2022-2023 数学冀教版新中考精讲精练 考点06 二元一次方程组

考点06 二元一次方程组

考点总结

知识点一 二元一次方程（组）有关概念

二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

【注意】

1）  二元：含有两个未知数；

2）一次：所含未知数的项的次数都是1。

例如：xy=1，xy的次数是二，属于二元二次方程。

2）  方程：方程的左右两边必须都是整式（分母不能出现未知数）。

二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．

【注意】

1）  在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以求出另一个未知数的值。

2）  二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。

二元一次方程组的概念：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．

【注意】

1）二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，如也是二元一次方程组。这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须一共含有两个未知数。

3）  方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一未知量。

4）  二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。

二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

【注意】

1）二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。

2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解。

如：有的方程组无解，如：

知识点二 解二元一次方程组

消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元的思想。

代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。

基本思路：未知数由多变少。

代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：

1.变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含有另一个的未知数的代数式表示。  

2.代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一元一次方程。

3.解：解一元一次方程

4.求：把求得的未知数的值带入代数式或原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数的值。

5.写：写出方程组的解。

6.验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。

加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：

1.变形：将两个方程中其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）。

2.加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。

3.求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。

4.回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。

5.写解：写出方程组的解。

6.检验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。

整体消元法：根据方程组各系数的特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，带入另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，并求得方程的解。

例     (x+5)+(y-4)=8

　　   (x+5)-(y-4)=4

　　令x+5=m,y-4=n

　　原方程可写为

    m+n=8             解得m=6,n=2                所以  x=1

m-n=4             所以x+5=6,y-4=2                   y=6

特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。

解二元一次方程的基本步骤：

1.消元  2.求解   3.回代     4.写解     5.检验

解三元一次方程的基本步骤

1.变形（变三元一次为二元一次） 

2.求解：解二元一次方程组 

3.回代：将求得的未知数的值代入原方程组的一个适当的方程中，得到一个一元一次方程 

4.求解：解一元一次方程，求出第三个未知数    

5.写解：用大括号将所求的的三个未知数的值联立起来，即得原方程组的解。

知识点三 列二元一次方程组解应用题

列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

1. 审：审题，明确各数量之间的关系。
2. 设：设未知数
3. 找：找题中的等量关系
4. 列：根据等量关系列出两个方程，组成方程组
5. 解：解方程组，求出未知数的值
6. 答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案。

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•河北模拟）根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物．

大马说：“把我驮的东西给你1包多好哇！这样咱俩驮的包数就一样多了．”

小马说：“我还想给你1包呢！”

大马说：“那可不行！如果你给我1包，我驮的包数就是你的2倍了．”

小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未知数x，y，已经列出一个方程x﹣1＝y+1，则另一个方程应是（　　）

A．x+1＝2y B．x+1＝2（y﹣1） C．x﹣1＝2（y﹣1） D．y＝1﹣2x

【分析】设大马驮x袋，小马驮y袋．本题中的等量关系是：2×（小马驮的﹣1袋）＝大马驮的+1袋；大马驮的﹣1袋＝小马驮的+1袋，据此可列方程组求解．

【解答】解：设大马驮x袋，小马驮y袋．

根据题意，得．

故选：B．

2．（2021•衡水模拟）在解二元一次方程组时，若①﹣②可直接消去未知数y，则⊕和⊗（　　）

A．互为倒数 B．大小相等 C．都等于0 D．互为相反数

【分析】当未知数y的系数相等时，两式相减即可直接消去未知数y；当未知数y的系数互为相反数时，两式相加，即可消去未知数y．

【解答】解：当y的系数相等时，①﹣②可直接消去未知数y，

故选：B．

3．（2021•竞秀区一模）我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是说：“每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”下面四个同学的思考正确的是（　　）

小聪：设共有x人，根据题意得：；

小明：设共有x人，根据题意得：；

小玲：设共有车y辆，根据题意得：3（y﹣2）＝2y+9；

小丽：设共有车y辆，根据题意得：3（y+2）＝2y+9．

A．小聪、小丽 B．小聪、小明 C．小明、小玲 D．小明、小丽

【分析】设有x个人，由每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，根据车的数量不变列出方程即可．设共有车y辆，根据人数不变得出方程即可．

