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人教版（2024）八年级上册本节综合教案
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这是一份人教版（2024）八年级上册本节综合教案，共17页。
课时目标
1.结合具体的实例,进一步认识三角形的概念及其基本要素,发展学生的抽象能力.
2.会用符号、字母表示三角形,学生通过观察、推理、归纳,能从不同角度对三角形进行分类,锻炼学生的探究能力,增强学生的合作意识.
3.理解三角形两边的和大于第三边与两边的差小于第三边的性质,并会初步应用这些性质解决相关的计算和推理问题,发展应用意识.
学习重点
三角形三边关系的探究和应用.
学习难点
三角形三边关系的应用.
课时活动设计
情境引入
教师出示图片,并提出问题:
(1)从古埃及的金字塔到现代建筑物,从巨大的钢架桥到微小的分子结构,都有什么样的形状?
(2)在我们的生活中有没有这样的形状呢?
教师引导学生观察图片,小组交流后回答问题.
设计意图:由实际例子引出,抽象出三角形,通过学生自主探究、合作交流,发现日常生活中的三角形,让学生感悟数学来源于生活,并应用于生活的辩证思想,引导学生产生强烈的求知欲,为下面探究新知识打下基础.
探究新知
探究1 三角形及其有关概念
我们已经知道三角形是由三条线段组成的.
教师引导学生观察上面的五幅图,并回答下面的问题.
(1)判断上面各图是否是由三条线段首尾顺次相接所组成的图形.
(2)上图中哪些是三角形?
三角形的概念:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.其中三条线段必须满足以下条件:①不在一条直线上;②首尾顺次相接.
阅读教材第2页第一部分至思考,结合下图并回答以下问题:
(1)三角形有几条边,几个内角,几个顶点?
(2)三角形ABC用符号表示为什么?
(3)三角形ABC的边AB,AC和BC可用小写字母分别表示为什么?
解:(1)三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边组成的角,叫做三角形的内角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点.
(2)三角形ABC用符号表示为△ABC.
(3)三角形的三边,如图,顶点A所对的边BC用a表示,顶点B所对的边AC用b表示,顶点C所对的边AB用c表示.
探究2 三角形的分类
问题1:小学中已经学过,如何将三角形进行分类?
解:按照三个内角的大小,可将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
问题2:如何将三角形按边的关系进行分类?
教师提出问题,学生举手回答.教师提示分类的标准是什么.
解:以“有几条边相等”分类,可将三角形分为有两边相等、有三边相等和三边都不相等.
三角形等边三角形等腰三角形(不等边)三角形
总结:在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的角叫做底角.等边三角形是特殊的等腰三角形,即底边和腰相等的等腰三角形.
师生共同归纳三角形的分类方法.按不同的标准分类,可以有不同的分法:
1.三角形按边的相等关系分类如下:
三角形三边都不相等的三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形底边和腰相等的等边三角形
2.三角形按角分类如下:
三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形
探究3 三角形的三边关系
如图是一个△ABC,假设有一只小狗从点A出发,沿三角形的边到点C吃香肠.
(1)小狗有几条路线可以选择?
(2)各条路线的长有什么关系?
教师提出问题,学生观察后进行讨论,思考问题并回答.
解:(1)小狗从点A出发沿三角形的边到点C吃到香肠有如下路线:
①从A→C,即线段AC的长;②从A→B→C,即AB+BC的长.
(2)两条路线长度不一样,从A→C路线最短.
教师进一步提出问题:这条路线为什么是最短的?
解:两点之间,线段最短.
师生共同归纳,可得AB+BC>AC.①
同理可得AC+BC>AB.②
AB+AC>BC.③
即三角形两边的和大于第三边.
问题:(1)将不等式①②③移项,你能得到怎样的不等式?
(2)通过得到的不等式,你有什么发现?
解:(1)由不等式①②③移项,可得BC>AC-AB,BC>AB-AC,AC>BC-AB,AC>AB-BC,AB>AC-BC,AB>BC-AC.
(2)三角形中,任意两边的差小于第三边.
师生共同归纳:一般地,三角形两边的和大于第三边,三角形两边的差小于第三边.
