，，，且，

由图知：时有四个实数根，且，又，
由对数函数的性质：，可得，
∴令，且，
由在上单增，可知，
所以
故选：A
38．BCD
【解析】
【分析】
讨论参数a的取值，根据对数函数的单调性、二次函数的开口及对称轴，判断函数图象是否符合函数性质即可.
【详解】
若，则对数函数在上单调递增，二次函数开口向上，对称轴，经过原点，可能为A，不可能为B.
若，则对数函数在上单调递减，二次函数开口向下，对称轴，经过原点， C、D都不可能.
故选：BCD.
39．BCD
【解析】
【分析】
作出函数的图象如下图所示，将原问题转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，根据图示可得实数的取值范围.
【详解】
根据题意，作出的图像如下所示：

令，得，
所以要使函数有且只有两个不同的零点，
所以只需函数的图像与直线有两个不同的交点，
根据图形可得实数的取值范围为，
故选：．
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
40．CD
【解析】
先将问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，作出图象，进行数形结合即得结果.
【详解】
方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知，当时有两个交点，当a>1时有且只有一个交点.

故选：CD.
【点睛】
方法点睛：已知方程的根的情况，求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
41．AC
【解析】
【分析】
根据对称性的基本关系式可判断出A正确；根据定义域可知B中函数为非奇非偶函数；结合对数函数图象知C正确；根据对数型复合函数最值的求法可知D错误.
【详解】
对于A，令，则，
关于对称，A正确；
对于B，由知：，解得：，函数定义域不关于原点对称，原函数为非奇非偶函数，B错误；
对于C，图象如下图所示，

根据图象可知：增长速度先快后慢，C正确；
对于D，，
则当时，，此时取得最大值，D错误.
故选：AC.
42．
【解析】
【分析】
作出函数的图象，结合图象得出，，得到，结合指数函数的性质，即可求解.
【详解】
由题意，作出函数的图象，如图所示，
因为方程有四个根且，
由图象可知，，可得，
则，
设，所以，
因为，所以，所以，
所以，即，
即的取值范围是.
故答案为：.

【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和指数函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.
43．
【解析】
【分析】
函数的零点个数，令，，转化函数与的交点个数，在同一平面直角坐标系中画出函数图象即可解答.
【详解】
解：函数的零点，即方程的解，令，
也就是函数与的交点，在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示，由图可知与有个交点，即有个零点.

故答案为：
【点睛】
本题考查函数的零点，体现了转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题.
44．
【解析】
【分析】
作出函数和函数在区间上的图象，由图象得出为增函数且，由此可解出实数的取值范围.
【详解】
如下图所示：

由上图所示，当时，不等式恒成立，则函数为增函数，且有，所以，解得，因此，实数的取值范围是，
故答案为.
【点睛】
本题考查对数不等式的求解，在利用数形结合思想求解时，要充分分析出函数的单调性，并抓住一些关键点进行分析，列出不等式组进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
45．
【解析】
【分析】
作f(x)图像，y＝f(x)与y＝t的交点横坐标即为g(x)零点，数形结合求出零点的范围和关系即可.
【详解】
f(x)如图：

画图可得，，，＋＝6，
由得，＝1．
因此＝，
∵y＝(6－)在(2，)上单调递增，
∴y∈．
故答案为：
46．
【解析】
【分析】
先找到临界值，再解不等式即可.
【详解】
由题意，知，所以.
故答案为：
47．
【解析】
【分析】
根据对数型函数的性质，结合幂函数的定义进行求解即可.
【详解】
因为，所以，设幂函数，
因为幂函数 的图象经过，
所以，
因此，
故答案为：
48．（1）（2），（3）
【解析】
（1）由对数函数图象过定点的性质可知时，即可求出函数图象所过定点；
（2）根据函数是偶函数可求出b,c，再根据函数图象过点A可求出a；
（3）由题意可转化为，利用对数函数与二次函数求函数的最值即可求解.
【详解】
（1）当时，即时，由对数函数的性质可知，
，
所以函数过定点.
（2）因为偶函数，，
所以，
解得，
又函数图象过点，
所以，解得.
（3）由（2）知，，
因为对任意的，总存在，使得成立，
所以
当时，，
当时，，
若时，有最小值，
所以，解得，
若时，有最小值，
所以，解得，
所以，
综上，的取值范围为
【点睛】
关键点点睛：对于对任意的，总存在，使得成立可转化为研究与的最值之间的关系，一定要注意对量词的理解，分清任意，存在对不等式成立的影响.
49．（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析.
【解析】
【分析】
根据函数解析式，由对数函数的性质求定义域区间，画出其大致图象，进而判断单调区间和奇偶性.
【详解】
（1）由知：定义域为，图象如下：

∴由图知：函数在上单调递增，且为非奇非偶函数.
（2）由知：定义域为，图象如下：

∴由图知：函数在上单调递增，且为非奇非偶函数.
（3）由知：：定义域为，图象如下：

∴由图知：函数在上单调递增，在上单调递减，且偶函数.
50．（1）图见解析，(0，)∪(10，＋∞)；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由的图象，利用翻折变换画出草图，再令，得到或，写出的x的集合.
（2）不妨设，由，得到，利用对数的运算求解.
【详解】
（1）画出函数的草图，如图所示：

令，则,即，可得或．
故满足的x的集合是(0，)∪(10，＋∞)；
（2）因为，且，
不妨设，则，
所以，
即，，
所以.
51．（1）为奇函数；作图见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先求得函数的定义域，然后利用定义判定函数为奇函数，并利用分离常数法，结合反比例函数和对数函数的单调性，判断函数的单调性和变化趋势，进而可画出大致图象；
（2）令，利用对数函数的性质将函数有两个零点等价转化为方程在有两个不等实根，令
利用二次函数的图象和根的分布条件得到关于k的方程组，求解即得.也可分离参数得到，令,转化为，并结合对勾函数的单调性分析各段单调性和值域，进而得到实数的取值范围．
【详解】
解：（1）由得定义域为，
，
所以为奇函数．
在定义域内单调递增，


（图象过原点，端点值正确，单调性正确给，不要求列表描点，不要求证明单调性）
（2）令，则,令
当时，函数有两个零点等价于方程
在有两个不等实根，
法一：
依题意得，解得，
令函数，开口向上,
所以,即，
解得,
所以当时，函数有两个零点．
法二
由式可得，即
令,

当时，单调递增，此时
当时，单调递减，此时
所以当时，函数有两个零点．
52．（1）；（2），；（3）.
【解析】
（1）要使函数有意义，则，解得即可，
（2）依题意可得，令真数等于，即可求出函数过定点；
（3）令，，求出的值域，由，可得，即可求出的值；
【详解】
解：（1）因为，所以，解得，所以函数的定义域.
（2）因为，
所以，
当时，即时，，
函数图像所经过的定点，.
（3）令，，则，所以，
若函数的最大值为2，
因为，则时最大值为2，
即，则，故.