微专题 共线向量的坐标表示及应用 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 共线向量的坐标表示及应用 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共25页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。
微专题：共线向量的坐标表示及应用
【考点梳理】
平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.



【题型归纳】
题型一：由坐标判断向量是否共线
1．如果平面向量，.那么下列结论中正确的是（       ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在上的投影向量的模为
2．已知向量，，则与（       ）
A．平行且同向 B．平行且反向 C．垂直 D．不垂直也不平行
3．设向量，，则下列正确的是（       ）
A． B．
C．与的夹角为 D．

题型二：由向量共线（平行）求参数
4．设x，，向量，，，且，，则（       ）
A． B．1 C．2 D．0
5．若，，且，则实数的值为（     ）
A． B． C． D．
6．已知向量，，，若，则（       ）
A． B． C． D．

题型三：由坐标解决三点共线问题
7．已知，则（       ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
8．已知，且三点共线，则（       ）
A． B． C． D．
9．已知点，且三点共线，则（       ）
A． B． C． D．


题型四：由坐标解决线段平行和长度问题
10．顺次连接点，，，所构成的图形是（       ）
A．等腰梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
11．已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（       ）
A． B．或
C．或 D．
12．已知平行四边形ABCD的三个顶点，，则第四个顶点D的坐标为（       ）
A． B． C． D．




【双基达标】
13．已知向量=(1，2)，=(m，m+3)，若，则m=（       ）
A．-7 B．-3 C．3 D．7
14．已知、、三点共线，则x的值为（       ）
A．-7 B．-8 C．-9 D．-10
15．设向量，，如果向量与平行，那么的值为（       ）
A． B． C． D．
16．已知公比为q的等比数列中，，平面向量，，则下列与共线的是（       ）
A． B． C． D．
17．若向量，，则（       ）
A． B．
C． D．
18．设向量，，，且与平行，则实数的值是（       ）
A．4 B． C． D．不存在
19．已知向量，则下列说法不正确的是（       ）
A．若，则的值为 B．若，则的值为2
C．的最小值为1 D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是
20．若向量，则向量与的夹角为锐角的充要条件是（       ）
A． B． C． D．
21．已知，，且，则锐角等于（       ）
A．45° B．30° C．60° D．30°或60°
22．已知，若B、C、D点共线，则实数a的值为（       ）
A． B． C． D．
23．经过双曲线右焦点的直线与的两条渐近线，分别交于，两点，若，且，则该双曲线的离心率等于（     ）
A． B． C． D．
24．若向量，，与共线，则实数k的值为（       ）
A． B． C．1 D．2
25．已知向量，，若，则（       ）
A． B． C． D．
26．已知向量＝(3，5)，＝(9，7)，则（       ）
A．⊥ B．// C．//(＋) D．(2－)⊥(＋)
27．已知＝(1，2)，＝(2，－2)，＝(λ，－1)，，则λ等于（       ）
A．－2 B．－1 C．－ D．
28．已知，且，则=（       ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
29．已知，，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
30．已知向量，，若与反向共线，则的值为（       ）
A．0 B．48 C． D．

【高分突破】
一、 单选题
31．已知向量，，若，则（       ）
A． B． C．1 D．2
32．若向量＝(1,2,0)，＝(－2,0,1)，则（　　）
A．cos〈〉＝ B．
C． D．
33．已知向量，，，若满足，，则向量的坐标为（       ）
A． B． C． D．
34．已知，是平面内两个不共线的向量，，，，，则，，三点共线的充要条件是（       ）
A． B． C． D．
35．已知点，，则与同方向的单位向量为（       ）
A． B． C． D．
36．已知平面向量＝(1，2)，＝(－2，m)，且∥，则2＋3＝(　　)
A．(－4，－8) B．(－8，－16)
C．(4，8) D．(8，16)
二、多选题
37．下列两个向量，不能作为基底向量的是（       ）
A． B．
C． D．
38．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（       ）
A．若，则
B．，若与平行，则
C．非零向量和满足，则与的夹角为
D．点，与向量同方向的单位向量为
39．已知向量，，，其中均为正数，且，下列说法正确的是（       ）
A．与的夹角为钝角
B．向量在方向上的投影数量为
C．
D．的最大值为
40．已知向量，则（       ）
A． B．
C． D．
三、填空题
41．已知向量，满足，，，则实数的值为______．
42．已知向量，点，，记为在向量上的投影向量，若，则_________．
43．已知，向量，，且，则θ＝______________．
44．已知向量，向量，若，则实数___________.
45．已知向量，若，则___________.
46．已知，，，若，则__________.
四、解答题
47．在中，角、、的对边分别为、、，已知.
（1）若的面积为，求的值；
（2）设，，且，求的值.
48．已知.
（1）当为何值时，与共线？
（2）当为何值时，与垂直？
（3）当为何值时，与的夹角为锐角？
49．已知向量，．
(1)若，试研究函数在区间上的单调性；
(2)若，且，试求m的值．
50．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知向量、满足：，，且．
（1）求角；
（2）若是锐角三角形，且，求的取值范围．
51．已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．
(1)若∥，求 的值；
(2)若⊥（＋2），求实数k的值；
(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．