设计意图:通过问题串,教师引导学生自主探究三角形及其相关概念.设置有趣的问题,激发学生的求知欲.通过经历观察、推理、归纳合作探究三角形的三边关系的这个过程,锻炼学生的探究能力,增强学生的合作意识.
典例精讲
例 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少?
(2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗?为什么?
解:(1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm.
x+2x+2x=18.解得x=3.6.
所以,三边长分别为3.6 cm,7.2 cm,7.2 cm.
(2)因为长为4 cm的边可能是腰,也可能是底边,所以需要分情况讨论.
如果4 cm长的边为底边,设腰长为x cm,则4+2x=18.解得x=7.
如果4 cm长的边为腰,设底边长为x cm,则2×4+x=18.解得x=10.
因为4+4<10,不符合三角形两边的和大于第三边,所以不能围成腰长是4 cm的等腰三角形.
由以上讨论可知,可以围成底边长是4 cm的等腰三角形.
设计意图:通过例题,使学生更加理解构成三角形的条件,体会分类讨论的数学思想.
巩固练习
1.以下列各组数值为长度的线段中,能组成三角形的是( D )
A.2,4,7 B.3,3,6 C.5,8,2 D.4,5,6
2.若三角形的三边长分别是4,9,a,则a的值可能是( D )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.已知等腰三角形ABC,其中有两边长是3和5,则此三角形的周长为 11或13 .
设计意图:这个环节充分发挥了学生的主观能动性,是对本节课学习内容的巩固和内化.
课堂小结
教师和学生一起回顾本节课所学主要内容:
1.三角形的有关概念(边、角、顶点),会用符号表示一个三角形.
2.三角形的分类.
3.通过实践了解三角形三边的不等关系.
设计意图:培养学生的概括能力,使知识形成体系,并渗透数学思想方法.
课堂8分钟.
1.教材第4页练习第1,2题.
2.七彩作业.
11.1.1 三角形的边
1.三角形及其有关概念.
2.三角形的分类:
(1)按角分类: (2)按边分类:
三角形直角三角形锐角三角形钝角三角形 三角形三边都不相等的三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形底边和腰相等的等边三角形
3.三角形的三边关系:任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边.
教学反思
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
课时目标
1.通过经历画图的实践过程,认识三角形的高、中线与角平分线,会运用它们解决一些应用问题,感受数学语言的准确性,提高学生的观察能力和语言表达能力,发展推理能力.
2.会用工具画出三角形的高、中线与角平分线,通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点.通过类比探究三角形的三条中线,三角形的三条角平分线都交于一点.
3.以学生实践为主,在已学内容的基础上进行更深一步的探究,从而发现新的结论,以此提高学生的观察能力和语言表达能力,发展推理能力.
学习重点
掌握三角形的高、中线及角平分线的概念及画法.
学习难点
1.钝角三角形高的画法.
2.探究三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都各交于一点的过程.
课时活动设计
复习导入
1.如图1,P为线段AB右上方一点,过点P作线段AB的垂线.
2.如图2,如果C是线段AB的中点,那么你能得到什么结论?
3.如图3,如果OC是∠AOB的平分线,那么你能得到什么结论?
设计意图:通过复习旧知,温故知新.回顾前面所学的垂线、线段的中点和角平分线等,为下面探究三角形的高、中线、角平分线打下基础,降低教学难度,提高课堂效率.
探究新知
探究1 三角形的高
教师提问,学生回答:(1)如何求三角形的面积?
解:三角形的面积=12×三角形的底边长×底边上的高.
(2)什么是三角形的高,怎样画三角形的高?
解:从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.
如图,AD是△ABC的边BC上的高,即AD⊥BC,垂足为D.
想一想:一个三角形有几条高?
解:三条.
学生在纸上画一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形.
学生动手操作,观察并回答问题:
(1)分别画出每个三角形的三条高.
(2)观察每个三角形的三条高之间有怎样的位置关系?
(3)观察三条高是否交于一点,是在三角形的内部还是外部?
学生自主探究,合作交流,然后归纳结果.
归纳总结:三角形的三条高(或高所在的直线)相交于一点,锐角三角形三条高的交点在三角形的内部,直角三角形三条高的交点在三角形的直角顶点,钝角三角形三条高的交点在三角形的外部.
