初中数学本节综合同步训练题

专题11.1 与三角形有关的线段（能力提升）-2022-2023学年八年级数学上册《同步考点解读·专题训练》（人教版）

一、选择题．

1．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（   ）

A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形

C．直角三角形         D．周长相等的三角形

2．画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（　　）

A． B．

C．  D．

3．已知三角形的两边长分别为3cm和5cm，则该三角形的第三边的长度可能是（    ）

A．5cm B．2cm C．8cm D．15cm

4．以下列数据为长度的三条线段，能组成三角形的是（  ）

A．2 cm、3cm、5cm B．2 cm、3 cm、4 cm

C．3 cm、5 cm、9 cm D．8 cm、4 cm、4 cm

5．下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（   ）

A．甲分法错误，乙分法正确 B．甲分法正确，乙分法错误

C．甲、乙两种分法均正确 D．甲、乙两种分法均错误

6．下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边的长的一组数是（  ）

A．5，6，7 B．5，7，13 C．5，8，8 D．5，12，13

7．下列三条线段能组成三角形的是（　　）

A．7、17、10 B．17、10、24 C．24、17、6 D．2、2、

8．如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，BC＝8cm，则AC的长为（    ）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

9．如图中，三角形的个数为(   )

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论正确的是（    ）

A．           B．

C．           D．的大小关系不确定

二、填空题．

11．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3．CD＝1，则△ABC的面积等于_____．

12．如果将长度为a-2、a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是________________

13．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是_____．

14．木工师傅有两根长分别为80cm、150cm的木条，要再找一根木条，将它们钉成一个三角形框架，现有70cm、200cm、300cm三根木条，他可选择长为______的木条．

15．三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为______

16．如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AB＝3，AD＝1.8，BD＝2.4，DC＝3.2，BC＝4，则点A到BD的距离是______．

17．如图，李叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是__________________．

18．小明用5根木条钉了一个五边形框架，发现它很容易变形，为了使这个框架不变形，他至少要钉________ 根木条加固．

三、解答题．

19．已知在△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC的长为奇数，求AC的长．

20．已知a，b，c是的三边长，且，若三角形的周长是小于18的偶数．

（1）求c的值；

（2）判断的形状．

21．如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．

（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．

（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．

22．如图，在△ABC中，CD是中线，已知BC﹣AC＝5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长．

23．已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：

(1)BD＋CD＜AB＋AC；

(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．

24．已知△ABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，．

(1)如图，当AC＝10cm时，求BD的长．

(2)若AC＝12cm，能否求出DC的长？为什么？

25．在中，，为的中线，且将周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．

26．某木材市场上木棒规格与价格如下表：

小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为3m和5m的木棒，还需要到某木材市场上购买一根．

（1）有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？

（2）选择哪一种规格木棒最省钱？

参考答案：

1．B

【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．

【详解】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．

故选：B．

【点睛】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．

2．C

【分析】结合题意，根据三角形高的定义逐一分析，即可得到答案．

【详解】选项A是中BC边上的高，故不符合题意；

选项B不是的高，故不符合题意；

选项C是中AC边上的高，故符合题意；

选项D为中边上的高，故不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形高的定义，从而完成求解．

3．A

【分析】直接根据三角形的三边关系即可得．

【详解】解：设第三边的长度为，

由题意得：，即，

观察四个选项可知，只有选项A符合，

故选：A．

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

4．B

【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．

【详解】A、2+3=5，故本选项错误．

B、2+3＞4，故本选项正确．

C、3+5＜9，故本选项错误．

D、4+4=8，故本选项错误．

故选B．

【点睛】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形．

5．A

【分析】根据三角形的分类可直接选出答案．

【详解】按边分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）；

按角分类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形．

∴甲分法错误，乙分法正确．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．根据三角形角、边的特点，按边或按角分类．

6．B

【分析】根据三角形三边关系定理判断即可．

【详解】解：A、∵5+6=11＞7，∴能组成三角形，故A不符合题意；

B、∵5+7=12<13，∴不能组成三角形，故B符合题意；

C、∵5+8=13＞8，∴能组成三角形，故C不符合题意；

D、∵5+12=17＞13，∴能组成三角形，故D不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边是解题的关键．