参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由向量模长的坐标公式、向量共线的坐标公式、向量夹角的坐标公式以及向量的投影求解即可.
【详解】
对于A，，则，A错误；
对于B，，则不平行，B错误；
对于C，，又，则，C错误；
对于D，在上的投影向量的模为，D正确.
故选：D.
2．B
【解析】
【分析】
由两个向量的坐标得到他们之间的倍数关系，进而判断答案.
【详解】
根据题意可知，，即平行且反向.
故选：B.
3．D
【解析】
【分析】
对于A：直接求出，即可判断；对于B：先求出，即可判断出不成立；对于C：利用向量的夹角公式求出，即可判断；对于D：先求出，即可判断出.
【详解】
向量，.
对于A：，，所以.故A错误；
对于B：，，所以，所以不成立.故B错误；
对于C：因为，且，
所以.故C错误；
对于D：，，所以，所以.故D正确.
故选：D
4．D
【解析】
【分析】
由题知，进而解方程即可得答案.
【详解】
解：因为向量，，，且，，
所以，解得，
所以.
故选：D
5．B
【解析】
【分析】
由向量平行的坐标运算可直接构造方程求得结果.
【详解】
，，解得：.
故选：B.
6．B
【解析】
【分析】
首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】
解：因为，，，
所以，又，
所以，解得.
故选：B
7．D
【解析】
【分析】
利用三点共线时，由三点确定的两个向量共线进行判断即可
【详解】
对于A，因为，且，所以与不共线，所以A，B，C三点不共线，所以A错误，
对于B，因为，所以，
因为，所以与不共线，所以A，B，D三点不共线，所以B错误，
对于C，因为，且，所以与不共线，所以B，C，D三点不共线，所以C错误，
对于D，因为，所以，因为，所以，所以与共线，因为与有公共端点，所以A，C，D三点共线，所以D正确，
故选：D
8．A
【解析】
【分析】
利用向量的共线定理的坐标运算即可求解.
【详解】
由，得,
因为三点共线，所以，即，解得.
所以.
故选：A.
9．B
【解析】
【分析】
根据三点共线，得与共线，由向量的共线定理即可求解.
【详解】
由，得，，
因为三点共线，所以，
所以，解得.
故选：B.
10．B
【解析】
【分析】
由题可得，利用共线及数量积即得.
【详解】
因为，，，,
所以，，
∴，且,与不垂直，
所以四边形是平行四边形.
故选：B.
11．C
【解析】
【分析】
求出的坐标，除以，再考虑方向可得．
【详解】
由得，即，，
，
，
，
与同向的单位向量为，反向的单位向量为．
故选：C．
12．B
【解析】
【分析】
设，由平行四边形ABCD可知，再利用坐标相等即可求解.
【详解】
设，由平行四边形ABCD可知
又，，，，
，解得，即D点的坐标为
故选：B
13．C
【解析】
【分析】
根据两个向量平行的坐标表示列方程，解方程求得的值.
【详解】
由于，所以，解得.
故选：C
14．B
【解析】
【分析】
依题意可得，再根据平面向量共线的坐标表示计算可得；
【详解】
解：因为、、
所以，，因为、、三点共线，所以，即，解得
故选：B
15．D
【解析】
【分析】
求出与的坐标，根据两向量平行求出的值，即得解.
【详解】
解：，
所以.
所以.
故选：D
16．D
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出等比数列公比q，再结合向量坐标运算及共线向量即可判断作答.
【详解】
等比数列公比为q，而，则，解得，
，，则，
对于A，，因，则A不是；
对于B，，因，则B不是；
对于C，，因，则C不是；
对于D，，因，则D是.
故选：D
17．B
【解析】
【分析】
根据向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量平行的坐标表示可判断B；根据向量数量积的坐标表示可判断C；根据向量模的坐标表示可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
因为向量，，
对于A：若，则，解得：，所以不存在，使得，故选项A不正确；
对于B：若，则，可得，所以存在，使得，故选项B正确；
对于C：令可得：，所以存在使得，故不成立，故选项C不正确，
对于D：，，若，则，此方程无解，所以不存在，使得，故选项D不正确；
故选：B.
18．A
【解析】
【分析】
利用向量共线的条件即可求得.
【详解】
因为，，所以.
又，，且与平行，
所以，
解得：=4.
故选：A.
19．D
【解析】
【分析】
根据向量平行、模、夹角等知识确定说法不正确的选项.
【详解】
A选项，若，则，A选项说法正确.
B选项，若，两边平方并化简得，即，B选项说法正确.
C选项，，当时，有最小值为，C选项说法正确.
D选项，若与的夹角为钝角，则，D选项说法不正确.
故选：D
20．D
【解析】
【分析】
依题意可得且与不共线，根据向量数量积的坐标表示及向量共线的充要条件得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：因为且向量与的夹角为锐角，所以且与不共线，所以，解得且，所以；
故选：D
21．A
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标表示，结合三角函数，即可求得锐角.
【详解】
因为，所以，
得，即，因为为锐角，
所以，即.
故选：A
22．D
【解析】
【分析】
根据题意，求出向量的坐标，分析可得，由向量平行的坐标表示可得答案．
【详解】
根据题意，已知，，则，
若、、点共线，则，则有，解得：，
故选：D．
23．A
【解析】
【分析】
求双曲线的渐近线，并求直线与渐近线交点坐标，再由向量方程可得解.
【详解】
双曲线渐近线为：，焦点，
设直线方程：，