注意:三角形任意一边上的高必须满足:(1)过该边所对的顶点;(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上.
探究2 三角形的中线
如图,如果D是线段BC的中点,那么线段AD就叫做△ABC的边BC上的中线,即BD=CD=12BC.
类比三角形的高的概念,试说明什么叫三角形的中线?
结论:三角形中,连接一个顶点和它所对边的中点的线段,叫做中线.
想一想:一个三角形有几条中线?
学生在纸上分别画出一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形.
学生动手操作,观察并回答问题:(1)分别画出每个三角形的三条中线.
(2)观察三角形的三条中线有何特点?
(3)如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线,AE是△ABC的高.试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系?为什么?
教师引导学生自主探究,合作交流,然后归纳结果.
归纳总结:三角形的三条中线都在三角形的内部,且它们相交于一点,交点叫重心.三角形的一条中线将三角形的面积分成相等的两部分.
探究3 三角形的角平分线
如图,在△ABC中,画∠A的角平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线,即∠1=∠2=12∠BAC.
类比三角形的高的概念,试说明什么叫三角形的角平分线?
结论:三角形的一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做角平分线.
想一想:一个三角形有几条角平分线?
学生在纸上分别画出一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形.
学生动手操作,观察并回答问题:(1)分别画出每个三角形的三条角平分线.
(2)观察三角形的三条角平分线有何特点?
学生自主探究,合作交流,然后归纳结果.
归纳总结:无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形,它们的三条角平分线都在三角形的内部,且交于一点.
三角形的高、中线、角平分线都是线段.
设计意图:为了突出重点,突破难点,学生自主探究,动手画图,经历猜想、验证、合作交流的过程,理解并掌握三角形的高的概念及性质,通过类比的方法,探究三角形的中线及角平分线的概念及其性质.引导学生从简单的数学问题入手,层层深入,让学生体会思考和解决数学问题的步骤.培养学生的语言表达能力、探究能力和合作精神.
典例精讲
如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC于点D,且AD=4.若点P在边AC上移动,则BP的最小值为多少?
解:由题意,得当BP⊥AC时,BP有最小值.
∵S△ABC=12BC·AD=12BP·AC,AB=AC=5,BC=6,AD=4,
∴12×4×6=12×5×BP.
∴BP=245.
∴BP的最小值为245.
方法归纳:利用面积相等作桥梁(但不求面积),求三角形的高或底,这种解题方法通常称“面积法”.
例2 如图,在△ABC中,AC=5 cm,AD是△ABC的中线.若△ABD的周长比△ADC的周长大2 cm,则BA的值为多少?
解:△ABD的周长=AB+BD+AD,△ADC的周长=AD+DC+AC.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=DC.
又∵△ABD的周长比△ADC的周长大2 cm,AC=5 cm,
∴(AB+BD+AD)-(AD+DC+AC)=AB-AC=2 cm.
∴AB=7 cm.
方法归纳:三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形长边与短边之差.
例3 如图,在△ABC中,E是BC边上的一点,EC=2BE,D是AC的中点,若S△ABC=12,则S△ADF-S△BEF的值是多少?
解:∵S△ADF=S△ADB-S△AFB,S△BEF=S△ABE-S△AFB.
∴S△ADF-S△BEF=S△ADB-S△AFB-S△ABE+S△AFB=S△ADB-S△ABE.
又∵D是AC的中点,EC=2BE.
∴S△ADB=12S△ABC=6,S△ABE=13S△ABC=4.
∴S△ADF-S△BEF=S△ADB-S△ABE=6-4=2.
方法归纳:三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分:高相等时,面积的比等于底边的比;底相等时,面积的比等于高的比.
设计意图:通过例题讲解,巩固及应用新知,使学生熟练应用三角形的三线解决有关问题,让学生体会知识的不同考法,提高自身的解题能力.
巩固练习
1.下列说法正确的是( B )
A.三角形三条高都在三角形内
B.三角形三条中线相交于一点
C.三角形的三条角平分线可能在三角形内,也可能在三角形外
D.三角形的角平分线是射线
2.下列图形中,能够表示AD是△ABC的BC边上的高的是( D )
3.如图,在△ABC中,AD为中线,BE为角平分线,则在以下等式中:①∠BAD=∠CAD;②∠ABE=∠CBE;③BD=DC;④AE=EC.正确的是 ②③ .
