湖南师范大学附属中学2022-2023学年高一数学上学期第一次月考试卷(Word版附答案)
展开湖南师大附中2022-2023学年度高一第一学期第一次大练习
数 学
时量:120分钟 满分:150分
得分:
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.若a,b,c,d为集合A的四个元素,则以a,b,c,d为边长构成的四边形可能是( )
A.矩形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形
2.集合,,则( )
A. B. C. D.
3.下列各式正确的个数是( )
①; ②; ③;
④; ⑤; ⑥.
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知a,b,,那么下列命题正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若且,则 D.若且,则
5.已知命题“,”为真命题,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.不等式成立的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
7.若不等式对恒成立,则实数m的最大值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
8.在R上定义运算:.已知时,存在x使不等式成立,则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、选择题:本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知集合A={1,2,},B={1,},若,则a的可能取值为( )
A. B.0 C.1 D.2
10.若,,则下面四个不等式成立的有( )
A. B. C. D.
11.下列说法正确的有( )
A.命题“若,则”的否定是“若,则”
B.命题“,”的否定是“,”
C.命题“,”是假命题,则实数a的取值范围为
D.命题“,”是真命题,则实数m的取值范围为
12.已知,,,则的可能取值有( )
A. B. C. D.
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.命题“全等三角形的面积相等”的否定是____________________________.
14.已知,则的最大值是________.
15.已知函数.若对于,恒成立,则实数m的取值范围为________.
16.某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:
①男学生人数多于女学生人数; ②女学生人数多于教师人数;
③教师人数的两倍多于男学生人数.
(1)若教师人数为4,则女学生人数的最大值为________;
(2)该小组人数的最小值为________.
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本大题满分10分)
设a,,集合P={1,},Q={,},若P=Q.
(1)求的值;
(2)集合,,若,求实数c的取值范围.
18.(本大题满分12分)
(1)设,试比较与的大小;
(2)已知a,b,x,y都是正数,且,,求证:.
19.(本大题满分12分)
对于由有限个自然数组成的集合A,定义集合,记集合的元素个数为.定义变换T,变换T将集合A变换为集合.
(1)若A={0,1,2},求,;
(2)若集合A={,,,…,},…,,证明:“”的充要条件是“…”.
20.(本大题满分12分)
已知.
(1)当,时,求的最大值;
(2)当,时,若不等式恒成立,求实数m的取值范围.
21.(本大题满分12分)
党的十八大以来,精准扶贫取得了历史性成就,其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措,长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫,计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售,为了迎合大众需求,提高销售量,将以装盒售卖的方式销售.经市场调研,若要提高销售量,则猕猴桃的售价需要相应的降低,已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒,且每万盒猕猴桃的销售收入(单位:万元)与售价量x(单位:万盒)之间满足关系式.
(1)写出利润(单位:万元)关于销售量x(单位:万盒)的关系式;(利润=销售收入-成本)
(2)当销售量为多少万盒时,该村能够获得最大利润?此时最大利润是多少?
22.(本大题满分12分)
已知二次函数.
(1)若的解集为,解关于x的不等式;
(2)若对任意,恒成立,求的最大值;
(3)已知,,若对于一切实数x恒成立,并且存在,使得成立,求的最小值.
答案
1D 2A 3B 4C 5D 6D 7C 8C 9BD 10ACD 11BCD 12AB
13.存在两个全等三角形,它们的面积不相等
14. 15. 16.6,12
17. 解:(1)设,,,,,,若,则,,故;
(2)由(1)可知:,则在上恒成立,
记,则只需要,.
18. (1)解:方法一:
;
因为,所以,,
所以,
所以;
方法二:,所以,,,
所以,;
所以,
所以;
(2)证明:,
因为且,,
所以;
又因为,所以,
所以.
19. 解:(1)若集合,1,,则(A)(A),1,2,3,.
(2)令,,.不妨设.
充分性:设是公差为的等差数列.
则,
且.所以共有个不同的值.即(A).
必要性:若(A).
因为,,2,,.
所以(A)中有个不同的元素:,,,,,,,.
任意的值都与上述某一项相等.
又,且,,2,,.
所以,所以是等差数列,且公差不为0
20. 解:(1)∵,,.
∴
当且仅当时取等号,即,时取等号,
所以的最大值为;
(2)因为,,,
即,
所以
,
当且仅当且即,时取等号,此时取得最小值,
因为不等式恒成立,
所以,
解得,,
∴实数m的取值范围:为.
21. 解:(1)当时,,
当时,,
故.
(2)当时,,
故当时,取得最大值,且最大值为128,
当时,
,
当且仅当,即(负值舍去)时,等号成立,此时取得最大值,且最大值为136,
由于,
所以销售量为15万盒时,该村的获利最大,此时的最大利润为136万元.
22. 解:(1)的解集为,
,,,,
,
解集为;
(2)对任意,恒成立,
△,即,
又,,
故,
,当,时取“”,
的最大值为1,
(3)由对于一切实数恒成立,可得即,由存在,使得成立可得△,
△,
,
,
当且仅当时,等号成立,
∴的最小值为8.
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