则由列方程组可得；
同理可得；
因为，所以，
得，，而；
因为，所以，
所以.
故选：A.
24．B
【解析】
【分析】
由题意，结合平面向量线性运算的坐标表示可得，，再由平面向量共线的性质即可得解.
【详解】
∵向量，，
∴，，
又与共线，∴，解得
故选：B
【点睛】
本题考查了平面向量线性运算的坐标表示及平面向量共线的性质，考查了运算求解能力，属于基础题.
25．D
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算求出，利用平行向量的坐标表示计算即可.
【详解】
因为，，
所以，
因为，
所以，解得．
故选：D
26．D
【解析】
【分析】
A.，所以两个向量不垂直，所以该选项错误；
B.，所以两向量不平行，所以该选项错误；
C.，所以该选项错误.
D. ,所以该选项正确.
【详解】
A.，所以两个向量不垂直，所以该选项错误；
B.，所以两向量不平行，所以该选项错误；
C.，，所以该选项错误.
D.由条件得，，
∴，
所以，所以该选项正确.
故选：D．
27．A
【解析】
【分析】
利用两个向量与平行的坐标公式：求解.
【详解】
∵＝(1，2)，＝(2，－2)，∴＝(4，2)，
又＝(λ，－1)，，∴2λ＋4＝0，解得λ＝－2，
故选：A
28．A
【解析】
先求出和的坐标，利用向量共线的坐标表示列方程即可求解.
【详解】
，，
因为，所以，解得：，
故选：A
29．A
【解析】
由向量平行的坐标表示可得若，则或，再由充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】
由可得，解得或，
所以“”是“” 充分不必要条件.
故选：A.
30．C
【解析】
【分析】
由向量反向共线求得，再应用向量线性运算及模长的表示求.
【详解】
由题意，得，
又与反向共线，故，此时，
故.
故选：C.
31．B
【解析】
【分析】
根据向量坐标运算，向量平行可得到，从而解出的值
【详解】
因为，所以两个向量的坐标满足，即：，得：
故选：B
32．D
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标进行运算可得答案.
【详解】
∵向量＝(1,2,0)，＝(－2,0,1)，
∴，，
1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2.
∴.
易知A，B不正确，D正确，C显然也不正确.
故选：D
33．D
【解析】
【分析】
根据向量共线的坐标表示及向量垂直的坐标表示，联立方程组求解即可得答案.
【详解】
解：因为向量，，，
所以，
又，，
所以，解得，
所以向量的坐标为，
故选：D.
34．C
【解析】
【分析】
利用向量共线的充要条件有且，即可得答案.
【详解】
由，，三点共线的充要条件是且，
所以，故.
故选：C
35．A
【解析】
【分析】
列方程即可求得与同方向的单位向量.
【详解】
，设与同方向的单位向量为
则，解之得或
当时，所求向量为，向量，符合题意；
当时，所求向量为，向量，不符合题意，舍去.
故选：A
36．A
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标表示求出m，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解.
【详解】
∵∥，∴1×m＝2×(－2)，∴m＝－4，∴＝(－2，－4)，
∴2＋3＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
故选：A.
37．AC
【解析】
【分析】
根据两个向量不平行能作为基底确定正确选项.
【详解】
A选项，零向量和任意向量平行，所以不能作为基底.
B选项，不平行，可以作为基底.
C选项，，所以平行，不能作为基底.
D选项，不平行，可以作为基底.
故选：AC
38．BCD
【解析】
【分析】
根据向量的数量积、平行、几何意义、单位向量这些知识对每一个选项进行判断即可.
【详解】
对于A，若且，可满足条件，但，故A不正确；
对于B，由条件，若这两向量平行，有，解得，故B正确；
对于C，由条件可知，以向量和为边对应的四边形为一个角是的菱形，则与的夹角为，故C正确；
对于D，可得，因此与同方向的单位向量为，故D正确.
故选：BCD.
39．CD
【解析】
【分析】
由向量夹角公式和投影的计算方法可判断AB正误；利用向量共线的坐标表示可知C正确，结合基本不等式可知D正确.