如图,在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5 cm,△DBC的周长为25 cm,求△ADC的周长.
解:∵CD是△ABC的中线,∴BD=AD.
∵△DBC的周长=BC+BD+CD=25 cm,则BD+CD=25-BC.
∴△ADC的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC=25-BC+AC=25-(BC-AC)
=25-5=20(cm).
设计意图:当堂检测,及时反馈学习效果.
课堂小结
1.谈谈你对三角形的高、中线、角平分线的认识.
2.教师引导学生归纳三角形的高、中线、角平分线的相关性质.
设计意图:引导学生回顾知识产生和发展的过程,学会总结反思,培养学生的归纳概括能力.
课堂8分钟.
1.教材第5页练习第1,2题.
2.七彩作业.
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
三角形的高、中线、角平分线
教学反思
11.1.3 三角形的稳定性
课时目标
1.通过观察、猜想、探究、合作等活动,让学生了解三角形具有稳定性,四边形具有不稳定性,锻炼学生动手能力,培养学生的合作精神.
2.了解三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用,体会数学与生活的紧密联系,锻炼学生的探究能力.
学习重点
了解三角形稳定性及应用.
学习难点
了解三角形稳定性及应用.
课时活动设计
情境导入
盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,如图所示,为什么要这样做呢?
设计意图:从实际生活现象入手,提出问题,引发学生思考,让学生进一步体会数学与生活的紧密联系,数学来源于生活,又应用于生活.
探究新知
探究1 三角形的稳定性
学生动手操作并观察:
1.将三根木条用钉子钉成一个三角形木架(如图1),然后扭动它,它的形状会改变吗?
2.将四根木条用钉子钉成一个四边形木架(如图2),然后扭动它,它的形状会改变吗?
3.从上面的操作过程中,你能得出什么结论?学生交流,教师归纳.
总结:三角形木架的形状不会改变,四边形木架的形状会改变.这就是说,三角形具有稳定性,而四边形没有稳定性.
只要三角形三条边的长度固定,这个三角形的形状和大小也就完全确定,三角形的这种性质叫做三角形的稳定性.
4.三角形的稳定性有广泛的应用,你能举一些例子吗?
学生自主交流.
探究2 四边形的不稳定性
1.在四边形的木架上再钉一根木条,将它的一对不相邻的顶点连接起来(如图),然后扭动它,它的形状会改变吗?为什么?
通过上述操作,学生自主探究,师生共同交流发现:斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变.这是因为斜钉一根木条后,四边形变成了两个三角形,由于三角形有稳定性,所以斜钉一根木条的四边形木架不会改变形状.
同样,窗框在未安装好之前斜钉一根木条也不会变形.
2.想一想:四边形的不稳定性是我们常常需要克服的,那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢?如果有,你能举出实例吗?
设计意图:本环节让学生通过动手操作,根据实际举例子,运用新知解决生活中的问题,进一步体会数学与生活的紧密联系,锻炼了学生的探究能力以及增强了学生的合作意识.
典例精讲
例 下列图形中哪些具有稳定性?
解:图形①③⑤具有稳定性.
设计意图:通过例题讲解,巩固和应用所学知识,使学生熟练掌握三角形的稳定性.
巩固训练
如图,钉子架容易转动,怎样做可以使它稳定?请在图中画一画.
解:如图所示.
设计意图:本环节通过解决实际生活中的问题对课内所学知识进行巩固练习,让学生体会到知识的不同考法,提高自身的解题能力,当堂训练,复习巩固,查漏补缺.
课堂小结
三角形具有稳定性,四边形没有稳定性.它们都有一定的实用价值.
设计意图:复习巩固本节课的知识,学会总结反思.
课堂8分钟.
1.教材第8,9页习题11.1第5,10题.
2.七彩作业.
