2022-2023 数学京改版新中考精讲精练 考点07一元二次方程

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考点07一元二次方程 考点总结 1．一元二次方程的有关概念（1）一元二次方程的定义：只含有  一个未知数  ，且未知数的最高次数是  2  的整式方程叫做一元二次方程．（2）一元二次方程的一般形式：（3）一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做  一元二次方程的解  ，也叫一元二次方程的根． 2．解一元二次方程 解一元二次方程的本质是通过转化思想进行  降次  ，即把一个一元二次方程变成两个  一元一次方程  ．直接开方法：降次的依据是平方根的意义；配方法：理论依据是完全平方公式；公式法：省略了配方的过程，直接套用公式求得方程的解；因式分解法：降次的依据是“，则或”3．一元二次方程根与判别式的关系在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定．（1）当时，方程有  两个不相等的实数根  ；（2）当时，方程有  两个相等的实数根  ；（3）当时，方程  无实数根  ． 4．一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的推导一元二次方程当时有两个根：，于是，两根之和为：；两根之积为：． 常考代数式：；； ； 5. 一元二次方程的整数根（1）如果一元二次方程（，，是常数，）有整数根，那么需要同时满足以下条件：①为完全平方数；②是的整数倍.注意：如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程根为有理数（其中，，均为有理数）（2）解决一元二次方程整数根问题的常用方法①若是完全平方数，则直接解方程，根据根的情况讨论参数的值②若不是完全平方数，参数有范围，可以根据，确定参数的具体取值范围，进而确定参数的整数值，代入验证求解③若不是完全平方数，但有完全平方项，且参数也没有范围，则假设是完全平方数，利用平方差公式和整数的性质进行解题真题演练 一、单选题1．如图，小聪要在抛物线y ＝x（2-x）上找一点M（a，b），针对b的不同取值，所找点M的个数，三个同学的说法如下，小明：若b＝-3，则点M的个数为0；小云：若b ＝ 1，则点M的个数为1；小朵：若b ＝ 3，则点M的个数为2．下列判断正确的是（    ）．A．小云错，小朵对 B．小明，小云都错 C．小云对，小朵错 D．小明错，小朵对【答案】C【分析】根据题意，分、、三种情况，结合二次函数、一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵点，当时，则，整理得，∵，∴有两个不相等的值，∴点的个数为2；当时，则，整理得，∵，∴有两个相同的值，∴点的个数为1；当时，则，整理得，∵，∴点的个数为0；∴小明错，小云对，小朵错故选：C．2．某厂家2021年1－5月份的产量如图所示． 下面有三个推断：①从1月份到5月份产量在逐月增长；②1月份到2月份产量的增长率是60%；③若设从3月份到5月份产量的平均月增长率为x，则可列方程为220（1＋x）2＝480，所有正确的推断是（   ）A．② B．③ C．①② D．②③【答案】D【分析】根据图中的信息一一判断，利用增长率计算公式以及列出一元二次方程即可找出答案．【详解】解：①由图知，2月份到3月份产量减少，故①错误；②由图，1月份的产量为：150万只，2月份的产量为：240万只，增长率为：；故②正确；③设从3月份到5月份产量的平均月增长率为x，则4月份产量为220（1＋x）；5月份产量为220（1＋x）2＝480，故③正确；故选：D．3．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（   ）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，对照四个选项即可得出结论．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
当a=3时，，故选项A符合题意；当a=2时，，故选项B不符合题意；当a=1时，，故选项C不符合题意；当a=0时，，故选项D不符合题意．
故选：A．4．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据根的判别式建立不等式求解即可．【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴＞0，∴＞0，∴＞0，∴，故选A．5．用配方法解方程，方程应变形为（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可．【详解】解：∴∴x2-4x=1，∴x2-4x+4=1+4，即（x-2）2=5，故选：B．6．一元二次方程配方后可化为（    )A． B． C． D．【答案】D【分析】移项，配方，即可得出选项．【详解】解：∵x2-4x-1=0，∴x2-4x=1，∴x2-4x+4=1+4，∴（x-2）2=5，故选：D．7．如果，那么代数式的值为（    ）A．4 B．2 C．1 D．【答案】A【分析】先对方程变形可得，再对分式进行化简，整体代入求解即可．【详解】解：由可得，即=4，故答案为：A．8．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（    ）A．x(x-11)=180 B．2x+2(x-11)=180 C．x(x+11)=180 D．2x+2(x+11)=180【答案】C【分析】根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可．【详解】设宽为x米，则长为（x+11）米，根据题意得：x（x+11）=180．