【解答】解：设有x个人，则可列方程：，

设共有车y辆，根据题意得：3（y+2）＝2y+9．

故选：C．

4．（2021•衡水模拟）已知二元一次方程2x+3y＝4，其中x与y互为相反数，则x，y的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】x与y互为相反数，那么y＝﹣x，然后联立解方程组即可求解．

【解答】解：由题意得：x+y＝0，即y＝﹣x，

代入已知方程得：2x﹣3x＝4，

解得：x＝﹣4，

则y＝4．

故选：A．

5．（2021•裕华区校级模拟）若是关于x、y的方程组的解，则a+b的值为（　　）

A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2

【分析】把x、y值代入方程组得到关于a和b的方程组，然后①+②即可求解a+b的值．

【解答】解：把代入方程组中，

得到，

①+②，得3a+3b＝9，

所以a+b＝3．

故选：A．

6．（2021•高阳县模拟）小华和小红到同一家鲜花店购买百合花与玫瑰花，他们购买的数量如下表所示，小华一共花的钱比小红少8元，下列说法正确的是（　　）

A．2支百合花比2支玫瑰花多8元 

B．2支百合花比2支玫瑰花少8元 

C．14支百合花比8支玫瑰花多8元 

D．14支百合花比8支玫瑰花少8元

【分析】设每支百合花x元，每支玫瑰花y元，根据总价＝单价×购买数量结合小华一共花的钱比小红少8元，即可得出关于x、y的二元一次方程，整理后即可得出结论．

【解答】解：设每支百合花x元，每支玫瑰花y元，

根据题意得：8x+3y﹣（6x+5y）＝8，

整理得：2x﹣2y＝8，

∴2支百合花比2支玫瑰花多8元．

故选：A．

7．（2020•恩施州）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x斛，1个小桶盛酒y斛，下列方程组正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解答】解：依题意，得：．

故选：A．

8．（2021•江油市一模）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而本题得以解决．

【解答】解：由题意可得，

，

故选：B．

9．（2020•石家庄一模）现有两种礼包，甲种礼包里面含有4个毛绒玩具和1套文具，乙种礼包里面含有3个毛绒玩具和2套文具，现在需要37个毛绒玩具，18套文具，则需要采购甲种礼包的数量为（　　）

A．2件 B．3件 C．4件 D．5件

【分析】设需要采购甲种礼包x个，乙种礼包y个，根据“现在需要37个毛绒玩具，18套文具”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【解答】解：设需要采购甲种礼包x个，乙种礼包y个，

依题意得：，

解得：．

故选：C．

10．（2020•石家庄模拟）在解二元一次方程组时，若①﹣②可直接消去未知数y，则⊕和⊗（　　）

A．互为倒数 B．大小相等 C．都等于0 D．互为相反数

【分析】根据加减消元法判断即可．

【解答】解：在解二元一次方程组时，若①﹣②可直接消去未知数y，则⊕和⊗大小相等．

故选：B．

二．填空题（共4小题）

11．（2021•海港区模拟）已知关于x，y的二元一次方程kx﹣y＝k﹣1．

（1）当k＝1和k＝2时，所得两个方程组成的方程组是，这个方程组的解是 　　；

（2）当k＝﹣1和k＝﹣2时，所得两个方程组成的方程组是，这个方程组的解是 　　；

（3）猜想：无论k取何值时，关于x，y的方程kx﹣y＝2k﹣3一定有一个解是 　　．

【分析】（1）利用加减消元法求解即可；

（2）利用加减消元法求解即可；

（3）归纳总结确定出所求即可．

【解答】解（1），

②﹣①得：x＝1，

把x＝1代入①得：y＝1，

∴．

故答案为：．

（2），

①﹣②得：x＝1，

把x＝1代入①得：y＝1，

∴．

故答案为：．

（3）由题kx﹣y＝2k﹣3可得：y＝k（x﹣2）+3，

当x＝2时，y＝3，等式成立与k值无关，

∴无论k取何值，关于x，y的方程kx﹣y＝2k﹣3一定有一个解是．

故答案为：．

12．（2021•玉田县二模）如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是 　67cm2　，若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？　不变　（填“变”或“不变”）．

【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出小长方形的长和宽，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可求出阴影部分的面积，由该值为定值可得出：若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积不变．

【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，

依题意得：，

解得：，

∴19×（7+2y）﹣6xy＝19×（7+2×3）﹣6×10×3＝67，

∴若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积不变．

故答案为：67cm2；不变．

13．（2020•丰南区二模）如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是　44cm2　，若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？　不变　（填“变”或“不变”）．