教学反思
三角形的高
三条高所在直线交于一点
面积法
三角形的中线
三条中线交于一点(内部)
中线平分三角形面积
三角形的角平分线
三条角平分线交于一点(内部)
课时目标
1.结合具体的实例,进一步认识三角形的概念及其基本要素,发展学生的抽象能力.
2.会用符号、字母表示三角形,学生通过观察、推理、归纳,能从不同角度对三角形进行分类,锻炼学生的探究能力,增强学生的合作意识.
3.理解三角形两边的和大于第三边与两边的差小于第三边的性质,并会初步应用这些性质解决相关的计算和推理问题,发展应用意识.
学习重点
三角形三边关系的探究和应用.
学习难点
三角形三边关系的应用.
课时活动设计
情境引入
教师出示图片,并提出问题:
(1)从古埃及的金字塔到现代建筑物,从巨大的钢架桥到微小的分子结构,都有什么样的形状?
(2)在我们的生活中有没有这样的形状呢?
教师引导学生观察图片,小组交流后回答问题.
设计意图:由实际例子引出,抽象出三角形,通过学生自主探究、合作交流,发现日常生活中的三角形,让学生感悟数学来源于生活,并应用于生活的辩证思想,引导学生产生强烈的求知欲,为下面探究新知识打下基础.
探究新知
探究1 三角形及其有关概念
我们已经知道三角形是由三条线段组成的.
教师引导学生观察上面的五幅图,并回答下面的问题.
(1)判断上面各图是否是由三条线段首尾顺次相接所组成的图形.
(2)上图中哪些是三角形?
三角形的概念:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.其中三条线段必须满足以下条件:①不在一条直线上;②首尾顺次相接.
阅读教材第2页第一部分至思考,结合下图并回答以下问题:
(1)三角形有几条边,几个内角,几个顶点?
(2)三角形ABC用符号表示为什么?
(3)三角形ABC的边AB,AC和BC可用小写字母分别表示为什么?
解:(1)三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边组成的角,叫做三角形的内角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点.
(2)三角形ABC用符号表示为△ABC.
(3)三角形的三边,如图,顶点A所对的边BC用a表示,顶点B所对的边AC用b表示,顶点C所对的边AB用c表示.
探究2 三角形的分类
问题1:小学中已经学过,如何将三角形进行分类?
解:按照三个内角的大小,可将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
问题2:如何将三角形按边的关系进行分类?
教师提出问题,学生举手回答.教师提示分类的标准是什么.
解:以“有几条边相等”分类,可将三角形分为有两边相等、有三边相等和三边都不相等.
三角形等边三角形等腰三角形(不等边)三角形
总结:在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的角叫做底角.等边三角形是特殊的等腰三角形,即底边和腰相等的等腰三角形.
师生共同归纳三角形的分类方法.按不同的标准分类,可以有不同的分法:
1.三角形按边的相等关系分类如下:
三角形三边都不相等的三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形底边和腰相等的等边三角形
2.三角形按角分类如下:
三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形
探究3 三角形的三边关系
如图是一个△ABC,假设有一只小狗从点A出发,沿三角形的边到点C吃香肠.
(1)小狗有几条路线可以选择?
(2)各条路线的长有什么关系?
教师提出问题,学生观察后进行讨论,思考问题并回答.
解:(1)小狗从点A出发沿三角形的边到点C吃到香肠有如下路线:
①从A→C,即线段AC的长;②从A→B→C,即AB+BC的长.
(2)两条路线长度不一样,从A→C路线最短.
教师进一步提出问题:这条路线为什么是最短的?
解:两点之间,线段最短.
师生共同归纳,可得AB+BC>AC.①
同理可得AC+BC>AB.②
AB+AC>BC.③
即三角形两边的和大于第三边.
问题:(1)将不等式①②③移项,你能得到怎样的不等式?
(2)通过得到的不等式,你有什么发现?
解:(1)由不等式①②③移项,可得BC>AC-AB,BC>AB-AC,AC>BC-AB,AC>AB-BC,AB>AC-BC,AB>BC-AC.
(2)三角形中,任意两边的差小于第三边.
师生共同归纳:一般地,三角形两边的和大于第三边,三角形两边的差小于第三边.