故选C．9．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0，此方程可化为(　　)A．(x﹣3)2＝4 B．(x﹣3)2＝14 C．(x﹣9)2＝4 D．(x﹣9)2＝14【答案】B【分析】先移项，再方程两边都加上9，即可得出答案．【详解】原方程可化为x2-6x=5，配方得x2-6x+9=5+9，即（x-3）2=14．故选B.10．代数式-4x+5的最小值是（　　）A．-1 B．1 C．2 D．5【答案】B【详解】-4x+5=-4x+4-4+5=+1∵≥0，∴+1≥1，∴代数-4x+5的最小值为1．故选B. 二、填空题11．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的最小值是___________．【答案】0．【分析】利用根的判别式列出方程，再确定c的最小值即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴，则c的最小值是0，故答案为：0．12．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____．【答案】m＜【详解】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，解得m＜，故答案为m＜．13．关于的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________________．【答案】且【详解】解：根据题意可得：且，解得：且．故答案为：且．14．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_____.．【答案】1【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴△=0，∴4﹣4m=0，∴m=1，故答案为1．15．函数的图象与直线y=x没有交点，那么m的取值范围是_____．【答案】m＞2【分析】根据函数的图象与直线没有交点，可转化为一元二次方程，根据判别式小于0得出关于m的不等式，求解即可．【详解】解：∵函数的图象与直线没有交点，∴方程无解，方程整理得，，∴△=0-4(m-2)＜0，解得m＞2．故答案为：m＞2． 三、解答题16．已知一元二次方程﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0．（1）求证：方程有两个不等的实数根；（2）若方程只有一个实数根小于1，求a的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）先计算判别式的意义得到，然后根据判别式的意义得到结论；（2）先利用求根公式解方程得，，再根据题意得到，从而得到m的范围．【详解】解：（1）∵ ∴= = ∴方程有两个不等的实数根；（2）∵，∴∴，∴，∵方程只有一个实数根小于1，且，∴，且 ∴．17．对于平面内的图形G1和图形G2，记平面内一点P到图形G1上各点的最短距离为d1，点P到图形G2上各点的最短距离为d2，若d1＝d2，就称点P是图形G1和图形G2的一个“等距点”．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（6，0），B（0，）． （1）在C（4，0），D（2，0），E（1，3）三点中，点A和点B的等距点是           ； （2）已知直线 y=2．①若点A和直线y=2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为                 ； ②若直线y=b上存在点A和直线y＝2的等距点，求实数b的取值范围； （3）记直线AB为直线l1，直线l2： ，以原点O为圆心作半径为r的⊙O．若⊙O上有m个直线l1和直线l2的等距点，以及n个直线l1和y轴的等距点（m≠0，n≠0），当 m≠n 时，求r的取值范围．【答案】（1）D（2，0）；（2）①（4，0）或（8，0）；②b≤1；（3）r=或r≥3．【分析】（1）由两点距离公式分别求出AC、BC、DA、BD、AE、BE的长，即可求解；（2）①设等距点的坐标为（x，0），由题意可得2=|x-6|，即可求解；②根据题意，列出方程，由根的判别式可求解；（3）利用数形结合，即可求解．【详解】解：（1）∵A（6，0），B（0，2）、C（4，0），D（2，0），E（1，3），∴AC=2，BC=2；DA=4，BD=4；AE=，BE=，∵AD=BD，故点D是点A和点B的等距点，故答案为：D； （2）①设等距点的坐标为（x，0），∴2=|x-6|，∴x=4或8，∴等距点的坐标为（4，0）或（8，0），故答案为：（4，0）或（8，0）；②如图，设直线 y=b上的点M为点A和直线 y=2的等距点，连接MA，过点M作直线y=2的垂线，垂足为点N．∵点 M为点A和直线 y=2 的等距点，∴MN2=MA2．∵点 M在直线 y=b 上，故可设点 M的坐标为（x，b），则(2-b)2=b2+(6-x)2，∴x2-12x+4b+32=0，∵方程有实根，∴△=(-12)2-4(4b+32)≥0，∴b≤1；（3）如图2，由题意知，直线l1和直线l2的等距点在直线l3：y=-x+上，而直线l1和y轴的等距点在直线l4：y=-x+2或l5：y=x+2上．∴r=或r≥3．18．已知关于的一元二次方程．（1）求证：此方程总有实数根；（2）写出一个的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根．【答案】（1）见解析；（2），【分析】（1）进行判别式的值得到△＝，然后根据判别式的意义可判断方程总有实数根；（2）确定一个大于1的实数根，代入求出，然后解方程即可．【详解】（1）证明：，∴该方程总有实数根．    （2）解：当时，原方程为，解得，，代入原方程得，．即．解得：