2022-2023 数学京改版新中考精讲精练 考点16全等三角形

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考点16全等三角形考点总结 1、全等形及全等三角形（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．全等图形的形状和大小都相同．（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应中线、高、角平分线相等；对应周长、面积相等．3、全等三角形判定①三边分别相等的两个三角形全等（SSS）②两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）④两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）⑤斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）4、角平分线角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等；角平分线判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．真题演练 一、单选题1．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（　　）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断．【详解】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线．故选：B．2．已知，如图，在菱形ABCD中．（1）分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；（3）连接BM．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（    ）A．∠ABC=60° B．如果AB=2，那么BM=4C．BC=2CM D．【答案】B【分析】连接AC，根据线段重直平分线的性质及菱形的性质即可判断A选项正确；根据线段垂直平分线的性质及菱形的性质求出∠BAM=90°，利用三角函数求出AM，即可利用勾股定理求出BM，由此判断B选项；根据线段垂直平分的性质和菱形的性质可得BC=2CM，由此判断C选项；利用同底等高的性质证明△ABM的面积=△ABC的面积=△ACD的面积，再利用线段垂直平分线的性质即可判断D选项．【详解】如图，连接AC，由题意知：EF垂直平分CD，∴AC=CD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD，∴AC=AD=CD=AB=BC，∴△ABC和△ACD都是等边三角形，∴∠BAC=∠CAD=∠ABC=60°，故A正确；∵AM垂直平分CD，∴∠CAM=∠DAM=30°，∴∠BAM=90°，∴S△ABM=S△ABC=S△ABD=2S△ADM，故D项正确；∵AB=2，∴AC=CD=2，∴AM=AC·cos30°=2×=，∴BM===，故B项错误；由AM垂直平分CD可得CM=CD，又∵BC=CD，∴CM=BC，即BC=2CM，故C项正确；故选：B．3．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；（2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；（3）连接FG，CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30°C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG【答案】D【分析】依据作图即可得出△OCF≌△OGF（SSS），即可得到对应角相等；再根据等边三角形的性质，即可得到∠AOB＝30°；依据OC＝OE，FC＝FG，即可得出OF垂直平分CG，CG＝2MG＜2FG．【详解】解：由作图可得，OC＝OE，FC＝FG，OF＝OF，∴△OCF≌△OGF（SSS），∴∠BOG＝∠AOB，故A选项正确；若CG＝OC＝OG，则△OCG是等边三角形，∴∠COG＝60°，∴∠AOB＝∠COG＝30°，故B选项正确；∵OC＝OE，FC＝FG，∴OF垂直平分CG，故C选项正确；∴CG＝2MG＜2FG，故D选项错误；故选：D．4．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）A．CP∥OB B．CP＝2QC C．∠AOP＝∠BOP D．CD⊥OP【答案】A【分析】由作图知OC＝OD，CD＝CP＝DP，根据等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、角平分线的基本作图，逐一判断可得．【详解】由作图可知：射线OP即为∠AOB的角平分线，∴∠AOP＝∠BOP，故C正确，不符合题意；由作图（1）（2）可知：OC＝OD，CP＝DP，∴OP是CD的垂直平分线，∴CD⊥OP，故D正确，不符合题意；由作图（2）可知：CD＝CP＝PD，∴△CDP是等边三角形，∵CD⊥OP，∴CP＝2CQ，故B正确，不符合题意；∵∠AOP＝∠BOP，当OC＝CP时，∠AOP＝∠CPO，∴∠CPO＝∠BOP，∴CP∥OB，故A错误，符合题意；故选：A．5．已知直线l及直线l外一点P．