设计意图:通过问题串,教师引导学生自主探究三角形及其相关概念.设置有趣的问题,激发学生的求知欲.通过经历观察、推理、归纳合作探究三角形的三边关系的这个过程,锻炼学生的探究能力,增强学生的合作意识.
典例精讲
例 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少?
(2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗?为什么?
解:(1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm.
x+2x+2x=18.解得x=3.6.
所以,三边长分别为3.6 cm,7.2 cm,7.2 cm.
(2)因为长为4 cm的边可能是腰,也可能是底边,所以需要分情况讨论.
如果4 cm长的边为底边,设腰长为x cm,则4+2x=18.解得x=7.
如果4 cm长的边为腰,设底边长为x cm,则2×4+x=18.解得x=10.
因为4+4<10,不符合三角形两边的和大于第三边,所以不能围成腰长是4 cm的等腰三角形.
由以上讨论可知,可以围成底边长是4 cm的等腰三角形.
设计意图:通过例题,使学生更加理解构成三角形的条件,体会分类讨论的数学思想.
巩固练习
1.以下列各组数值为长度的线段中,能组成三角形的是( D )
A.2,4,7 B.3,3,6 C.5,8,2 D.4,5,6
2.若三角形的三边长分别是4,9,a,则a的值可能是( D )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.已知等腰三角形ABC,其中有两边长是3和5,则此三角形的周长为 11或13 .
设计意图:这个环节充分发挥了学生的主观能动性,是对本节课学习内容的巩固和内化.
课堂小结
教师和学生一起回顾本节课所学主要内容:
1.三角形的有关概念(边、角、顶点),会用符号表示一个三角形.
2.三角形的分类.
3.通过实践了解三角形三边的不等关系.
设计意图:培养学生的概括能力,使知识形成体系,并渗透数学思想方法.
课堂8分钟.
1.教材第4页练习第1,2题.
2.七彩作业.
11.1.1 三角形的边
1.三角形及其有关概念.
2.三角形的分类:
(1)按角分类: (2)按边分类:
三角形直角三角形锐角三角形钝角三角形 三角形三边都不相等的三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形底边和腰相等的等边三角形
3.三角形的三边关系:任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边.
教学反思
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
课时目标
1.通过经历画图的实践过程,认识三角形的高、中线与角平分线,会运用它们解决一些应用问题,感受数学语言的准确性,提高学生的观察能力和语言表达能力,发展推理能力.
2.会用工具画出三角形的高、中线与角平分线,通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点.通过类比探究三角形的三条中线,三角形的三条角平分线都交于一点.
3.以学生实践为主,在已学内容的基础上进行更深一步的探究,从而发现新的结论,以此提高学生的观察能力和语言表达能力,发展推理能力.
学习重点
掌握三角形的高、中线及角平分线的概念及画法.
学习难点
1.钝角三角形高的画法.
2.探究三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都各交于一点的过程.
课时活动设计
复习导入
1.如图1,P为线段AB右上方一点,过点P作线段AB的垂线.
2.如图2,如果C是线段AB的中点,那么你能得到什么结论?
3.如图3,如果OC是∠AOB的平分线,那么你能得到什么结论?
设计意图:通过复习旧知,温故知新.回顾前面所学的垂线、线段的中点和角平分线等,为下面探究三角形的高、中线、角平分线打下基础,降低教学难度,提高课堂效率.
探究新知
探究1 三角形的高
教师提问,学生回答:(1)如何求三角形的面积?
解:三角形的面积=12×三角形的底边长×底边上的高.
(2)什么是三角形的高,怎样画三角形的高?
解:从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.
如图,AD是△ABC的边BC上的高,即AD⊥BC,垂足为D.
想一想:一个三角形有几条高?
解:三条.
学生在纸上画一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形.
学生动手操作,观察并回答问题:
(1)分别画出每个三角形的三条高.
(2)观察每个三角形的三条高之间有怎样的位置关系?
(3)观察三条高是否交于一点,是在三角形的内部还是外部?
学生自主探究,合作交流,然后归纳结果.
归纳总结:三角形的三条高(或高所在的直线)相交于一点,锐角三角形三条高的交点在三角形的内部,直角三角形三条高的交点在三角形的直角顶点,钝角三角形三条高的交点在三角形的外部.
