湖南师范大学附属中学2022-2023学年高一数学下学期期末考试试题（Word版附答案）

这是一份湖南师范大学附属中学2022-2023学年高一数学下学期期末考试试题（Word版附答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
湖南师大附中2023年上学期高一期末测试卷
数 学
时量：120分钟 满分：150分

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，，，则（　 　）
A． B． C． D．
2．已知复数（i是虚数单位），则（　 　）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且E为AO的中点，则（　 　）
A． B． C． D．

第3题图 第4题图
4．某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取2%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有80人，则样本容量和该地区的初中生近视人数分别为（　 　）
A．100，50 B．100，1050 C．200，50 D．200，1050
5．下列说法不正确的是（　 　）
A．若直线a∥平面，则直线a与平面内的任意一条直线都无公共点
B．若，，且a∥b，则∥
C．垂直于同一条直线的两个平面互相平行
D．垂直于同一个平面的两条直线互相平行
6．函数的大致图象为（　 　）
A． B．
C． D．
7．某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户．如果教师用户人数与天数t之间满足关系式：，其中k为常数，t=0是刚发布的时间。则教师用户超过30000名至少经过的天数为（　 　）（参考数据：）
A．11 B．12 C．13 D．14
8．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（　 　）

A． B． C． D．

二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则（　 　）
A．，，，的平均数等于，，…，的平均数
B．，，，的第60百分位数等于，，…，的第60百分位数
C．，，，的标准差小于，，…，的标准差
D．，，，的极差不大于，，…，的极差
10．已知，则下列不等式一定成立的有（　 　）
A． B． C． D．
11．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（　 　）
A． B．事件A与事件B互斥
C．事件A与事件B相互独立 D．
12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，点P是AD上的动点，将△ADE，△CDF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点G，则下列结论正确的是（　 　）

A．BG⊥EF
B．G到平面DEF的距离为
C．若BG∥面EFP，则二面角D−EF−P的余弦值为
D．四面体G−DEF外接球表面积为

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则_________．
14．以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，那么这个正八面体的表面积是_________．
15．一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红色球、2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率为_________．
16．在△ABC中，（2m，m+5），（，），（，），若对任意的实数t，恒成立，则BC边的最小值是_________．

三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点．
（1）求证：AM⊥平面CDP；
（2）求直线BP与底面ABCD所成角的正弦值．

18．（本小题12分）已知在△ABC中，，．
（1）求；
（2）设，求△ABC的面积．













19．（本小题12分）已知向量，，记函数．
（1）求使函数成立的x的取值集合；
（2）已知，均为锐角，，，求的值．
















20．（本小题12分）某地区为了解市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分百分制按国家制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在中的市民有200人．
心理测评评价标准
调查评分







心理等级
E
D
B
B
A

（1）求n的值及频率分布直方图中t的值；
（2）该地区主管部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100）
（3）在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为B的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为B的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B的概率；










21．（本小题12分）如图，在棱长为3的正方体ABCD−A'B'C'D'中，M为AD的中点．
（1）求证：DB'∥平面BMA'；
（2）在体对角线DB'上是否存在动点Q，使得AQ⊥平面BMA'？若存在，求出DQ的长；若不存在，请说明理由．





22．（本小题12分）设函数的定义域为D，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”．
性质1：对任意，有；
性质2：对任意，有．
（1）分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；
①； ②；
（2）若（）是函数的“区间”，求m的取值范围；
（3）已知定义在R上，且图象连续不断的函数满足：对任意a，，且，有．求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的任意一个“区间”．