如图，（1）在直线l上取一点A，连接PA；（2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O；（3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；（4）作直线PQ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）A．△OPQ≌△OAB B．PQ∥ABC．AP＝BQ D．若PQ＝PA，则∠APQ＝60°【答案】C【分析】连接AQ，BP，如图，利用基本作图得到BQ垂直平分PA，OB＝OQ，则可根据“SAS”判断△OAB≌△OPQ，根据全等三角形的性质得∠ABO＝∠PQO，于是可判断PQ∥AB；由BQ垂直平分PA得到QP＝QA，若PQ＝PA，则可判断△PAQ为等边三角形，于是得到∠APQ＝60°，从而可对各选项进行判断．【详解】解：连接AQ，BP，如图，由作法得BQ垂直平分PA，OB＝OQ，∴∠POQ＝∠AOB＝90°，OP＝OA，∴△OAB≌△OPQ（SAS）；∴∠ABO＝∠PQO，∴PQ∥AB；∵BQ垂直平分PA，∴QP＝QA，若PQ＝PA，则PQ＝QA＝PA，此时△PAQ为等边三角形，则∠APQ＝60°．故选：C．6．如图，点A，B，C，D在⊙O上，弦AD的延长线与弦BC的延长线相交于点E．用①AB是⊙O的直径，②CB＝CE，③AB＝AE中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（　　）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据题意和图形，可以写出其中的两个为题设，一个为结论时的命题是否为真命题，然后写出理由即可．【详解】解：当①②为题设时，③为结论，这个命题是真命题，理由：连接AC∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ACE＝90°，在△ACB和△ACE中，，∴△ACB≌△ACE（SAS），∴AB＝AE；当①③为题设，②为结论时，这个命题是真命题，理由：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ACE＝90°，在Rt△ACB和Rt△ACE中，，∴Rt△ACB≌Rt△ACE（HL），∴CB＝CE；当②③为题设，①为结论时，这个命题是真命题，理由：在△ACB和△ACE中，，∴△ACB≌△ACE（SSS），∴∠ACB＝∠ACE，又∵∠ACB+∠ACE＝180°，∴∠ACB＝∠ACE＝90°，∴AB是⊙O的直径；故选：D．7．如图，点，，，在同一条直线上，点，在直线的两侧，，，添加下列哪个条件后，仍不能判定出　　A． B． C． D．【答案】A【详解】解：，，，，即，当添加，即时，可根据“”判断；当添加时，可根据“”判断；当添加时，可根据“”判断．故选：．8．如图，平分，于点，于点，延长，交，于点，．下列结论错误的是　　A． B． C． D．【答案】D【详解】解：平分，，，，，在和中，，，，，，故，，正确；故选：． 9．是的角平分线，作于，于，下列结论错误的是　　A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图，是的角平分线，，，，在和中，，，，，只有时，．综上所述，结论错误的是．故选：．10.如图中，，，，则　　A． B． C． D． 【答案】B【详解】解：在与中，，，，，，，，，．故选：．二、填空题11．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD=BE，AC=EF，要使△ABC≌△EDF，只需添加一个条件，这个条件可以是_______________ ．【答案】∠A=∠E【分析】要判定△ABC≌△EDF，已知AD=BE，AC=EF，则AB=DE，AC=EF，具备了两组边对应相等，故添加∠A=∠E，利用SAS可证全等．【详解】解：增加一个条件：∠A=∠E，∵AD=BE，∴AB=DE，在△ABC和△FDE中，，∴△ABC≌△EDF(SAS)．故答案为：∠A=∠E（答案不唯一）．12．如下是小华设计的“作的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．步骤作法推断第一步在上任取一点C，以点C为圆心，为半径作半圆，分别交射线于点P，点Q，连接    ①    ，理由是    ②    第二步过点C作的垂线，交于点D，交于点E， ③    第三步作射线射线平分射线为所求作． 【答案】见解析；①90；②直径所对的圆周角是直角；③【分析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得出结论【详解】解：补全的图形如图1所示．             ①∵OQ是直径∴∠OPQ=90°故答案为：90；                ②故答案为：直径所对的圆周角是直角；         ③∵CE⊥PQ∴由垂径定理得：．  故答案为：13．如图，直线l为线段的垂直平分线，垂足为C，直线l上的两点E，F位于异侧（E，F两点不与点C重合）．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是____．【答案】【分析】根据全等三角形的判定直接写出条件即可【详解】证明：添加：，理由如下：∵直线l为线段的垂直平分线∴AC=CB,∠ACE=∠BCF又∴（SAS）故答案为：14．如图，点，，，在同一条直线上，，，请你添加一个条件__________，使得．【答案】或或（答案不唯一）【分析】由全等三角形的判定定理可求解．【详解】解：，，若添加，且，由“”可证；若添加，且，由“”可证；若添加，且，由“”可证；故答案为：或或（答案不唯一）．15．如图，在和中，，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________________(写出一个即可).【答案】（答案不唯一）【分析】由题意可得在与中，已有=，AC=AC，根据三角形全等的判定定理再添加一个条件即可．【详解】解：在与中，=，AC=AC，若，则由AAS可得．故答案为：（答案不唯一）．三、解答题16．《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；
