考点精讲

要点一、有理数的相关概念

1．有理数的分类：

（1）按定义分类：                                    （2）按性质分类：

特别说明：（1）用正数、负数表示相反意义的量；

（2）有理数“0”的作用：

考点解读

1、有理数的基本概念

(1)正数和负数

定义：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。

0既不是正数，也不是负数。

(2)有理数

正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。

2、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

3、相反数

代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。

一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。

a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。

4、绝对值

定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

即：如果a >0，那么|a|=a；

    如果a =0，那么|a|=0；

    如果a <0，那么|a|=-a。

a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a≥0。

5、倒数

定义：乘积是1的两个数互为倒数。即：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a =±1。

6、数的大小比较

法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。

7、乘方

定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。

如：读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数。

性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。

8、科学记数法

定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。

用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数。

用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a×10-n）时，n是从小数点后开始到第一个不是0的数为止的数的个数。

9、近似数

一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；···。

10、有理数的加法

加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。

加法运算律：①交换律 a+b=b+a； ②结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。

11、有理数的减法

减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a -b= a +(-b)。

12、有理数的乘法

乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。

乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。

13、有理数的除法

除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：。

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0 的数，都得0。

14、有理数的混合运算

混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

考点突破

1．（2022·河北承德·七年级期末）如图，已知数轴上两点表示的数分别是，则计算正确的是（       ）

A． B． C． D．

2．（2020·河北·石家庄市栾城区教育局教研室七年级期中）某排球队检测排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数.下面是检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果，其中质量最接近标准的一个是（       ）

A． B． C． D．

3．（2021·河北·邯郸市汉光中学七年级期中）下列各数中，是负整数的是（　　）

A．﹣（﹣2） B．﹣23 C．（﹣2）2 D．﹣|﹣0.1|

4．（2021·河北·邯郸市汉光中学七年级期中）若，且，则的值是（       ）

A．2 B． C．8或 D．2或

5．（2022·河北石家庄·七年级期末）的相反数是（       ）

A．2021 B． C． D．

6．（2021·河北·三模） 如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，那么原点的位置可能是（       ）

A．线段AM上，且靠近点A B．线段AM上，且靠近点M

C．线段上，且靠近点B D．线段上，且靠近点M

7．（2021·河北·石家庄市第四中学七年级阶段练习）点M，N，P和原点O在数轴上的位置如图所示，点M，N，P表示的有理数为a，b，c（对应顺序暂不确定）．如果bc＜0，b+c＞0，ab＞ac，那么表示数c的点为（　　　）

A．点M B．点N C．点P D．点O

8．（2021·河北·石家庄市第四十二中学三模）一个光点沿数轴从点向右移动了个单位长度到达点，若点表示的数是，则点所表示的数是（       ）

A． B． C． D．

9．（2021·河北唐山·七年级期中）若a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．

10．（2022·河北·石家庄外国语学校七年级期末）如图，点A是数轴上一点，则点A表示的数可能为（　　）

A．﹣1.5 B．﹣2.5 C．2.5 D．1.5

11．（2021·河北秦皇岛·七年级期中）的绝对值是________；的倒数是________；的相反数是________．

12．（2021·河北唐山·七年级期中）数轴上A，B两点表示的数分别为﹣6，5，点C是线段AB上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的B′处，若B′A＝2，则点C表示的数是___________．

13．（2021·河北·雄县板东中学七年级阶段练习）用“”或“”符号填空：______．

14．（2020·河北石家庄·七年级期中）若、为实数，且满足，则________．

15．（2021·河北石家庄·七年级阶段练习）比较大小：__________，比大的数是__________．

16．（2020·河北·二模）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：

（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是　   　，数轴上表示﹣2和3的两点之间的距离是　   　；

（2）数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离表示为　   　；

（3）若x表示一个有理数，则|x﹣2|+|x+3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．

17．（2021·河北保定·七年级期末）已知是最大的负整数，是－5的相反数，且、、分别是点、、在数轴上对应的数，是的中点．

（1）求、、的值，并在数轴上标出点、、．

（2）若动点从点出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点可以追上点？

18．（2021·河北·保定市第十七中学七年级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为1，点B表示的数为﹣2，以AB为边在数轴的上方作正方形ABCD．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，到达A点后再以同样的速度沿数轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

(1)正方形ABCD的边长为 　   　；

(2)若点Q在线段DA上运动，用含t的代数式表示：DQ＝ 　   　，AQ＝ 　   　，AP＝ 　   　．连接BQ，当t＝ 　   　时，三角形ABQ的面积等于正方形ABCD面积的．