微专题 等差数列的单调性与最值 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 等差数列的单调性与最值 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共28页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。
微专题：等差数列的单调性与最值
【考点梳理】
求等差数列前n项和最值的主要方法：①利用等差数列的基本性质或单调性求出其正负转折项，便可求得和的最值；②将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作关于n的二次函数，根据二次函数的性质求最值. 无论用哪种方法，都要注意an＝0的情形.



【题型归纳】
题型一：等差数列的单调性
1．已知是等差数列{}的前n项和，且，则（       ）
A．数列{}为递增数列 B． C．的最大值为 D．
2．等差数列的前项和为，若，则下列结论错误的是（       ）
A． B．
C．数列是递减数列 D．数列是递增数列
3．在等差数列中，，，则使数列的前n项和成立的最大正整数n=（       ）
A．2021 B．2022 C．4041 D．4042


题型二：求等差数列中的最大（小）项
4．等差数列的前项和为，若，，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（       ）．
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．无法确定
5．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（       ）
A．4 B．5
C．4或5 D．5或6
6．设等差数列的前项和为，下列条件中，①；②；③且，使得对任意正整数都成立的是（       ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③


【双基达标】
7．已知等差数列的公差d＞0，则下列四个命题：
①数列是递增数列；     ②数列是递增数列；
③数列是递增数列； ④数列是递增数列．
其中正确命题的个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知数列为等差数列，若，，则使的前项和取最大值的的值为（       ）
A．9 B．10 C．19 D．20
9．设数列是等差数列，是其前项和，且，，则下列结论中错误的是（       ）
A． B． C． D．与均为的最大值
10．等差数列是递增数列，且公差为，满足，前项和为，下列选项错误的是（       ）
A． B．
C．当时最小 D．时的最小值为
11．设是等差数列.下列结论中正确的是（       ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
12．已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（       ）
A． B． C． D．
13．已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知函数，各项均不相等的数列满足，记.①若，则；②若是等差数列，且，则对恒成立.关于上述两个命题，以下说法正确的是（       ）
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对
15．对于无穷数列，下列命题不正确的是（       ）
A．若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数数列
B．若等差数列满足：，则数列是常数数列
C．若等比数列满足：，则数列是常数数列
D．若各项为正数的等比数列满足：则数列是常数数列
16．等差数列的公差为d，前n项和，则“”是“数列为单调递增数列”的（       ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
17．已知数列是公差不为零的等差数列，前项和为，则“，”是“数列是递增数列”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
18．已知等差数列为其前项和，且，且，则（       ）
A．36 B．117 C． D．13
19．已知点，是等差数列图象上的两点，则数列为（       ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定
20．设为平面内异于P､A､B三点的任一点,且当P､A､B三点共线时,数列为(       )
A．递增数列 B．递减数列 C．常数数列 D．摆动数列
21．给出下列四个命题：
①如果，则；
②命题“，均有”的否定是“，使得”；
③在等差数列中，已知公差，那么数列是递增数列；
④是直线与直线平行的充分必要条件.
其中正确的命题个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．设等差数列的前项和为，若，，则当取得最大值时，的值为（       ）
A．7 B．8 C．9 D．8或9
23．设等差数列的前n项和为，满足，，则（       ）
A． B．的最大值为
C． D．满足的最大自然数n的值为23
24．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
25．在等差数列中，为的前n项和，，，则无法判断正负的是（       ）
A． B． C． D．

【高分突破】
一、 单选题
26．设为等差数列的前项和，.若，则（       ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最小值是
27．等差数列的前项和为，若，，则数列的通项公式可能是（       ）
A． B． C． D．
28．已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（ ）
A． B． C． D．与均为的最小值
29．首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（       ）
A．d>3 B．d C．3≤d D．30， ，
所以在中最大的是．
故选C．
【点睛】
本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．属中档题.
31．AD
【解析】
【分析】
对于A，数列是递增数列，故A正确；
对于B，不能判断数列的单调性，故B错误；
对于C，数列的通项公式为，显然当时，数列是常数列，故C错误；
对于D，数列的通项公式为，而，所以数列是递增数列，故D正确．
【详解】
对于A，因为，所以数列是递增数列，故A正确．
对于B，因为数列是等差数列，所以．因此可以把看成关于的二次函数，能确定图象的开口方向，但是不能确定对称轴的位置，故不能判断数列的单调性，故B错误．
对于C，因为数列是等差数列，所以．因此数列的通项公式为，显然当时，数列是常数列，故C错误．
对于D，因为数列是等差数列，所以．因此数列的通项公式为，而，所以数列是递增数列，故D正确．
故选：AD．
32．ABC
【解析】
【分析】
根据题意，可得2a1+29d＝0，根据a1＞0，可判断A的正误；根据d＜0，可得a15＞a16，可判断B、C的正误；分别求得，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】
解：设等差数列{an}的公差为d，∵S10＝S20，
∴10a1+45d＝20a1+190d，
∴2a1+29d＝0，
∵a1＞0，∴d＜0，故A正确；
∴a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0，
∵d＜0，∴a15＞a16，
∴a15＞0，a16＜0，故B正确；
∴Sn≤S15，故C正确；
又，，
∴当且仅当Sn＜0时，n≥31，故D错误.
故选：ABC．
33．ABD
【解析】
【分析】
由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.
【详解】
得，
∴，
即数列是首项为，公差为1的等差数列，
∴，
∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，
所以易知ABD正确，
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.
34．ABD
【解析】
转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n项和公式逐项判断即可得解.
【详解】
因为，所以，即，
因为数列递减，所以，则，，故A正确；
所以最大，故B正确；
所以，故C错误；
所以，故D正确.
故选：ABD.
35．1
【解析】
【分析】
由等差数列各项均为正数可判定该数列为递增数列，结合等差数列的通项公式和前和公式，可判定数列为递减数列，进而可得到该数列的最大项.
【详解】
由题，等差数列的各项均为正数，所以，，
且，
所以数列是递增数列，
又，
所以，
即是递减数列，
所以当时，得到数列的最大项为，
故答案为：1
36．10
【解析】
【分析】
根据题意判断等差数列{}的，，，由此可判断数列的项的增减情况，进而确定答案.
【详解】
由题意得：，∴，
，∴，，
∴，故等差数列{}为递减数列，即公差为负数，
因此的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，
由于，∴{||}最小的项是第10项，
故答案为：10
37．
【解析】
【分析】
首先根据题意求出，再根据等差数列的前n项即可求解.
【详解】
解：由题意可知，，解得，又，则，
所以，.由，得，
解得或(舍)，故
故答案为：20.
38．-1
【解析】
【分析】
根据数列是以首项为31，公差为－4的等差数列，得到数列的通项公式求解.
【详解】
数列是以首项为31，公差为－4的等差数列，
所以数列的通项公式为an＝35－4n.
则当n≤8时an>0；当n≥9时an