【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，利用长方形的对边相等，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可求出结论．

【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，

依题意得：，

解得：，

∴图中阴影部分面积为14×（6+2y）﹣6xy＝44（cm2）．

无论怎么平移这六个长方形，阴影部分的面积均为14×（6+2y）﹣6xy＝44（cm2）．

故答案为：44cm2；不变．

14．（2020•长安区模拟）若关于x、y的方程组的解是，则mn的值为　﹣2　．

【分析】将代入方程组即可求出m与n的值．

【解答】解：将代入，

∴，

∴，

∴mn＝﹣2，

故答案为：﹣2．

三．解答题（共3小题）

15．（2021•路南区二模）小明到某水果店购买苹果和梨，他发现一人购买1千克苹果和2千克梨共花费了26元，另一人购买2千克苹果和1千克梨共花费了22元．

（1）妈妈给小明带了20元钱，想购买1千克苹果和1千克梨，小明带的钱够用吗？说明理由；

（2）到家后妈妈给小明出了一道题：如果给你带100元钱，①当购买苹果和梨的重量相等时，最多能够买多少千克苹果？（千克只取整数）②当购买苹果的重量是梨的重量的2倍时，最多能够买多少千克苹果？（千克只取整数）

【分析】（1）设1千克苹果的价格为x元，1千克梨的价格为y元，根据“购买1千克苹果和2千克梨共花费了26元，购买2千克苹果和1千克梨共花费了22元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（x+y）中可求出购买1千克苹果和1千克梨所需费用，将其与20比较后可得出小明带的钱够用；

（2）①设可以购买m千克苹果，则购买m千克梨，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出最多能够买6千克苹果；

②设可以购买n千克苹果，则购买n千克梨，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过100元，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，再结合n，n均为正整数，即可得出最多能够买8千克苹果．

【解答】解：（1）小明带的钱够用，理由如下：

设1千克苹果的价格为x元，1千克梨的价格为y元，

依题意得：，

解得：，

∴x+y＝6+10＝16．

∵20＞16，

∴小明带的钱够用．

（2）①设可以购买m千克苹果，则购买m千克梨，

依题意得：6m+10m≤100，

解得：m≤6，

又∵m为正整数，

∴m的最大值为6．

答：最多能够买6千克苹果．

②设可以购买n千克苹果，则购买n千克梨，

依题意得：6n+10×n≤100，

解得：n≤9，

又∵n，n均为正整数，

∴n的最大值为8．

答：最多能够买8千克苹果．

16．（2021•唐山一模）对于实数a、b，定义关于“※”的一种运算：a※b＝2a+b．

例如1※3＝2×1+3＝5．

（1）求4※（﹣3）的值；

（2）若x※y＝﹣2，（2y）※x＝﹣1，求x和y的值．

【分析】（1）根据新定义直接代入即可；

（2）由已知可得方程组，解出方程组即可．

【解答】解：（1）4※（﹣3）＝4×2+（﹣3）＝8﹣3＝5；

（2）∵x※y＝﹣2，（2y）※x＝﹣1，

∴

②×2，得8y+2x＝﹣2③，

解得y＝0，

将y＝0代入①得x＝﹣1，

∴x＝﹣1，y＝0．

17．（2020•河北模拟）一个两位自然数，其个位数字大于十位数字．现将其个位数字与十位数字调换位置，得到一个新数，且原数与新数的平均数为33．

（1）求原数的最小值；

（2）若原数的平方与新数的差为534，求原数与新数之积．

【分析】（1）设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，（x＞y），则原两位数是（10y+x），新两位数为（10x+y），根据题意列出方程，求得x+y＝6，再根据x、y的取值范围求得二元一次方程的解，最后由题目条件求得结果；

（2）由（1）得出原数与新数可能值，再通过原数的平方与新数的差为534，进行验证，确定求出原数与新数之积．

【解答】解：（1）设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，（x＞y），则原两位数是（10y+x），新两位数为（10x+y），根据题意得，

（10y+x）+（10x+y）＝33×2，

∴x+y＝6，

∵x、y均为正整数，x＞y，

∴x＝5，y＝1或x＝4，y＝2，

∴原数的最小值15；

（2）由（1）知，原数与新数可能为15与51，或24与42，

∵242﹣42＝534，

∴24×42＝1008.