4 课题：直角三角形 南阳市3中2022年人教版数学八年级上册 导学案

课题：直角三角形

1．了解直角三角形两个锐角的关系．

2．掌握直角三角形的判定．

重点：直角三角形两个锐角的关系及直角三角形的判定．

一、情景导入，感受新知

内角三兄弟之争

在一个直角三角形里往着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结，可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷．

同学们，你们知道其中的道理吗？

二、自学互研，生成新知

【自主探究】

(一)阅读教材P13，完成下面的内容：

1．直角三角形的两个锐角有什么关系？

2．直角三角形如何表示？

如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？

解：在Rt△ACE中，∠CAE＝90°－∠AEC.

在Rt△BDE中，∠DBE＝90°－∠BED.

∵∠AEC＝∠BED，

∴∠CAE＝∠DBE.

(二)阅读教材P14，完成下面的内容：

1．在一个三角形中，若有两个角互余，则这两个角之和为90°，由三角形内角和定理，第三个角的度数为：180°－90°＝90°，所以该三角形为直角三角形．

2．如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？

解：△ADE是直角三角形．证明：略．

①明了学情：学生自主探究，教师巡视全班，了解学生的困惑．

②差异指导：根据学情，对学生的困惑，适时点拨．

③生生互助：小组或同桌交流，相互释疑解惑．

三、典例剖析，运用新知

【合作探究】

例1：如图，将两个完全相同的直角三角形叠放，使一个三角形的锐角顶点与另一个三角形的直角顶点重合，另外B，C，D三点在一条直线上．请问：重叠部分的三角形是直角三角形吗？为什么？

解：是直角三角形．

理由如下：

根据题意可知，∠A＝∠EBD，∠A＋∠ACB＝90°，

∴∠EBD＋∠ACB＝90°.

∴∠BFC＝90°.

∴△BFC是直角三角形．

例2：根据下列条件，判断△ABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？

(1)∠A＝∠B，∠C＝40°；

(2)∠B＝∠C＝30°；

(3)∠A＝75°，∠B＝15°.

解：(1)∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)，∠C＝40°，∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝＝＝70°，∴△ABC中的最大角为70°.∴△ABC是锐角三角形．

(2)在△ABC中，∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－30°－30°＝120°，∴△ABC中最大角是120°，∴△ABC是钝角三角形．

(3)在△ABC中，∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－75°－15°＝90°，∴△ABC中最大角为90°.∴△ABC是直角三角形．

①明了学情：学生自主探究，教师巡视全班，了解学生的困惑．

②差异指导：根据学情，对学生的困惑，适时点拨．

③生生互助：小组或同桌交流，相互释疑解惑．

四、课堂小结，回顾新知

1．直角三角形两锐角的关系：__互余__．

2．直角三角形的判定方法：__证明有一个内角为90°__．

五、检测反馈，落实新知

1．如图，直线a⊥直线c，若∠1＝70°，则∠2＝(　C　)

A．70°　　　B．110°　　　C．20°　　　D．30°

第1题图

　　　　　第2题图

2．如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是(　B　)

A．40°  B．50°  C．60°  D．140°

3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.

(1)求∠BAE和∠DAE的度数．

(2)若∠C－∠B＝α(∠C＞∠B)，求∠DAE的度数．(用含α的代数式表示)

解：(1)如图，∵在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－30°＝80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝×80°＝40°；∵AD⊥BC，∠B＝70°，∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°，∵∠BAE＝40°，∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－20°＝20°.

(2)∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝(180°－∠B－∠C)，∵AD⊥BC，∴∠BAD＝90°－∠B，∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝(90°－∠B)－(180°－∠B－∠C)＝(∠C－∠B)＝α.

六、课后作业：巩固新知

(见学生用书)