注意:三角形任意一边上的高必须满足:(1)过该边所对的顶点;(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上.
探究2 三角形的中线
如图,如果D是线段BC的中点,那么线段AD就叫做△ABC的边BC上的中线,即BD=CD=12BC.
类比三角形的高的概念,试说明什么叫三角形的中线?
结论:三角形中,连接一个顶点和它所对边的中点的线段,叫做中线.
想一想:一个三角形有几条中线?
学生在纸上分别画出一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形.
学生动手操作,观察并回答问题:(1)分别画出每个三角形的三条中线.
(2)观察三角形的三条中线有何特点?
(3)如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线,AE是△ABC的高.试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系?为什么?
教师引导学生自主探究,合作交流,然后归纳结果.
归纳总结:三角形的三条中线都在三角形的内部,且它们相交于一点,交点叫重心.三角形的一条中线将三角形的面积分成相等的两部分.
探究3 三角形的角平分线
如图,在△ABC中,画∠A的角平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线,即∠1=∠2=12∠BAC.
类比三角形的高的概念,试说明什么叫三角形的角平分线?
结论:三角形的一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做角平分线.
想一想:一个三角形有几条角平分线?
学生在纸上分别画出一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形.
学生动手操作,观察并回答问题:(1)分别画出每个三角形的三条角平分线.
(2)观察三角形的三条角平分线有何特点?
学生自主探究,合作交流,然后归纳结果.
归纳总结:无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形,它们的三条角平分线都在三角形的内部,且交于一点.
三角形的高、中线、角平分线都是线段.
设计意图:为了突出重点,突破难点,学生自主探究,动手画图,经历猜想、验证、合作交流的过程,理解并掌握三角形的高的概念及性质,通过类比的方法,探究三角形的中线及角平分线的概念及其性质.引导学生从简单的数学问题入手,层层深入,让学生体会思考和解决数学问题的步骤.培养学生的语言表达能力、探究能力和合作精神.
典例精讲
如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC于点D,且AD=4.若点P在边AC上移动,则BP的最小值为多少?
解:由题意,得当BP⊥AC时,BP有最小值.
∵S△ABC=12BC·AD=12BP·AC,AB=AC=5,BC=6,AD=4,
∴12×4×6=12×5×BP.
∴BP=245.
∴BP的最小值为245.
方法归纳:利用面积相等作桥梁(但不求面积),求三角形的高或底,这种解题方法通常称“面积法”.
例2 如图,在△ABC中,AC=5 cm,AD是△ABC的中线.若△ABD的周长比△ADC的周长大2 cm,则BA的值为多少?
解:△ABD的周长=AB+BD+AD,△ADC的周长=AD+DC+AC.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=DC.
又∵△ABD的周长比△ADC的周长大2 cm,AC=5 cm,
∴(AB+BD+AD)-(AD+DC+AC)=AB-AC=2 cm.
∴AB=7 cm.
方法归纳:三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形长边与短边之差.
例3 如图,在△ABC中,E是BC边上的一点,EC=2BE,D是AC的中点,若S△ABC=12,则S△ADF-S△BEF的值是多少?
解:∵S△ADF=S△ADB-S△AFB,S△BEF=S△ABE-S△AFB.
∴S△ADF-S△BEF=S△ADB-S△AFB-S△ABE+S△AFB=S△ADB-S△ABE.
又∵D是AC的中点,EC=2BE.
∴S△ADB=12S△ABC=6,S△ABE=13S△ABC=4.
∴S△ADF-S△BEF=S△ADB-S△ABE=6-4=2.
方法归纳:三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分:高相等时,面积的比等于底边的比;底相等时,面积的比等于高的比.
设计意图:通过例题讲解,巩固及应用新知,使学生熟练应用三角形的三线解决有关问题,让学生体会知识的不同考法,提高自身的解题能力.
巩固练习
1.下列说法正确的是( B )
A.三角形三条高都在三角形内
B.三角形三条中线相交于一点
C.三角形的三条角平分线可能在三角形内,也可能在三角形外
D.三角形的角平分线是射线
2.下列图形中,能够表示AD是△ABC的BC边上的高的是( D )
3.如图,在△ABC中,AD为中线,BE为角平分线,则在以下等式中:①∠BAD=∠CAD;②∠ABE=∠CBE;③BD=DC;④AE=EC.正确的是 ②③ .
