湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三数学上学期第三次月考试卷（Word版附答案）

湖南师大附中2023届高三月考试卷（三）

数学

时量：120分钟满分：150分

第I卷

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，若，则实数的取值范围为（    ）

A.    B.

C.或    D.

2.已知，则（    ）

A.    B.

C.    D.的大小无法确定

3.若，则（    ）

A.    B.    C.    D.1

4.已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为（    ）

A.    B.4    C.3    D.2

5.已知过点的动直线与圆交于两点，过分别作的切线，两切线交于点.若动点，则的最小值为（    ）

A.6    B.7    C.8    D.9

6.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.已知，其中为自然对数的底数，则（    ）

A.    B.

C.    D.

8.已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､有顶点重合的一点，I为的内心，且，则的离心率为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分：

9.给出下列命题，其中正确的命题是（    ）

A.若，则是钝角

B.若，则一定共面

C.过点且在轴截距相等的直线方程为

D.直线的倾斜拜的取值范围是

10.已知奇函数的周期为，将函数的图像向有平移个单位长度，可得到函数的图像，则下列结论正确的是（    ）

A.函数

B.函数在区间上单调递增

C.函数的图像关于直线对称

D.当时，函数的最大值是

11.如图，在直三棱柱中，为的中点，过的截面与棱分别交于点，则下列说法中正确的是（    ）

A.存在点，使得

B线段长度的取值范围是

C.当点与点重合时，四棱锥的体积为2

D.设截面的面积分别为，则的最小值为

12.数列满足，则下列说法正确的是（    ）

A.若且，数列单调递减

B.若存在无数个自然数，使得，则

C.当或时，的最小值不存在

D.当时，

第II卷

三､填空题：本题共4小题，母小题5分，共20分.

13.已知，则是的__________条件.（在充分不必要､必要不充分､充要､既不充分也不必要中选一个正确的填入）

14.已知定圆，点是圆所在平面内一定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹：①椭圆；②双曲线；③拋物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.其中所有可能的结果有__________个.

15.已知点是的外心，分别为内角的对边，，且，则的值为__________.

16.已知为实数，，若对恒成立，则的最小值为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分､解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

设是公比为正数的等比数列，.

（1）求的通项公式；

（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.

18.（本小题满分12分）

在中，内角所对的边分别为为边上一点，若

（1）证明：

（i）平分；

（ii）；

（2）若，求的最大值.

19.（本小题满分12分）

汽车尾气排放超标是全球变暖､海平面上升的重要因素.我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：

（1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；

（2）为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽㳿车）的情况，该企业随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车.

①若，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购値新能源汽车的女性车主的人数假设每位车主只购头一辆汽车，结果精确到千人）；

②设男性车主中购置新能源汽车的概率为，若将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为，求当为何值时，最大.

附：为回归方程，.

20.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面平面，是的平分线，且.

（1）若点为棱的中点，证明：平面；

（2）已知二面角的大小为，求平面和平面的夹角的余弦值.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）当时，，求实数的取值范围；

（2）若，使得，求证：

湖南师大附中2023届高三月考试卷（三）

数学参考答案

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.C  【解析】，

时，，满足；

时，，得，解得.

综上，实数的取值范围为或，

故选：C.

2.C 【解析】，

故，所以.

故选：C.

3.D 【解析】.

故选：D.

4.D 【解析】各项为正的数列，

，

时，，

化为：，

，

又，解得.

数列是等差数列，首项为1，公差为2.

，

，

，

当且仅当时取等号，

的最小值为2.

故选：D.

5.B 【解析】易得圆心，半径为4，如图，连接，则，则四点在以为直径的圆上，

设，则该圆的圆心为，半径为，圆的方程为，又该圆和圆的交点弦即为，

故，整理得，又点在直线

上，

故，即点轨迹为，又在圆上，故的最小值为

圆心到直线的距离减去半径1，即.

故选：B.

6.A 【解析】平面的方程为平面的法向量可取，

平面的法向量为，平面的法向量为，

设两平面的交线的方向向量为，

由，令，则，所以，

设直线与平面所成角的大小为.

故选：A.

7.B 【解析】令，则，

当时，，当时，，

所以当时，取得最小值，即，

所以，

所以；

因为，所以.

令，则，

当时，，当时，，

所以当时，取得最小值，所以，

所以，所以.

设，

.

设，

在上，递减，所以，

所以递增，

所以，即，

所以，

综上：，

故选：B.

8.B 【解析】设是的中点，连接，如图，则，

由，得三，点共线，.

由既是的平分线，又是边上的中线，得，

.作轴于点，且，

故选：B.

二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.BD 【解析】对不一定是钝角，可能是平角，错；

对，若不共线，由，得共面.

若共线，由得共线，即共面，对；

对，若截距均为0，则直线方程为错；

对，又，故，D对；故选：BD.

10.AC 【解析】由已知，，

因为函数为奇函数，所以，可得，

又因为，所以，

又因为函数的周期为，所以，解得，

所以.

将函数的图像向右平移个单位长度，得，故选项A正确；

当时，，此时函数在区间不单调，故选项B错误；

当时，，所以是函数的一条对称轴，故选项C正确；

当时，，所以，

所以，故选项D错误.