【详解】
对于A，，，
为锐角，A错误；
对于B，向量在方向上的投影数量为：，B错误；
对于C，，又，，即，C正确；
对于D，均为正数，又，（当且仅当时取等号），，即的最大值为，D正确.
故选：CD.
40．AD
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算和向量的模的计算可得选项.
【详解】
因为，所以，所以，所以，故A正确，B不正确；
又，，，所以，故D正确，C不正确，
故选：AD.
41．或
【解析】
【分析】
利用向量平行的充要条件即可求解.
【详解】
因为，，
所以，即，
解得或.
经检验或，符合题意.
所以或
故答案为：或.
42．
【解析】
【分析】
先求得在向量上的投影，再根据为在向量上的投影，求得的坐标，然后由求解.
【详解】
因为点，，
所以，又向量，
所以在向量上的投影，
所以
因为，
所以，
故答案为：
43．
【解析】
【分析】
由向量共线的坐标运算可得答案.
【详解】
因为，所以，
所以，
因为，，
所以，
因为，所以， ．
故答案为：.
44．
【解析】
【分析】
利用共线向量的坐标表示可求得实数的值.
【详解】
因为，所以，所以.
故答案为：.
45．
【解析】
【分析】
由向量平行的坐标表示计算．
【详解】
因为向量，所以，
因为，所以，
所以，所以.
故答案为：．
46．
【解析】
【分析】
利用平面向量的坐标的线性运算求得，利用向量平行的坐标表示得到方程求得的值，进而利用向量的模的坐标公式求得结论.
【详解】
∵，，∴，
又∵，，
∴,∴,∴,
∴，
故答案为：
47．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数的基本关系求得的值，利用三角形的面积公式可求得的值，再利用平面向量数量积的定义可求得的值；
（2）由结合二倍角公式可求得，求得和的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.
【详解】
（1），，则，
的面积为，.
因此，；
（2），，且，所以，，即，.
，.
，
，
因此，.
【点睛】
本题考查解三角形的综合问题，考查三角形面积公式的应用、平面向量数量积的计算、平面向量共线的坐标表示以及利用三角恒等变换思想求值，考查计算能力，属于中等题.
48．（1）；（2）；（3）且.
【解析】
【分析】
（1）利用向量共线的坐标表示：即可求解.
（2）利用向量垂直的坐标表示：即可求解.
（3）利用向量数量积的坐标表示，只需且不共线即可求解.
【详解】
解：（1）.
与平行，，解得.
（2）与垂直，
，即，
（3）由题意可得且不共线，解得且.
49．(1)时，函数单调递增，时，函数单调递减；(2) .
【解析】
【分析】
(1)运用向量的数量积，再把所得函数解析式化简为的形式，再结合区间上的单调性分类讨论；(2)由，通过变形得m与的关系式，而已知，则m的值即可求得．
【详解】
(1)当时，
，由，得．
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减．
(2)由可得．
由，可得（若，则（），此时，与条件矛盾）．
从而有，即，两边同除以，可得，∴．
50．（1）或；（2）.
【解析】
【分析】
(1)利用向量共线的坐标表示建立关系，再借助正弦定理化边为角即可得解；
(2)由已知条件及(1)的结论，求出角B的范围，再借助正弦定理用角B的函数表示出边b，c即可作答.
【详解】
（1）因，，且，
于是有，即，
在中，由正弦定理得：，而，
于是得，又，
所以或；
（2）因是锐角三角形，由(1)知，，
于是有，且，从而得，
而，由正弦定理得，则，，
则有，
而，则，即，
所以的取值范围．
51．(1)3；
(2)k＝；
(3)k＜且k≠－6.
【解析】
【分析】
（1）解方程1×k－2×＝0即得解；
（2）解方程1×＋2×＝0即得解；
（3）解不等式1×＋2×k＜0且k≠－6，即得解.
(1)
解：因为向量＝（1，2），＝（－3，k），且∥，
所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，
所以＝＝3．
(2)
解：因为＋2＝，且⊥，
所以1×＋2×＝0，解得k＝．
(3)
解：因为与的夹角是钝角，则＜0且与不共线．
即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．