 （2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在中，______________，是的中点，（______________）（填推理的依据）．∵直线表示的方向为东西方向，∴直线表示的方向为南北方向．【答案】（1）图见详解；（2），等腰三角形的三线合一【分析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求点D；（2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答．【详解】解：（1）如图所示：
 （2）证明：在中，，是的中点，（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．∵直线表示的方向为东西方向，∴直线表示的方向为南北方向；故答案为，等腰三角形的三线合一．17．下面是小玲同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l和直线l外一点P．求作：直线PM，使直线PM∥直线l． 图1作法：如图2，①在直线l 上任取一点A，作射线AP；②以P为圆心，PA为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；③以P为圆心，PB长为半径作弧，交射线AP于点 C；分别以B，C为圆心，大于长为半径作弧，在AC的右侧两弧交于点M；④作直线PM；所以直线PM就是所求作的直线．图2根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；（2）完成下面的证明：证明：由作图可知PM平分∠CPB， ∴∠CPM ＝∠        ＝∠CPB．又∵PA＝PB，∴∠PAB ＝∠PBA．（　            ）（填依据）．∵∠CPB＝∠PAB ＋∠PBA，∴∠PAB ＝∠PBA ＝∠CPB．∴∠CPM ＝∠PAB．∴直线PM∥直线l．（　           ）（填依据）．【答案】（1）见解析；（2）BPM；等腰三角形两底角相等；同位角相等两直线平行【分析】（1）根据角平分线的作法补全图2中的图形；（2）根据角平分线的作法、等腰三角形的性质、平行线的判定定理解答即可．【详解】解：（1）用直尺和圆规，补全的图形如图2所示；（2）证明：由作图可知PM平分∠CPB，∴∠CPM=∠BPM=∠CPB，又∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA（等腰三角形两底角相等），∵∠CPB=∠PAB+∠PBA，∴∠PAB=∠PBA=∠CPB．∴∠CPM=∠PAB．∴直线PM∥直线l（同位角相等，两直线平行），故答案为：BPM；等腰三角形两底角相等；同位角相等，两直线平行．18．已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，P为AE的中点，连接DP．（1）如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上． ①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE=∠ACP；②连接BD，交AE于点F．判断线段BF与DF的数量关系，并证明． 【答案】（1）DP⊥AE；（2）①见解析；②BF=DF，证明见解析【分析】（1）已知△ADE是等腰直角三角形，P为AE的中点，根据等腰三角形的三线合一的性质即可得DP⊥AE；（2）①根据题目要求，补全图形，根据已知条件易证∠BAE+∠CAE=90°，∠ACP+∠CAE=90°．再根据同角的余角相等即可证得∠BAE=∠ACP． ②线段BF与DF的数量关系：BF=DF．  过点B作BH⊥AE于点H．易证△BAH ≌△ACP，由全等三角形的性质可得BH=AP=DP．再△BFH ≌△DFP，由此可得BF=DF．【详解】（1）DP与AE的位置关系：DP⊥AE；理由如下：∵△ADE是等腰直角三角形，P为AE的中点，∴DP⊥AE；（2）①补全图形，如图：  证明：∵∠BAC=90°，∴∠BAE+∠CAE=90°．∵△ADE是等腰直角三角形，且P为AE的中点，∴DP⊥AE，即∠APD=90°． ∵点C，D，P在同一条直线上，∴∠ACP+∠CAE=90°．∴∠BAE=∠ACP．   ② 线段BF与DF的数量关系：BF=DF．  证明：如图，过点B作BH⊥AE于点H．∴∠AHB=∠APD=90°．         ∵ ∠BAE=∠ACP，AB=AC，∴△BAH ≌△ACP(AAS)．∴BH=AP=DP．∵∠BHF=∠DPF，∠BFH=∠DFP，∴△BFH ≌△DFP(AAS)．∴BF=DF．