7．B

【分析】本题根据三角形三边关系逐个判断是否满足条件即可选出正确答案．

【详解】解：A. 7+10＝17，不满足任意两边之和大于第三边，不能组成，故错误，

B.17+10＞24，满足任意两边之和大于第三边，能组成，故正确，

C.6+17＜24，不满足任意两边之和大于第三边，不能组成，故错误，

D.2+2＜ ，不满足任意两边之和大于第三边，不能组成，故错误．

故选：B．

【点睛】本题考查三角形三边关系，根据三角形三边关系逐个判断是否满足条件即可选出正确答案，解答问题的关键是掌握三角形的三边关系．

8．C

【分析】根据三角形中线的特点进行解答即可．

【详解】∵CM为△ABC的AB边上的中线，

∴AM＝BM，

∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，

∴（BC+BM+CM）﹣（AC+AM+CM）＝3cm，

∴BC﹣AC＝3cm，

∵BC＝8cm，

∴AC＝5cm，

故选：C．

【点睛】本题考查三角形中线，掌握相关知识是解决本题的关键．

9．C

【详解】根据图示知，图中的三角形有：△ABE，△ABC，△DEC，△DBC，△EBC，共有5个．

故选C．

10．A

【详解】如图，在AB上截取AE=AD，连接CE．

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC，

又AC是公共边，

∴△AEC≌△ADC(SAS)，

∴AE=AD，CE=CD，

∴AB−AD=AB−AE=BE，BC−CD=BC−CE，

∵在△BCE中，BE>BC−CE，

∴AB−AD>CB−CD．

故选A．

【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

11．2

【分析】首先根据题意画出图形，求出BC，再根据三角形的面积公式列式计算即可．

【详解】解：如图．

∵BD＝3，CD＝1，

∴BC＝BD﹣CD＝2，

又∵AD是BC边上的高，AD＝2，

∴△ABC的面积＝BC•AD＝×2×2＝2．

故答案为2．

【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的高的定义，掌握钝角三角形的高的画法进而画出图形是解题的关键．