故选：AC.

11.BC 【解析】因为平面，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则､

设点，其中.

对于选项，若存在点，使得，且，

，解得，不合乎题意，错；

对于选项，设，其中，

即，即，可得，

，则，所以，对；

对于选项，当点与点重合时，，则，此时点为的中点，如下图所示：

在直三棱柱中，四边形为矩形，则且，

分别为的中点，则且，

所以，且，同理且且，

所以，，故几何体为三棱台，

，

，

，

因此，对；

对于选项，，

则点到直线的距离为，

，则点到直线的距离为

，

所以，，故，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为错.

故选：BC.

12.ACD 【解析】A选项，，

令，解得：，

令，解得：，

综上：且，

所以且，数列单调递减，A正确；

选项，当时，，

当时，，

所以存在无数个自然数，使得，

故B错误；

选项，当或时，，

所以数列单调递减，所以最小值不存在，C正确；

选项，，

所以，

所以，

故

，

因为单调递减，

所以当时，，

所以，

又因为单调递减，所以当时，取得最大值，

最大值为，

综上：，D正确.

故选：ACD.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.充分不必要  【解析】由题意知，

，

即且，解得，

所以，即是的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

14.4  【解析】当点在圆外时，连接，因点在线段的中垂线上，如图，

则，有，

因此点的轨迹是以点为两焦点，实轴长为4的双曲线；

当点在圆内（除圆心外）时，连接，因点在线段的中垂线上，如图，

则，有，

因此点的轨迹是以点为两焦点，长轴长为4的椭圆；

当点与圆心重合时，有与重合，则线段的中垂线与交点是线段

中点，即，

因此点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆；

当点在圆上时，圆上点与不重合，弦的中垂线过圆心，即线段的中垂

线与交点是点，

因此点的轨迹是点，

所以所有可能的结果有4个.

故答案为：4

15.  【解析】如图，

分别取的中点，连接，

则，

因为，

设的外接圆半径为，由正弦定理可得，

所以两边同时点乘可得，

即，

所以，

所以，

所以，

所以，即，

所以.

故答案为：.

16.  【解析】若，则恒成立，所以在上单调递增，且当时，不符合题意，

所以，令，解得，当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，则，

则.

令，

则，所以当时，当时，

即在上单调递减，在上单调递增，所以，

所以，即的最小值为.

故答案为：.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.【解析】（1）因为是公比为正数的等比数列，所以公比，

因为，所以，解得：或，

因为，所以，所以的通项公式为；

（2）由题意得：，

所以数列的前项和.

18.【解析】（1）（i）在三角形中，由正弦定理得，即；

在三角形中，由正弦定理得，即.

因为，所以，所以.

因为与互补，所以，

所以.

因为为三角形内角，所以，所以，

所以平分；

（ii）因为，所以，

由余弦定理得，

化简得，

由（i）得，

代入上式有.

当时，消去，得：，即证.

当时，为等腰三角形，由三线合一可知，，且.

由勾股定理得：.

因为.

所以成立.

综上所述.

（2）由已知得

，

所以是直角三角形，即，

所以，当且仅当时取等号，

所以的最大值为.

19.【解析】（1）由题意得

.

.

关于的线性回归方程为，令，得，

所以最小的整数为，

所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆.

（2）①由题意知，该地区200名购车者中女性有名，

故其中购置新能源汽车的女性车主有名.

所以购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为.

所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为.

预测该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆，

因此预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数为万人.

②由题意知，，则，

当时，知，

所以函数单调递增，

当时，知，

所以函数单调递减.

所以当时，取得最大值.

此时，解得，所以当时取得最大值.

20.【解析】（1）方法一：延长交于点，连接，

在中，

是的平分线，且，

点是的中点，

又是的中点，

，

又平面平面，

直线平面.

方法二：取的中点为，连接，

为的中点，，

又平面平面，

平面，①

又在四边形中，

，

则，

又因为为的中点，

所以，

所以，可得平面，②

由①②得平面平面，

又平面平面，

直线平面.

（2）在中，，

则，即，

由已知得，

又平面平面平面，

所以平面，即，

所以为二面角的平面角，

所以，

又，所以为正三角形，

取的中点为，连，则平面，

如图建立空间直角坐标系，

则，

所以，

设分别为平面和平面的法向量，则

，即，

取，则，

，即，

取，则，

所以，

则平面和平面所成夹角的余弦值为.

21.【解析】（1）由已知设椭圆方程为：，

代入，得，

故椭圆方程为.

（2）设直线，

由，

得，

故

由，得，

故或，.

①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；

②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，

此时，符合题意.

所以的周长为定值.

22.【解析】（1）由，得，

即，其中.

令，得，.

设，

则，所以在上单调递增，

所以，所以，

所以在上单调递增，所以在上有最大值，

，

所以的取值范围为；

（2）由，可得，

整理为，

令，

则，所以在上单调递增，

设，所以，从而，

所以，

所以.

下面证明，即证明，

令，即证明，其中，只要证明，

设，则，

所以在上单调递增，

所以，

所以，

所以，

所以.