微专题 函数的单调性 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 函数的单调性 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共40页。
微专题：函数的单调性
【考点梳理】
1. 函数的单调性
(1)增函数与减函数

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，
当x10，f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)也是增(减函数)；若f(x)0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当af(b)，所以f(x)在R上是增函数.
故选：A.
45．D
【解析】
【分析】
先求出抛物线的对称轴，而抛物线的开口向下，且在区间上单调递增，所以，从而可求出的取值范围
【详解】
解：函数的图像的对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：D
46．D
【解析】
【分析】
根据条件判断函数的单调性，然后利用单调性进行比较即可．
【详解】
解：对任意，，均有成立，
此时函数在区间为减函数，
是偶函数，
当时，为增函数，
，，，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
即.
故选：D．
47．AB
【解析】
【分析】
对于A：由函数的定义域为R，，可判断；
对于B：当时，，当时，，由或，可判断；
对于C：由在单调递增可判断；
对于D：令，解方程可判断.
【详解】
解：对于A：因为函数的定义域为R，且，所以函数是奇函数，所以的图像关于原点对称，故A正确；
对于B：当时，，
当时，，又或，所以或，
综上得的值域为，故B正确；
对于C：因为在单调递增，所以由B选项解析得， 在区间上是减函数，故C不正确；
对于D：令，即，解得，故D不正确，
故选：AB.
48．CD
【解析】
【分析】
首先判断在上为增函数，将不等式转化为，即对任意的[t，t+1]恒成立，利用一次函数的单调性，解不等式可得所求范围.
【详解】
，
当时，，在递增，
当时，，在上递增，
且，为连续函数，
所以在上为增函数，且，
由对任意的[t，t+1]，不等式恒成立，
即，
即，所以对任意的[t，t+1]恒成立，
由在[t，t+1]上递增，
可得的最大值为，
即，解得.
故选：CD
【点睛】
关键点点睛：本题考查了函数的单调性的判断以及应用，解不等式以及不等式恒成立问题的解法，解题的关键是将不等式转化为对任意的[t，t+1]恒成立，考查了转化思想和运算求解能力.
49．BC
【解析】
计算得出判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项C正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，选项D不正确，即可求得结果.
【详解】
根据题意知，.
∵，
，
，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
，
∴是奇函数，B正确；
在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；
，，，
，，D错误.
故选：BC.
【点睛】
关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数，然后才会对函数变形，并作出判断.
50．ABD
【解析】
【分析】
结合题意作出函数的图象，进而数形结合求解即可.
【详解】
解：根据函数与，，画出函数的图象，如图．
由图象可知，函数关于y轴对称，所以A项正确；
函数的图象与x轴有三个交点，所以方程有三个解，所以B项正确；
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以C项错误，D项正确．
故选：ABD

51．
【解析】
【分析】
分和两种情况讨论x的范围，根据函数的单调性可得到答案.
【详解】
因为是偶函数，且，所以，
又在上是减函数，所以在上是增函数，
①当时，由得，又由于在上为减函数，且，所以，得；
②当时，由得，又，在上是增函数，所以，所以.
综上，原不等式的解集为：.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且.偶函数在对称区间上的单调性相反，且..
52．
【解析】
【分析】
根据函数单调性的定义，结合偶函数的性质进行求解即可.
【详解】
因为当时，不等式恒成立，所以有，即
，所以函数在上单调递增，
因为函数的图象经过点，所以，
因此由，可得，函数是偶函数，且在在上单调递增，所以由，
故答案为：
53．
【解析】
利用函数的单调性分别求得函数在区间、，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.
【详解】
当时，；
当时，此时函数单调递增，此时.
由于函数在区间上的值域为，所以.
，
令，则函数在上单调递增，且，
所以，不等式的解为.
解不等式组得.
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用分段函数的值域求参数的取值范围，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
54．
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性. 等价于，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集.
【详解】
由题知，，
所以恒成立，即．
又因为奇函数的定义域关于原点对称，
所以，解得，
因此，，
由单调递增，单调递增，
易知函数单调递增，
故等价于
等价于
即，解得．
故答案为：
55．
【解析】
【分析】
根据解析式可判断是定义在上的奇函数且在上单调递增，转化不等式即可求解.
【详解】
，，
是定义在上的奇函数，且显然在上单调递增，
由可得，
，解得.
故答案为：.
56．
【解析】
【分析】
设，由已知不等式得函数是增函数，即得是增函数，又由函数表达式得函数为奇函数，不等式转化为的函数不等式，利用奇偶性变形，再由单调性可解．
【详解】
设，
因为对任意的，恒有，
所以函数在上为增函数，则在上为增函数，
又，而，所以，
所以为奇函数，综上，为奇函数，且在上为增函数，
所以不等式等价于，
即，亦即，
可得，解得．
故答案为：．
57．（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，将代入函数解析式，求解即可；
（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；
（3）利用函数单调性的定义判断并证明即可．
【详解】
（1）根据题意，函数，且，
则，解得；
（2）由（1）可知，其定义域为，关于原点对称，
又由，
所以是奇函数；
（3）在上是单调递增函数．
证明如下：
设，则，
因为，
所以，，则，即，
所以在上是单调递增函数．
58．（1）；（2）图见详解，单调区间为：单调递增区间为：，，单调递减区间为：，.
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数的性质，当时，，当时，，即可得解；
（2）根据二次函数的图像与性质，直接画图像，并求出单调性.
【详解】
（1）当时，，
当时，，，
所以，
（2）的图像为：

单调递增区间为：，，
单调递减区间为：，.
59．（1）证明见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）令，，由此可求出答案；
（2）令，可求得，再令，，可求得；
（3）先求出函数在上的单调性，根据条件将原不等式化为，结合单调性即可求出答案．
【详解】
解：（1）令，，则，
∴；
（2）∵，，
∴；
（3）设、且，于是，
∴，
∴在上为增函数，
又∵，
∴，解得，
∴原不等式的解集为．
60．（1）；（2）.
【解析】
（1）由，得到函数在区间为单调递增函数，即求解.
（2）根据函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，将不等式，转化为求解.
【详解】
（1）由题意，函数（）的图像关于轴对称，且，
所以在区间为单调递增函数，
所以，解得，
由，。
又函数的图像关于轴对称，
所以为偶数，
所以，
所以.
（2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，
所以不等式，等价于，
解得或，
所以实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查幂函数的图象和性质以及函数奇偶性和单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
61．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先由函数奇偶性得；再设，则，根据已知函数解析式，结合奇函数的性质，即可求出结果；
（Ⅱ）先由题意，将不等式化为，再由函数单调性，得到，推出，求出，即可得出结果.
【详解】
（Ⅰ）由题意知，.
设，则，故，
又因为是奇函数，故，
所以.
（Ⅱ）由，不等式，等价于，
因为，所以其在上是增函数，
∴，即，
∵，∴当时，，
得，故实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查由函数奇偶性求函数解析式，由不等式恒成立求参数范围，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型.