如图,在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5 cm,△DBC的周长为25 cm,求△ADC的周长.
解:∵CD是△ABC的中线,∴BD=AD.
∵△DBC的周长=BC+BD+CD=25 cm,则BD+CD=25-BC.
∴△ADC的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC=25-BC+AC=25-(BC-AC)
=25-5=20(cm).
设计意图:当堂检测,及时反馈学习效果.
课堂小结
1.谈谈你对三角形的高、中线、角平分线的认识.
2.教师引导学生归纳三角形的高、中线、角平分线的相关性质.
设计意图:引导学生回顾知识产生和发展的过程,学会总结反思,培养学生的归纳概括能力.
课堂8分钟.
1.教材第5页练习第1,2题.
2.七彩作业.
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
三角形的高、中线、角平分线
教学反思
11.1.3 三角形的稳定性
课时目标
1.通过观察、猜想、探究、合作等活动,让学生了解三角形具有稳定性,四边形具有不稳定性,锻炼学生动手能力,培养学生的合作精神.
2.了解三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用,体会数学与生活的紧密联系,锻炼学生的探究能力.
学习重点
了解三角形稳定性及应用.
学习难点
了解三角形稳定性及应用.
课时活动设计
情境导入
盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,如图所示,为什么要这样做呢?
设计意图:从实际生活现象入手,提出问题,引发学生思考,让学生进一步体会数学与生活的紧密联系,数学来源于生活,又应用于生活.
探究新知
探究1 三角形的稳定性
学生动手操作并观察:
1.将三根木条用钉子钉成一个三角形木架(如图1),然后扭动它,它的形状会改变吗?
2.将四根木条用钉子钉成一个四边形木架(如图2),然后扭动它,它的形状会改变吗?
3.从上面的操作过程中,你能得出什么结论?学生交流,教师归纳.
总结:三角形木架的形状不会改变,四边形木架的形状会改变.这就是说,三角形具有稳定性,而四边形没有稳定性.
只要三角形三条边的长度固定,这个三角形的形状和大小也就完全确定,三角形的这种性质叫做三角形的稳定性.
4.三角形的稳定性有广泛的应用,你能举一些例子吗?
学生自主交流.
探究2 四边形的不稳定性
1.在四边形的木架上再钉一根木条,将它的一对不相邻的顶点连接起来(如图),然后扭动它,它的形状会改变吗?为什么?
通过上述操作,学生自主探究,师生共同交流发现:斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变.这是因为斜钉一根木条后,四边形变成了两个三角形,由于三角形有稳定性,所以斜钉一根木条的四边形木架不会改变形状.
同样,窗框在未安装好之前斜钉一根木条也不会变形.
2.想一想:四边形的不稳定性是我们常常需要克服的,那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢?如果有,你能举出实例吗?
设计意图:本环节让学生通过动手操作,根据实际举例子,运用新知解决生活中的问题,进一步体会数学与生活的紧密联系,锻炼了学生的探究能力以及增强了学生的合作意识.
典例精讲
例 下列图形中哪些具有稳定性?
解:图形①③⑤具有稳定性.
设计意图:通过例题讲解,巩固和应用所学知识,使学生熟练掌握三角形的稳定性.
巩固训练
如图,钉子架容易转动,怎样做可以使它稳定?请在图中画一画.
解:如图所示.
设计意图:本环节通过解决实际生活中的问题对课内所学知识进行巩固练习,让学生体会到知识的不同考法,提高自身的解题能力,当堂训练,复习巩固,查漏补缺.
课堂小结
三角形具有稳定性,四边形没有稳定性.它们都有一定的实用价值.
设计意图:复习巩固本节课的知识,学会总结反思.
课堂8分钟.
1.教材第8,9页习题11.1第5,10题.
2.七彩作业.
教学反思
三角形的高
三条高所在直线交于一点
面积法
三角形的中线
三条中线交于一点(内部)
中线平分三角形面积
三角形的角平分线
三条角平分线交于一点(内部)
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