12．a＞5

【详解】因为−2<2<5，

所以a−2< a+2< a+5，

所以由三角形三边关系可得a−2+a+2>a+5，

解得a>5．

故答案为：a＞5

13．2

【分析】根据三角形的中线的定义可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周长的差＝AB﹣BC．

【详解】∵BD是△ABC的中线，

∴AD＝CD，

∴△ABD和△BCD的周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，

∵AB＝5，BC＝3，

∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2．

故答案为2．

【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于AB﹣BC是解题的关键．

14．200cm

【分析】设第三边长为xcm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的木条即可．

【详解】设第三边长为xcm，

∵木工师傅有两根长分别为80cm、150cm的木条，

∴150−80x150+80，

即70x230，

故符合条件木条的长度应在70cm与230cm之间，

故答案为：200cm．

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

15．

【分析】根据三个数在数轴上的位置得到，再根据三角形的三边关系得到，求解不等式组即可．

【详解】解：∵3，在数轴上从左到右依次排列，

∴，解得，

∵这三个数为边长能构成三角形，

∴，解得，

综上所述，的取值范围为，

故答案为：．

【点睛】本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键．

16．1.8

【分析】根据点到直线的距离的概念解答即可．

【详解】解：∵BD⊥AC，AD=1.8，

∴点A到BD的距离为1.8，

故答案为：1.8．

【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．

17．三角形的稳定性．

【分析】根据三角形的稳定性进行解答．

【详解】解：给凳子加了两根木条之后形成了三角形，所以“这样凳子就比较牢固了”的数学原理是：三角形的稳定性，

故答案为：三角形的稳定性．

【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的知识．

18．2

【详解】如图所示，加固2根木条即可，

故答案为2．

19．3

【分析】根据三角形三边关系可进行求解．

【详解】解：由题意得：3﹣2＜AC＜3+2，

即：1＜AC＜5，

∵AC为奇数，

∴AC＝3．

【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．

20．（1）4或6；（2）等腰三角形

【分析】（1）根据三角形三边关系和周长的最小值列式计算即可；

（2）根据（1）可得c，根据已知条件得到a=c，即可得到结果；

【详解】（1）∵的周长为，且周长小于18，即，．

又∵三角形的周长是小于18的偶数，即为偶数，

∴c为小于8的偶数，则c可以是2，4，6．

∵当时，，不能构成三角形，故舍去，

∴c的值为4或6．

（2）由（1）得当时，有；当时，有，

为等腰三角形．

【点睛】本题主要考查了三角形三边关系及三角形形状判断的知识点，准确理解是解题的关键．

21．（1）；（2）或．

【分析】（1）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，所以，则可解得；

（2）由三角形的周长被分成的两部分的差是2，可得方程①或②．解得或．

【详解】解：（1）由图可知三角形的周长，四边形的周长，

又三角形的周长与四边形的周长相等，为中点，

，，

即，

又，，，

，

．

（2）由三角形的周长被分成的两部分的差是2，可得方程

①当时，即：，解得：，

②当时．即：，解得．

故长为或．

【点睛】本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，关键是要学会分类讨论的思想思考问题．

22．20cm

【分析】根据三角形的中线的定义可得AD=BD，然后根据三角形的周长的定义求出△DBC的周长-△ADC的周长=BC-AC，代入数据计算即可得解．

【详解】解：∵CD是中线，

∴AD＝BD，

∴△DBC的周长﹣△ADC的周长

＝（BC+BD+CD）﹣（AC+AD+CD）

＝BC﹣AC，

∵BC﹣AC＝5cm，△DBC的周长为25cm，

∴25﹣△ADC的周长＝5，

解得，△ADC的周长＝20cm．

【点睛】本题考查了三角形的中线的定义，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于BC-AC是解题的关键．

23．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）延长BD交AC于E，从而找到BD＋CD与AB＋AC的中间量BE+CE，再利用不等式的传递性(若a<b，b<c，则a<c．)得出BD＋CD＜AB＋AC ；

（2）同理可得AD+CD<AB+BC，BD+AD<BC+AC，与（1）结论左边加左边，右边加右边，再两边除以2即可．

【详解】（1）证明：延长BD交AC于E，

在△ABE中，有AB+AE＞BE，

∴AB＋AC=AB+AE+CE＞BE+CE，

在△EDC中，有DE+CE＞CD，

∴BE+CE= BD+DE+CE＞BD+CD，

∴AB＋AC＞BE+CE＞BD+CD，

∴BD＋CD＜AB＋AC；

（2）解：由（1）同理可得：

BD＋CD＜AB＋AC①，

AD＋CD＜AB＋BC②，

BD＋AD＜BC＋AC③，

①+②+③得：2（AD+BD+CD）<2（AB+BC+AC），

∴AD+BD+CD<AB+BC+AC．

【点睛】本题考查三角形的三边关系，不等式的性质，能否根据题意添加辅助线和利用不等式的性质是解题的关键．

24．(1)4cm

(2)不能，见解析

【分析】（1）先根据AB和AC的关系算出AB的长度，然后根据周长计算出BC，再利用中线算出BD即可；

（2）先求出AB和BC的长度，发现不能构成三角形，因此不能求出DC的长．

（1）

解：（1）∵，AC＝10cm，

∴AB＝15cm．

又∵△ABC的周长是33cm，即

∴

∵AD是BC边上的中线，

∴．

（2）

（2）不能，理由如下：

∵，AC＝12cm，

∴AB＝18cm．

又∵△ABC的周长是33cm，

∴BC＝3cm．

∵AC+BC＝15cm＜AB＝18cm，

∴不能构成三角形ABC，

∴不能求出DC的长．

【点睛】本题主要考查中线的性质，三角形的三边关系，根据条件计算出BC的长度是解题的关键．第二问容易忽略三角形的三边关系，这是易错点．

25．AB＝AC＝8，BC＝11或AB＝AC＝10，BC＝7．

【分析】根据中线的定义得到AD＝CD，设AD＝CD＝x，则AB＝2x，分类讨论：当AD+AB＝12，BC+CD＝15；当AD+AB＝15，BC+CD＝12，然后分别求出x和BC，即可得到三角形三边的长．

【详解】解：∵DB为△ABC的中线，

∴AD＝CD．

设AD＝CD＝x，则AB=AC＝2x．

分两种情况讨论：

①当AD+AB＝12，BC+CD＝15时，

即x＋2x＝12，BC＋x＝15，

解得：x＝4，BC＝11，

此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝8，BC＝11；

②当AD+AB＝15，BC+CD＝12时，

即x＋2x＝15，BC＋x＝12，

解得：x＝5，BC＝7，

此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝10，BC＝7．

综上所述：AB＝AC＝8，BC＝11或AB＝AC＝10，BC＝7．

【点睛】本题考查了中线的定义以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．

26．（1）4种；（2）3m

【分析】（1）根据三角形的三边关系可得5-3＜x＜5+3，再解出不等式组可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度；

（2）根据木棒价格可直接选出答案．

【详解】解：（1）设第三根木棒的长度为xm，

根据三角形的三边关系可得：5﹣3＜x＜5＋3，

解得2＜x＜8，

结合题干信息可得：x＝3，4，5，6．共4种选择．

（2）根据木棒的价格可得选3m最省钱．

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的应用，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．